Analyse constructive - Constructive analysis

En mathématiques , l' analyse constructive est une analyse mathématique effectuée selon certains principes des mathématiques constructives . Cela contraste avec l'analyse classique , qui (dans ce contexte) signifie simplement une analyse effectuée selon les principes (plus courants) des mathématiques classiques .

D'une manière générale, l'analyse constructive peut reproduire les théorèmes de l'analyse classique, mais uniquement en application à des espaces séparables ; aussi, certains théorèmes peuvent avoir besoin d'être approchés par des approximations . En outre, de nombreux théorèmes classiques peuvent être énoncés de manières qui sont logiquement équivalentes selon la logique classique , mais toutes ces formes ne seront pas valables dans l'analyse constructive, qui utilise la logique intuitionniste .

Exemples

Le théorème des valeurs intermédiaires

Pour un exemple simple, considérons le théorème des valeurs intermédiaires (IVT). En analyse classique, IVT dit que, étant donné toute fonction continue f d'un intervalle fermé [ a , b ] à la ligne réelle R , si f ( a ) est négatif tandis que f ( b ) est positif , alors il existe un nombre réel c dans l'intervalle tel que f ( c ) est exactement nul . Dans l'analyse constructive, cela ne tient pas, car l'interprétation constructive de la quantification existentielle (« il existe ») exige que l'on soit capable de construire le nombre réel c (au sens où il peut être approximé à n'importe quelle précision souhaitée par un nombre rationnel ). Mais si f plane près de zéro pendant un tronçon le long de son domaine, alors cela ne peut pas nécessairement être fait.

Cependant, l'analyse constructive fournit plusieurs formulations alternatives de l'IVT, qui sont toutes équivalentes à la forme habituelle de l'analyse classique, mais pas de l'analyse constructive. Par exemple, dans les mêmes conditions sur f que dans le théorème classique, étant donné tout nombre naturel n (peu importe sa taille), il existe (c'est-à-dire qu'on peut construire) un nombre réel c _n dans l'intervalle tel que la valeur absolue de f ( c _n ) est inférieur à 1/ n . C'est-à-dire que nous pouvons nous rapprocher de zéro autant que nous le souhaitons, même si nous ne pouvons pas construire un c qui nous donne exactement zéro.

Alternativement, on peut garder la même conclusion que dans l'IVT classique — un seul c tel que f ( c ) est exactement nul — tout en renforçant les conditions sur f . Nous exigeons que f soit localement non nul , ce qui signifie qu'étant donné tout point x dans l'intervalle [ a , b ] et tout nombre naturel m , il existe (nous pouvons construire) un nombre réel y dans l'intervalle tel que | y - x | < 1/ m et | f ( y )| > 0. Dans ce cas, le nombre souhaité c peut être construit. C'est une condition compliquée, mais il y a plusieurs autres conditions qui l'impliquent et qui sont communément remplies ; par exemple, toute fonction analytique est localement non nulle (en supposant qu'elle satisfait déjà f ( a ) < 0 et f ( b ) > 0).

Pour une autre façon de voir cet exemple, notez que selon la logique classique , si la condition localement non nulle échoue, alors elle doit échouer à un point spécifique x ; et alors f ( x ) sera égal à 0, de sorte que IVT est valide automatiquement. Ainsi, dans l'analyse classique, qui utilise la logique classique, pour prouver l'IVT complet, il suffit de prouver la version constructive. De ce point de vue, l'IVT complet échoue dans l'analyse constructive simplement parce que l'analyse constructive n'accepte pas la logique classique. Inversement, on peut soutenir que le vrai sens de l'IVT, même en mathématiques classiques, est la version constructive impliquant la condition localement non nulle , avec l'IVT complet suivi par la « logique pure » par la suite. Certains logiciens, tout en acceptant que les mathématiques classiques soient correctes, croient toujours que l'approche constructive donne un meilleur aperçu du vrai sens des théorèmes, à peu près de cette manière.

Le principe de la borne supérieure et les ensembles compacts

Une autre différence entre l'analyse classique et constructive est que l'analyse constructive n'accepte pas le principe de la moindre borne supérieure , selon lequel tout sous - ensemble de la ligne réelle R a une borne supérieure (ou supremum), éventuellement infinie. Cependant, comme pour le théorème des valeurs intermédiaires, une version alternative survit ; dans l'analyse constructive, tout sous - ensemble localisé de la ligne réelle a un supremum. (Ici un sous-ensemble S de R est localisé si, chaque fois que x < y sont des nombres réels, soit il existe un élément s de S tel que x < s , soit y est une borne supérieure de S .) Encore une fois, ceci est classiquement équivalent à le principe de la limite supérieure complète, puisque chaque ensemble est situé dans les mathématiques classiques. Et encore, alors que la définition de l'ensemble localisé est compliquée, elle est néanmoins satisfaite par plusieurs ensembles couramment étudiés, y compris tous les intervalles et ensembles compacts .

Étroitement lié à cela, en mathématiques constructives, moins de caractérisations d' espaces compacts sont valables du point de vue constructif - ou d'un autre point de vue, il existe plusieurs concepts différents qui sont classiquement équivalents mais pas constructifs équivalents. En effet, si l'intervalle [ a , b ] était séquentiellement compact dans l'analyse constructive, alors l'IVT classique découlerait de la première version constructive de l'exemple ; on pourrait trouver c comme point de cluster de la séquence infinie ( c _n ) _n .

Indénombrable des nombres réels

La construction diagonale dans le théorème de Cantors est intuitionnistement valide. En effet, la composante constructive de l'argument diagonal apparaissait déjà dans les travaux de Cantor. Selon Kanamori, une fausse représentation historique a été perpétuée qui associe la diagonalisation à la non-constructivité . En conséquence, les nombres réels sont innombrables dans tout système constructif. Dans certains modèles , est sous - dénombrable . ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$

Une variante trouvée dans les manuels d'analyse constructive peut aller comme suit : " Soit { a _n } une séquence de nombres réels. Soit x ₀ et y ₀ des nombres réels, x ₀  <  y ₀ . Alors il existe un nombre réel x avec x ₀  ≤  x  ≤  y ₀ et x  ≠  a _n ( n  ∈  Z ⁺ ) . . . La preuve est essentiellement la preuve « diagonale » de Cantor ." (Théorème 1 dans Errett Bishop , Foundations of Constructive Analysis , 1967, page 25.)

Les séquences de réels apparaissent couramment dans l'analyse. Les analyses constructives qui rejettent non seulement la loi du tiers exclu mais aussi le principe limité d'omniscience et même le principe de Markov peuvent utiliser l' axiome du choix dépendant pour les séquences de réels.

Voir également

• Analyse calculable
• Indécomposabilité (mathématiques constructives)

Les références

Lectures complémentaires

• Bridger, Marc (2007). Analyse réelle : une approche constructive . Hoboken : Wiley. ISBN 0-471-79230-6.