Fonction continue - Continuous function

En mathématiques , une fonction continue est une fonction qui n'a pas de changements brusques de valeur , appelés discontinuités . Plus précisément, une fonction est continue si des changements arbitrairement petits de sa sortie peuvent être assurés en se limitant à des changements suffisamment petits de son entrée. Si elle n'est pas continue, une fonction est dite discontinue . Jusqu'au 19ème siècle, les mathématiciens se sont largement appuyés sur des notions intuitives de continuité, au cours desquelles des tentatives telles que la définition epsilon-delta ont été faites pour la formaliser.

La continuité des fonctions est l'un des concepts de base de la topologie , qui est traité en général ci-dessous. La partie introductive de cet article se concentre sur le cas particulier où les entrées et les sorties des fonctions sont des nombres réels . Une forme de continuité plus forte est la continuité uniforme . De plus, cet article traite de la définition du cas plus général des fonctions entre deux espaces métriques . Dans la théorie de l'ordre , en particulier dans la théorie des domaines , on considère une notion de continuité connue sous le nom de continuité de Scott . D'autres formes de continuité existent mais elles ne sont pas abordées dans cet article.

A titre d'exemple, la fonction H ( t ) désignant la hauteur d'une fleur en croissance au temps t serait considérée comme continue. En revanche, la fonction M ( t ) désignant le montant d'argent sur un compte bancaire à l'instant t serait considérée comme discontinue, puisqu'elle « saute » à chaque instant où l'argent est déposé ou retiré.

Histoire

Une forme de la définition epsilon-delta de la continuité a été donnée pour la première fois par Bernard Bolzano en 1817. Augustin-Louis Cauchy a défini la continuité de comme suit : un incrément infiniment petit de la variable indépendante x produit toujours un changement infiniment petit de la variable dépendante y ( voir par exemple Cours d'Analyse , p. 34). Cauchy a défini des quantités infiniment petites en termes de quantités variables, et sa définition de la continuité est étroitement parallèle à la définition infinitésimale utilisée aujourd'hui (voir microcontinuité ). La définition formelle et la distinction entre continuité ponctuelle et continuité uniforme ont été données pour la première fois par Bolzano dans les années 1830, mais l'ouvrage n'a été publié que dans les années 1930. Comme Bolzano, Karl Weierstrass a nié la continuité d'une fonction en un point c à moins qu'elle ne soit définie en et des deux côtés de c , mais Édouard Goursat a permis que la fonction soit définie uniquement en et d'un côté de c , et Camille Jordan l' a même autorisé si la fonction n'a été définie qu'en c . Ces trois définitions non équivalentes de la continuité ponctuelle sont toujours utilisées. Eduard Heine a fourni la première définition publiée de la continuité uniforme en 1872, mais a basé ces idées sur des conférences données par Peter Gustav Lejeune Dirichlet en 1854.

Fonctions réelles

Définition

La fonction est continue sur le domaine , mais n'est pas continue sur le domaine car elle est indéfinie à

Une fonction réelle , c'est-à-dire une fonction de nombres réels vers des nombres réels, peut être représentée par un graphe dans le plan cartésien ; une telle fonction est continue si, grosso modo, le graphe est une seule courbe ininterrompue dont le domaine est la ligne réelle entière. Une définition mathématiquement plus rigoureuse est donnée ci-dessous.

Une définition rigoureuse de la continuité des fonctions réelles est généralement donnée dans un premier cours de calcul en fonction de l'idée de limite . Premièrement, une fonction f de variable x est dite continue au point c de la droite réelle, si la limite de lorsque x se rapproche de ce point c , est égale à la valeur ; et deuxièmement, la fonction (dans son ensemble) est dite continue , si elle est continue en tout point. Une fonction est dite discontinue (ou ayant une discontinuité ) à un moment donné lorsqu'elle n'y est pas continue. Ces points eux-mêmes sont également traités comme des discontinuités .

Il existe plusieurs définitions différentes de la continuité d'une fonction. Parfois, une fonction est dite continue si elle est continue en tout point de son domaine. Dans ce cas, la fonction au domaine de tout réel tout entier, est continue. Parfois, une exception est faite pour les limites du domaine. Par exemple, le graphique de la fonction avec le domaine de tous les réels non négatifs, a une extrémité gauche . Dans ce cas, seule la limite à partir de la droite doit être égale à la valeur de la fonction. Selon cette définition, f est continue à la frontière et donc pour tous les arguments non négatifs. La définition la plus courante et la plus restrictive est qu'une fonction est continue si elle est continue pour tous les nombres réels. Dans ce cas, les deux exemples précédents ne sont pas continus, mais chaque fonction polynomiale est continue, tout comme les fonctions sinus , cosinus et exponentielle . Il faut faire preuve de prudence dans l'utilisation du mot continu , de sorte qu'il ressorte clairement du contexte quel sens du mot est destiné.

En utilisant la notation mathématique, il existe plusieurs façons de définir des fonctions continues dans chacun des trois sens mentionnés ci-dessus.

Laisser

être une fonction définie sur un sous - ensemble de l'ensemble des nombres réels.

Ce sous - ensemble est le domaine de f . Certains choix possibles incluent

( est l'ensemble des nombres réels), ou, pour a et b nombres réels,
( est un intervalle fermé ), ou
( est un intervalle ouvert ).

Dans le cas où le domaine est défini comme un intervalle ouvert, et n'appartient pas à , et les valeurs de et n'ont pas d'importance pour la continuité sur .

Définition en termes de limites de fonctions

La fonction f est continue en un point c de son domaine si la limite de lorsque x tend vers c à travers le domaine de f , existe et est égale à En notation mathématique, cela s'écrit comme

En détail, cela signifie trois conditions : premièrement, f doit être défini en c (garanti par l'exigence que c soit dans le domaine de f ). Deuxièmement, la limite du côté gauche de cette équation doit exister. Troisièmement, la valeur de cette limite doit être égale

(Ici, nous avons supposé que le domaine de f n'a pas de points isolés .)

Définition en termes de quartiers

Un voisinage d'un point c est un ensemble qui contient, au moins, tous les points à une certaine distance fixe de c . Intuitivement, une fonction est continue en un point c si la plage de f sur le voisinage de c se réduit à un seul point lorsque la largeur du voisinage autour de c se réduit à zéro. Plus précisément, une fonction f est continue en un point c de son domaine si, pour tout voisinage, il existe un voisinage dans son domaine tel que chaque fois

Cette définition nécessite seulement que le domaine et le codomaine soient des espaces topologiques et est donc la définition la plus générale. Il résulte de cette définition qu'une fonction f est automatiquement continue en tout point isolé de son domaine. À titre d'exemple spécifique, chaque fonction à valeur réelle sur l'ensemble des nombres entiers est continue.

Définition en termes de limites de séquences

La suite converge vers exp(0)

On peut plutôt exiger que pour toute séquence de points dans le domaine qui converge vers c , la séquence correspondante converge vers En notation mathématique,

Définitions de Weierstrass et Jordan (epsilon–delta) des fonctions continues

Illustration de la -définition : car la valeur satisfait à la condition de la définition.

En incluant explicitement la définition de la limite d'une fonction, on obtient une définition autonome : Étant donné une fonction comme ci-dessus et un élément du domaine D , on dit que f est continue au point où : Pour tout nombre cependant petit, il existe un certain nombre tel que pour tout x dans le domaine de f avec la valeur de satisfait

Autrement écrit, continuité de at signifie que pour tout il existe un tel que pour tout :

Plus intuitivement, nous pouvons dire que si nous voulons que toutes les valeurs restent dans un petit quartier autour, nous devons simplement choisir un quartier assez petit pour les valeurs x autour. Si nous pouvons le faire, peu importe la taille du quartier, alors f est continue à

En termes modernes, cela se généralise par la définition de la continuité d'une fonction par rapport à une base de la topologie , ici la topologie métrique .

Weierstrass avait exigé que l'intervalle soit entièrement dans le domaine D , mais Jordan a supprimé cette restriction.

Définition en termes de contrôle du reliquat

Dans les preuves et les analyses numériques, nous avons souvent besoin de savoir à quelle vitesse les limites convergent, ou en d'autres termes, le contrôle du reste. Nous pouvons formaliser cela en une définition de la continuité. Une fonction est appelée fonction de contrôle si

  • C est non décroissant

Une fonction est C -continue en si

Une fonction est continue si elle est C -continue pour une fonction de contrôle C .

Cette approche conduit naturellement à affiner la notion de continuité en restreignant l'ensemble des fonctions de contrôle admissibles. Pour un ensemble donné de fonctions de contrôle une fonction est -continue si elle est -continue pour certains Par exemple, les fonctions continues de Lipschitz et Hölder d'exposant ci-dessous sont définies par l'ensemble des fonctions de contrôle

respectivement

Définition utilisant l'oscillation

L'échec d'une fonction à être continue en un point est quantifié par son oscillation .

La continuité peut aussi être définie en termes d' oscillation : une fonction f est continue en un point si et seulement si son oscillation en ce point est nulle ; dans les symboles, Un avantage de cette définition est qu'elle quantifie la discontinuité : l'oscillation donne à quel point la fonction est discontinue en un point.

Cette définition est utile en théorie descriptive des ensembles pour étudier l'ensemble des discontinuités et des points continus - les points continus sont l'intersection des ensembles où l'oscillation est inférieure à (donc un ensemble ) - et donne une preuve très rapide d'une direction de la Condition d'intégrabilité de Lebesgue .

L'oscillation est équivalente à la définition par un simple réarrangement, et en utilisant une limite ( lim sup , lim inf ) pour définir l'oscillation : si (à un point donné) pour un donné il n'y a pas qui satisfait la définition, alors le l'oscillation est au moins et inversement si pour tout il y a un désiré l'oscillation est 0. La définition de l'oscillation peut être naturellement généralisée aux cartes d'un espace topologique à un espace métrique.

Définition utilisant les hyperréels

Cauchy a défini la continuité d'une fonction dans les termes intuitifs suivants : une variation infinitésimale de la variable indépendante correspond à une variation infinitésimale de la variable dépendante (voir Cours d'analyse , page 34). L'analyse non standard est un moyen de rendre cela mathématiquement rigoureux. La ligne réelle est augmentée par l'addition de nombres infinis et infinitésimaux pour former les nombres hyperréels . Dans l'analyse non standard, la continuité peut être définie comme suit.

Une fonction à valeur réelle f est continue en x si son extension naturelle aux hyperréels a la propriété que pour tout dx infinitésimal , est infinitésimal

(voir microcontinuité ). En d'autres termes, un incrément infinitésimal de la variable indépendante produit toujours un changement infinitésimal de la variable dépendante, donnant une expression moderne à la définition d' Augustin-Louis Cauchy de la continuité.

Construction de fonctions continues

Le graphique d'une fonction cubique n'a ni sauts ni trous. La fonction est continue.

La vérification de la continuité d'une fonction donnée peut être simplifiée en vérifiant l'une des propriétés de définition ci-dessus pour les blocs de construction de la fonction donnée. Il est simple de montrer que la somme de deux fonctions, continue sur un domaine, est aussi continue sur ce domaine. Étant donné

alors la somme des fonctions continues
(défini par pour tout ) est continue dans

Il en est de même pour le produit de fonctions continues ,

(défini par pour tout ) est continue dans

En combinant les préservations ci-dessus de la continuité et de la continuité des fonctions constantes et de la fonction identité sur , on arrive à la continuité de toutes les fonctions polynomiales sur , telles que

(photo de droite).
Le graphique d'une fonction rationnelle continue . La fonction n'est pas définie pour Les lignes verticales et horizontales sont des asymptotes .

De la même manière, on peut montrer que l' inverse d'une fonction continue

(défini par pour tout tel que ) est continu dans

Cela implique que, à l' exclusion des racines de la quotient de fonctions continues

(défini par for all , tel que ) est également continu sur .

Par exemple, la fonction (photo)

est défini pour tous les nombres réels et est continu en chaque point. C'est donc une fonction continue. La question de la continuité à ne se pose pas, puisque n'est pas du domaine de Il n'y a pas de fonction continue qui s'accorde avec pour tous
Les fonctions sinc et cos

Puisque la fonction sinus est continue sur tous les réels, la fonction sinc est définie et continue pour tous les réels Cependant, contrairement à l'exemple précédent, G peut être étendu à une fonction continue sur tous les nombres réels, en définissant la valeur à 1, qui est la limite lorsque x tend vers 0, c'est-à-dire,

Ainsi, en fixant

la fonction sinc devient une fonction continue sur tous les nombres réels. Le terme singularité amovible est utilisé dans de tels cas, lorsque la (re)définition des valeurs d'une fonction pour coïncider avec les limites appropriées rend une fonction continue en des points spécifiques.

Une construction plus complexe de fonctions continues est la composition de fonctions . Étant donné deux fonctions continues

leur composition, notée et définie par est continue.

Cette construction permet d'affirmer, par exemple, que

est continue pour tout

Exemples de fonctions discontinues

Tracé de la fonction signum. Ça montre ça . Ainsi, la fonction signum est discontinue en 0 (voir section 2.1.3 ).

Un exemple de fonction discontinue est la fonction échelon de Heaviside , définie par

Choisissez par exemple . Alors il n'y a pas de -voisinage autour de , c'est-à-dire qu'aucun intervalle ouvert avec qui forcera toutes les valeurs à être dans le -voisinage de , c'est-à-dire dans . Intuitivement, nous pouvons considérer ce type de discontinuité comme un saut soudain dans les valeurs des fonctions.

De même, la fonction signum ou sign

est discontinu à mais continu partout ailleurs. Encore un autre exemple : la fonction

est continue partout sauf .

Graphique ponctuel de la fonction de Thomae sur l'intervalle (0,1). Le point le plus haut au milieu montre f(1/2) = 1/2.

Outre les continuités et discontinuités plausibles comme ci-dessus, il existe également des fonctions avec un comportement, souvent qualifié de pathologique , par exemple, la fonction de Thomae ,

est continue pour tous les nombres irrationnels et discontinue pour tous les nombres rationnels. Dans la même veine, la fonction de Dirichlet , la fonction indicatrice de l'ensemble des nombres rationnels,

n'est nulle part continue.

Propriétés

Un lemme utile

Soit une fonction continue en un point et une valeur telle Then dans un voisinage de

Preuve : Par la définition de la continuité, prenons , alors il existe tel que

Supposons qu'il existe un point du voisinage pour lequel on a alors la contradiction

Théorème des valeurs intermédiaires

Le théorème des valeurs intermédiaires est un théorème d'existence , basé sur la propriété de complétude des nombres réels , et énonce :

Si la fonction à valeur réelle f est continue sur l' intervalle fermé et k est un nombre entre et alors il y a un nombre tel que

Par exemple, si un enfant grandit de 1 m à 1,5 m entre l'âge de deux et six ans, alors, à un moment donné entre deux et six ans, la taille de l'enfant doit avoir été de 1,25 m.

En conséquence, si f est continue sur et et diffère de signe , alors, à un moment donné, doit être égal à zéro .

Théorème des valeurs extrêmes

Le théorème des valeurs extrêmes stipule que si une fonction f est définie sur un intervalle fermé (ou tout ensemble fermé et borné) et y est continue, alors la fonction atteint son maximum, c'est-à-dire qu'il existe avec pour tout Il en est de même du minimum de f . Ces déclarations ne sont pas, en général, vraies si la fonction est définie sur un intervalle ouvert (ou tout ensemble qui n'est pas à la fois fermé et borné), comme, par exemple, la fonction continue définie sur l'intervalle ouvert (0,1), n'atteint pas un maximum, étant illimité au-dessus.

Relation à la différentiabilité et à l'intégrabilité

Chaque fonction différentiable

est continue, comme on peut le montrer. L' inverse n'est pas vrai : par exemple, la fonction valeur absolue

est partout continue. Cependant, il n'est pas différentiable en (mais l'est partout ailleurs). La fonction de Weierstrass est aussi partout continue mais nulle part différentiable.

La dérivée d'une fonction dérivable f ( x ) n'a pas besoin d'être continue. Si f′ ( x ) est continue, f ( x ) est dite continûment dérivable. L'ensemble de telles fonctions est noté Plus généralement, l'ensemble des fonctions

(à partir d'un intervalle ouvert (ou d' un sous - ensemble ouvert de ) aux réels) tel que f est dérivable fois et tel que la dérivée -ième de f est continue est noté Voir classe de différentiabilité . Dans le domaine de l'infographie, les propriétés liées (mais non identiques) à sont parfois appelées (continuité de position), (continuité de tangence) et (continuité de courbure); voir Lissage des courbes et des surfaces .

Chaque fonction continue

est intégrable (par exemple au sens de l' intégrale de Riemann ). L'inverse n'est pas vrai, comme le montre la fonction signe (intégrable, mais discontinue) .

Limites ponctuelles et uniformes

Une séquence de fonctions continues dont la fonction limite (point par point) est discontinue. La convergence n'est pas uniforme.

Étant donné une séquence

de fonctions telles que la limite
existe pour tous , la fonction résultante est appelée la
limite ponctuelle de la séquence de fonctions La fonction limite ponctuelle n'a pas besoin d'être continue, même si toutes les fonctions sont continues, comme le montre l'animation à droite. Cependant, f est continue si toutes les fonctions sont continues et que la suite converge uniformément , par le théorème de convergence uniforme . Ce théorème peut être utilisé pour montrer que les fonctions exponentielles , les logarithmes , la fonction racine carrée et les fonctions trigonométriques sont continues.

Directionnel et semi-continuité

Les fonctions discontinues peuvent être discontinues de manière restreinte, donnant naissance au concept de continuité directionnelle (ou fonctions continues droite et gauche) et de semi-continuité . En gros, une fonction est continue à droite si aucun saut ne se produit lorsque le point limite est approché par la droite. Formellement, f est dit continu à droite au point c si ce qui suit est vrai : pour tout nombre aussi petit soit-il, il existe un certain nombre tel que pour tout

x dans le domaine avec la valeur de satisfera

C'est la même condition que pour les fonctions continues, sauf qu'il est nécessaire de tenir pour x strictement plus grand que c uniquement. L'exiger à la place pour tout x avec donne la notion de fonctions

continues à gauche . Une fonction est continue si et seulement si elle est à la fois continue à droite et continue à gauche.

Une fonction f est inférieure semi-continue si, grosso modo, tous les sauts qui pourraient se produire ne font que descendre, mais pas monter. Autrement dit, pour tout il existe un certain nombre tel que pour tout

x dans le domaine avec la valeur de satisfait
La condition inverse est la semi-continuité supérieure .

Fonctions continues entre espaces métriques

Le concept de fonctions continues à valeurs réelles peut être généralisé aux fonctions entre espaces métriques . Un espace métrique est un ensemble X équipé d'une fonction (appelée métrique ) qui peut être considérée comme une mesure de la distance de deux éléments quelconques de

X . Formellement, la métrique est une fonction
qui satisfait un certain nombre d'exigences, notamment l' inégalité triangulaire . Étant donné deux espaces métriques et et une fonction
alors f est continue au point (par rapport à la métrique donnée) si pour tout nombre réel positif, il existe un nombre réel positif tel que tout satisfaisant satisfera également. Comme dans le cas des fonctions réelles ci-dessus, cela équivaut à la condition que pour toute suite dans
X avec limite on a Cette dernière condition peut être affaiblie comme suit : f est continue au point c si et seulement si pour toute suite convergente dans X avec limite c , la suite est une suite de Cauchy , et c est dans le domaine de f .

L'ensemble des points auxquels une fonction entre les espaces métriques est continue est un

ensemble  - cela découle de la définition de la continuité.

Cette notion de continuité est appliquée, par exemple, en analyse fonctionnelle . Une déclaration clé dans ce domaine dit qu'un opérateur linéaire

entre les espaces vectoriels normés V et W (qui sont des espaces vectoriels munis d'une norme compatible , noté ) est continue si et seulement si elle est
bornée , c'est-à-dire qu'il existe une constante K telle que
pour tous

Continuité Uniforme, Hölder et Lipschitz

Pour une fonction continue de Lipschitz, il existe un double cône (affiché en blanc) dont le sommet peut être translaté le long du graphe, de sorte que le graphe reste toujours entièrement à l'extérieur du cône.

Le concept de continuité pour les fonctions entre espaces métriques peut être renforcé de diverses manières en limitant la manière dont dépend de et

c dans la définition ci-dessus. Intuitivement, une fonction f comme ci-dessus est uniformément continue si la ne dépend pas du point c . Plus précisément, il est nécessaire que pour tout nombre réel il existe tel que pour tout avec nous avons que Ainsi, toute fonction uniformément continue est continue. L'inverse n'est pas vrai en général, mais est vrai lorsque l'espace de domaine X est compact . Des cartes uniformément continues peuvent être définies dans la situation plus générale d' espaces uniformes .

Une fonction est Hölder continue d'exposant α (un nombre réel) s'il existe une constante K telle que pour toute inégalité

tient. Toute fonction continue de Hölder est uniformément continue. Le cas particulier est appelé
continuité Lipschitz . Autrement dit, une fonction est Lipschitz continue s'il existe une constante K telle que l'inégalité
est valable pour tout La condition de Lipschitz apparaît, par exemple, dans le
théorème de Picard-Lindelöf concernant les solutions des équations différentielles ordinaires .

Fonctions continues entre espaces topologiques

Une autre notion, plus abstraite, de continuité est la continuité des fonctions entre des espaces topologiques dans lesquels il n'y a généralement pas de notion formelle de distance, comme c'est le cas dans le cas des espaces métriques . Un espace topologique est un ensemble X avec une topologie sur X , qui est un ensemble de sous -

ensembles de X satisfaisant à quelques exigences en ce qui concerne leurs unions et intersections qui généralisent les propriétés des boules ouvertes dans les espaces métriques tout en permettant de parler de les voisinages d'un point donné. Les éléments d'une topologie sont appelés sous - ensembles ouverts de X (par rapport à la topologie).

Une fonction

entre deux espaces topologiques X et Y est continue si pour tout ouvert l'
image inverse
est un sous-ensemble ouvert de X . C'est-à-dire que f est une fonction entre les ensembles X et Y (pas sur les éléments de la topologie ), mais la continuité de f dépend des topologies utilisées sur X et Y .

Ceci équivaut à la condition que les pré -

images des ensembles fermés (qui sont les compléments des sous-ensembles ouverts) dans Y soient fermées dans X .

Un exemple extrême : si un ensemble X reçoit la topologie discrète (dans laquelle chaque sous-ensemble est ouvert), toutes les fonctions

à tout espace topologique T sont continues. En revanche, si X est doté de la topologie indiscrète (dans laquelle les seuls sous-ensembles ouverts sont l'ensemble vide et X ) et l'espace T ensemble est au moins T 0 , alors les seules fonctions continues sont les fonctions constantes. A l'inverse, toute fonction dont la portée est indiscrète est continue.

Continuité en un point

Continuité en un point : Pour tout voisinage V de , il existe un voisinage U de x tel que

La traduction dans le langage des voisinages de la

-définition de la continuité conduit à la définition suivante de la continuité en un point :
Une fonction est continue en un point si et seulement si pour tout voisinage V de dans Y , il existe un voisinage U de x tel que

Cette définition est équivalente au même énoncé avec des quartiers restreints aux quartiers ouverts et peut être reformulée de plusieurs manières en utilisant des préimages plutôt que des images.

De plus, comme chaque ensemble qui contient un voisinage est aussi un voisinage, et est le plus grand sous-ensemble

U de X tel que cette définition peut être simplifiée en :
Une fonction est continue en un point si et seulement si est un voisinage de x pour chaque voisinage V de dans Y .

Comme un ensemble ouvert est un ensemble voisin de tous ses points, une fonction est continue en tout point de

X si et seulement si c'est une fonction continue.

Si X et Y sont des espaces métriques, cela revient à considérer le système de

voisinage des boules ouvertes centrées en x et f ( x ) au lieu de tous les voisinages. Cela redonne la définition ci-dessus de la continuité dans le contexte des espaces métriques. Dans les espaces topologiques généraux, il n'y a pas de notion de proximité ou de distance. Si toutefois l'espace cible est un espace de Hausdorff , il reste vrai que f est continue en a si et seulement si la limite de f lorsque x tend vers a est f ( a ). En un point isolé, toute fonction est continue.

Étant donné qu'une application est continue à si et seulement si à chaque fois est un filtre sur qui

converge vers dans lequel est exprimé en écrivant alors nécessairement dans Si dénote le filtre de voisinage à alors est continu à si et seulement si dans De plus, cela se produit si et seulement si le préfiltre est une base de filtre pour le filtre de voisinage de in

Définitions alternatives

Plusieurs définitions équivalentes pour une structure topologique existent et il existe donc plusieurs manières équivalentes de définir une fonction continue.

Séquences et filets

Dans plusieurs contextes, la topologie d'un espace est commodément spécifiée en termes de points limites . Dans de nombreux cas, cela est accompli en spécifiant quand un point est la limite d'une séquence , mais pour certains espaces qui sont trop grands dans un certain sens, on spécifie également quand un point est la limite d'ensembles plus généraux de points indexés par un orienté ensemble , connu sous le nom de filets . Une fonction n'est (Heine-)continue que si elle prend des limites de séquences à des limites de séquences. Dans le premier cas, la préservation des limites est également suffisante ; dans ce dernier cas, une fonction peut préserver toutes les limites des séquences sans toutefois être continue, et la préservation des réseaux est une condition nécessaire et suffisante.

En détail, une fonction est

séquentiellement continue si chaque fois qu'une suite dans X converge vers une limite x , la suite converge vers f ( x ). Ainsi les fonctions séquentiellement continues "préservent les limites séquentielles". Chaque fonction continue est séquentiellement continue. Si X est un premier espace dénombrable et que le choix dénombrable est vrai , alors l'inverse est également vrai : toute fonction préservant les limites séquentielles est continue. En particulier, si X est un espace métrique, continuité séquentielle et continuité sont équivalentes. Pour les espaces non dénombrables en premier, la continuité séquentielle peut être strictement plus faible que la continuité. (Les espaces pour lesquels les deux propriétés sont équivalentes sont appelés espaces séquentiels .) Cela motive la considération des réseaux au lieu des séquences dans les espaces topologiques généraux. Les fonctions continues préservent les limites des réseaux, et en fait cette propriété caractérise les fonctions continues.

Par exemple, considérons le cas des fonctions à valeur réelle d'une variable réelle :

Théorème  —  Une fonction est continue à si et seulement si elle est séquentiellement continue à ce point.

Preuve

Preuve. Supposons qu'il soit continu en (au sens de continuité ). Soit une suite convergeant vers (une telle suite existe toujours, par exemple ); puisque est continue à

Pour tout tel, nous pouvons trouver un nombre naturel tel que
puisque converge à ; en combinant cela avec nous obtenons
Supposons au contraire que soit séquentiellement continu et procédons par contradiction : supposons n'est pas continu à
alors on peut prendre et appeler le point correspondant : on a ainsi défini une suite telle que
par construction mais , ce qui contredit l'hypothèse de continuité séquentielle. ∎

Définitions de l'opérateur de fermeture et de l'opérateur intérieur

En termes d' opérateur intérieur , une fonction entre les espaces topologiques est continue si et seulement si pour chaque sous-ensemble

En termes d' opérateur de fermeture , est continue si et seulement si pour chaque sous-ensemble

C'est-à-dire, étant donné que tout élément qui appartient à la fermeture d'un sous-ensemble appartient nécessairement à la fermeture de in Si nous déclarons qu'un point est
proche d' un sous - ensemble si alors cette terminologie permet une description en anglais simple de la continuité : est continue si et seulement si pour chaque sous-ensemble mappe les points qui sont proches de aux points qui sont proches de De même, est continu en un point donné fixe si et seulement si when est proche d'un sous-ensemble alors est proche de

Au lieu de spécifier les espaces topologiques par leurs sous -

ensembles ouverts , toute topologie sur peut alternativement être déterminée par un opérateur de fermeture ou par un opérateur intérieur . Plus précisément, l'application qui envoie un sous-ensemble d'un espace topologique vers sa fermeture topologique satisfait les axiomes de fermeture de Kuratowski et inversement, pour tout opérateur de fermeture, il existe une topologie unique sur (spécifiquement, ) telle que pour chaque sous - ensemble est égal à la fermeture topologique de in Si les ensembles et sont chacun associés à des opérateurs de fermeture (tous deux désignés par ) alors une application est continue si et seulement si pour chaque sous-ensemble

De même, la carte qui envoie un sous-ensemble de à son

intérieur topologique définit un opérateur intérieur et inversement, tout opérateur intérieur induit une topologie unique sur (en particulier, ) telle que pour chaque est égal à l'intérieur topologique de dans Si les ensembles et sont chacun associés à des opérateurs intérieurs (tous deux désignés par ) alors une application est continue si et seulement si pour chaque sous-ensemble

Filtres et préfiltres

La continuité peut également être caractérisée en termes de filtres . Une fonction est continue si et seulement si chaque fois qu'un

filtre sur converge en un point alors les prefilter converge vers pour cette caractérisation reste vrai si le mot « filtre » est remplacé par « pré - filtre. »

Propriétés

Si et sont continus, alors la composition Si est continue et

Les topologies possibles sur un ensemble fixe X sont partiellement ordonnées : une topologie est dite plus

grossière qu'une autre topologie (notation : ) si tout sous-ensemble ouvert par rapport à est aussi ouvert par rapport à Alors, la carte d'identité
est continue si et seulement si (voir aussi comparaison de topologies ). Plus généralement, une fonction continue
reste continue si la topologie est remplacée par une
topologie plus grossière et/ou est remplacée par une topologie plus fine .

Homéomorphismes

Symétrique au concept d'une carte continue est une carte ouverte , pour laquelle les images d'ensembles ouverts sont ouvertes. En fait, si une application ouverte f a une fonction inverse , cet inverse est continu, et si une application continue g a un inverse, cet inverse est ouvert. Étant donné une fonction bijective f entre deux espaces topologiques, la fonction inverse n'a pas besoin d'être continue. Une fonction continue bijective avec une fonction inverse continue est appelée un

homéomorphisme .

Si une bijection continue a pour domaine un espace compact et que son codomaine est Hausdorff , alors c'est un homéomorphisme.

Définition de topologies via des fonctions continues

Étant donné une fonction

X est un espace topologique et S est un ensemble (sans topologie spécifiée), la topologie finale sur S est définie en laissant les ensembles ouverts de S être les sous-ensembles A de S pour lesquels est ouvert dans
X . Si S a une topologie existante, f est continue par rapport à cette topologie si et seulement si la topologie existante est plus grossière que la topologie finale sur S . Ainsi, la topologie finale peut être caractérisée comme la topologie la plus fine sur S qui rend f continue. Si f est surjective , cette topologie s'identifie canoniquement à la topologie quotient sous la relation d'équivalence définie par f .

Dualement, pour une fonction f d'un ensemble S à un espace topologique X , la topologie initiale sur S est définie en désignant comme ouvert tout sous-ensemble A de S tel que pour un ouvert

U de X . Si S possède une topologie existante, f est continue par rapport à cette topologie si et seulement si la topologie existante est plus fine que la topologie initiale sur S . Ainsi, la topologie initiale peut être caractérisée comme la topologie la plus grossière sur S qui rend f continue. Si f est injective, cette topologie s'identifie canoniquement à la topologie de sous - espace de S , considérée comme un sous-ensemble de X .

Une topologie sur un ensemble S est uniquement déterminée par la classe de toutes les fonctions continues dans tous les espaces topologiques

X . Doublement , une idée similaire peut être appliquée aux cartes

Notions associées

Si est une fonction continue d'un sous - ensemble d'un espace topologique alors unl'extension continue deàest toute fonction continuetelle quepour toutqui est une condition souvent écrite commeEn mots, c'est toute fonction continuequi se

limiteàsurCette notion est utilisée, par exemple, dans lethéorème d'extension de Tietzeet leHahn-Banach théorème. N'étaientpas continus, alors il ne pourrait pas avoir une extension continue. Siest unespace de Hausdorffetest unsous-ensemble densedealors une extension continue deàs'il existe, sera unique.

Divers autres domaines mathématiques utilisent le concept de continuité dans des sens différents, mais liés. Par exemple, dans la théorie de l'ordre , une fonction de préservation de l'ordre entre des types particuliers d'ensembles

partiellement ordonnés X et Y est continue si pour chaque sous-ensemble orienté A de X , nous avons Voici le supremum par rapport aux ordres dans X et Y , respectivement . Cette notion de continuité est la même que la continuité topologique lorsque les ensembles partiellement ordonnés reçoivent la topologie de Scott .

Dans la théorie des catégories , un foncteur

entre deux catégories est dit continu , s'il commute avec de petites limites . C'est-à-dire,
pour tout petit (c'est-à-dire indexé par un ensemble I , par opposition à une classe ) diagramme d' objets dans .

Un espace de continuité est une généralisation d'espaces et de poses métriques, qui utilise le concept de

quantales , et qui peut être utilisé pour unifier les notions d'espaces et de domaines métriques .

Voir également

Les références

Bibliographie