Contraposition - Contraposition

En logique et en mathématiques , la contraposition fait référence à l' inférence consistant à passer d'un énoncé conditionnel à son contraposé logiquement équivalent et à une méthode de preuve associée connue sous le nom de preuve par contraposition. La contraposée d'un énoncé a son antécédent et son conséquent inversé et renversé .

Énoncé conditionnel . Dans les formules : la contraposée deest. ${\displaystyle P\rightarrow Q}$${\displaystyle P\rightarrow Q}$${\displaystyle \neg Q\rightarrow \neg P}$

Si P , Alors Q . — Sinon Q , Alors pas P . « S'il pleut, alors je porte mon manteau » — « Si je ne porte pas mon manteau, alors il ne pleut pas. »

La loi de la contraposition dit qu'un énoncé conditionnel est vrai si, et seulement si, sa contraposée est vraie.

La contraposée ( ) peut être comparée à trois autres énoncés : ${\displaystyle \neg Q\rightarrow \neg P}$

Inversion (l' inverse ), ${\displaystyle \neg P\rightarrow \neg Q}$

"S'il ne pleut pas, alors je ne porte pas mon manteau ." Contrairement à la contraposée, la valeur de vérité de l'inverse ne dépend pas du tout du fait que la proposition originale était vraie ou non, comme en témoigne ici.

Conversion (l' inverse ),${\displaystyle Q\rightarrow P}$

« Si je porte mon manteau, puis il pleut . » L'inverse est en fait la contraposée de l'inverse, et a donc toujours la même valeur de vérité que l'inverse (qui, comme indiqué précédemment, ne partage pas toujours la même valeur de vérité que celle de la proposition originale).

Négation (le complément logique ),${\displaystyle \neg (P\rightarrow Q)}$

" Il n'est pas vrai que s'il pleut alors je porte mon manteau. ", ou de manière équivalente, " Parfois, quand il pleut, je ne porte pas mon manteau . " Si la négation est vraie, alors la proposition originale et par extension la contraposée) est fausse.

Notez que si est vrai et que l'on donne un faux (c'est-à-dire, ), alors on peut logiquement conclure que doit être aussi faux (c'est-à-dire, ). C'est ce qu'on appelle souvent la loi de la contrapositive , ou la règle d'inférence du modus tollens . ${\displaystyle P\rightarrow Q}$${\style d'affichage Q}$${\displaystyle \neg Q}$${\style d'affichage P}$${\style d'affichage \neg P}$

Explication intuitive

Dans le diagramme d'Euler illustré, si quelque chose est dans A, il doit également être dans B. On peut donc interpréter "tout A est dans B" comme :

${\style d'affichage A\à B}$

Il est également clair que tout ce qui n'est pas dans B (la région bleue) ne peut pas non plus être dans A. Cette déclaration, qui peut être exprimée comme :

${\displaystyle \neg B\à \neg A}$

est la contraposée de l'énoncé ci-dessus. Par conséquent, on peut dire que

${\displaystyle (A\à B)\leftrightarrow (\neg B\à \neg A)}$.

En pratique, cette équivalence peut être utilisée pour faciliter la preuve d'un énoncé. Par exemple, si l'on souhaite prouver que toutes les filles aux États-Unis (A) ont les cheveux bruns (B), on peut soit essayer de prouver directement en vérifiant que toutes les filles aux États-Unis ont bien les cheveux bruns, soit essayer de prouver en vérifiant que toutes les filles sans cheveux bruns sont bien toutes en dehors des États-Unis. En particulier, si l'on devait trouver au moins une fille sans cheveux bruns aux États-Unis, alors on aurait réfuté , et de manière équivalente . ${\style d'affichage A\à B}$${\displaystyle \neg B\à \neg A}$${\displaystyle \neg B\à \neg A}$${\style d'affichage A\à B}$

En général, pour toute déclaration où A implique B , pas B implique toujours pas A . En conséquence, prouver ou réfuter l'une ou l'autre de ces déclarations prouve ou réfute automatiquement l'autre, car ils sont logiquement équivalents l'un à l'autre.

Définition formelle

Une proposition Q est impliquée par une proposition P lorsque la relation suivante est vérifiée :

${\style d'affichage (P\à Q)}$

Cela stipule que, "si , alors ", ou, "si Socrate est un homme , alors Socrate est humain ." Dans un conditionnel comme celui-ci, est l' antécédent , et est le conséquent . Un énoncé n'est la contraposée de l'autre que lorsque son antécédent est le conséquent nié de l'autre, et vice versa. Ainsi une contraposée prend généralement la forme de : ${\style d'affichage P}$${\style d'affichage Q}$${\style d'affichage P}$${\style d'affichage Q}$

${\style d'affichage (\neg Q\à \neg P)}$.

C'est-à-dire "Si non- , alors non- ", ou, plus clairement, "Si ce n'est pas le cas, alors P n'est pas le cas." En utilisant notre exemple, cela est rendu comme "Si Socrate n'est pas humain , alors Socrate n'est pas un homme ". Cette déclaration est dite opposée à l'original et lui est logiquement équivalente. En raison de leur équivalence logique , énoncer l'un énonce effectivement l'autre ; quand l'un est vrai , l'autre est vrai aussi, et quand l'un est faux, l'autre est aussi faux. ${\style d'affichage Q}$${\style d'affichage P}$${\style d'affichage Q}$

A strictement parler, une contraposition ne peut exister que dans deux conditionnels simples. Cependant, une contraposition peut également exister dans deux conditionnels complexes et universels, s'ils sont similaires. Ainsi, , ou "Tous les s sont des s" est opposé à , ou "Tous les non- s sont des non- s". ${\displaystyle \forall {x}(P{x}\to Q{x})}$${\style d'affichage P}$${\style d'affichage Q}$${\displaystyle \forall {x}(\neg Q{x}\to \neg P{x})}$${\style d'affichage Q}$${\style d'affichage P}$

Preuve simple par définition d'un conditionnel

En logique du premier ordre , le conditionnel est défini comme :

${\displaystyle A\to B\,\leftrightarrow \,\neg A\lor B}$

qui peut être rendu équivalent à sa contraposée, comme suit :

${\displaystyle {\begin{aligned}\neg A\lor B\,&\,\leftrightarrow B\lor \neg A\\\,&\,\leftrightarrow \neg B\to \neg A\end{aligned} }}$

Démonstration simple par contradiction

Laisser:

${\style d'affichage (A\à B)\land \neg B}$

Il est donné que, si A est vrai, alors B est vrai, et il est également donné que B n'est pas vrai. On peut alors montrer que A ne doit pas être vrai par contradiction. Car si A était vrai, alors B devrait aussi être vrai (par Modus Ponens ). Cependant, étant donné que B n'est pas vrai, nous avons donc une contradiction. Par conséquent, A n'est pas vrai (en supposant que nous avons affaire à des déclarations bivalentes qui sont soit vraies soit fausses) :

${\style d'affichage (A\à B)\à (\neg B\à \neg A)}$

Nous pouvons appliquer le même processus dans l'autre sens, en partant des hypothèses suivantes :

${\style d'affichage (\neg B\à \neg A)\land A}$

Ici, nous savons aussi que B est vrai ou faux. Si B n'est pas vrai, alors A n'est pas vrai non plus. Cependant, étant donné que A est vrai, l'hypothèse que B n'est pas vrai conduit à une contradiction, ce qui signifie que ce n'est pas le cas que B ne soit pas vrai. Donc B doit être vrai :

${\displaystyle (\neg B\to \neg A)\to (A\to B)}$

En combinant les deux énoncés prouvés, on obtient l'équivalence logique recherchée entre un conditionnel et sa contraposée :

${\displaystyle (A\à B)\équiv (\neg B\à \neg A)}$

Preuve plus rigoureuse de l'équivalence des contraposées

L'équivalence logique entre deux propositions signifie qu'elles sont vraies ensemble ou fausses ensemble. Pour prouver que les contraposées sont logiquement équivalentes , nous devons comprendre quand l'implication matérielle est vraie ou fausse.

${\style d'affichage P\à Q}$

Ce n'est faux que lorsque est vrai et est faux. On peut donc réduire cette proposition à l'énoncé "Faux quand et non- " (c'est-à-dire "Vrai quand ce n'est pas le cas que et non- ") : ${\style d'affichage P}$${\style d'affichage Q}$${\style d'affichage P}$${\style d'affichage Q}$${\style d'affichage P}$${\style d'affichage Q}$

${\displaystyle \neg (P\land \neg Q)}$

Les éléments d'une conjonction peuvent être inversés sans effet (par commutativité ):

${\displaystyle \neg (\neg Q\land P)}$

Nous définissons comme égal à " ", et comme égal à (à partir de là, est égal à , qui est égal à juste ): ${\style d'affichage R}$${\displaystyle \neg Q}$${\style d'affichage S}$${\style d'affichage \neg P}$${\style d'affichage \neg S}$${\style d'affichage \neg \neg P}$${\style d'affichage P}$

${\displaystyle \neg (R\land \neg S)}$

Cela se lit "Ce n'est pas le cas que ( R est vrai et S est faux)", qui est la définition d'un matériel conditionnel. On peut alors faire cette substitution :

${\style d'affichage R\à S}$

En replaçant R et S dans et , on obtient alors la contraposée désirée : ${\style d'affichage P}$${\style d'affichage Q}$

${\displaystyle \neg Q\to \neg P}$

Comparaisons

Exemples

Prenez l'énoncé « Tous les objets rouges ont une couleur. » Cela peut être exprimé de manière équivalente par « Si un objet est rouge, alors il a une couleur. »

• La contraposée est « Si un objet n'a pas de couleur, alors il n'est pas rouge. » Cela découle logiquement de notre énoncé initial et, comme lui, c'est évidemment vrai.
• L' inverse est " Si un objet n'est pas rouge, alors il n'a pas de couleur. " Un objet qui est bleu n'est pas rouge et a toujours de la couleur. Par conséquent, dans ce cas, l'inverse est faux.
• L' inverse est " Si un objet a une couleur, alors il est rouge. " Les objets peuvent avoir d'autres couleurs, donc l'inverse de notre affirmation est faux.
• La négation est " Il existe un objet rouge qui n'a pas de couleur. " Cet énoncé est faux car l'énoncé initial qu'il nie est vrai.

En d'autres termes, la contraposée est logiquement équivalente à un énoncé conditionnel donné , mais pas suffisant pour un biconditionnel .

De même, prenons l'énoncé « Tous les quadrilatères ont quatre côtés », ou de manière équivalente « Si un polygone est un quadrilatère, alors il a quatre côtés. »

• La contraposée est " Si un polygone n'a pas quatre côtés, alors ce n'est pas un quadrilatère. " Cela s'ensuit logiquement, et en règle générale, les contraposées partagent la valeur de vérité de leur conditionnel.
• L' inverse est " Si un polygone n'est pas un quadrilatère, alors il n'a pas quatre côtés. " Dans ce cas, contrairement au dernier exemple, l'inverse de l'énoncé est vrai.
• L' inverse est " Si un polygone a quatre côtés, alors c'est un quadrilatère. " Encore une fois, dans ce cas, contrairement au dernier exemple, l'inverse de l'énoncé est vrai.
• La négation est « Il y a au moins un quadrilatère qui n'a pas quatre côtés. » Cette affirmation est clairement fausse.

Puisque l'énoncé et l'inverse sont tous les deux vrais, on l'appelle un biconditionnel , et peut être exprimé comme " Un polygone est un quadrilatère si, et seulement si, il a quatre côtés. " (la phrase si et seulement si est parfois abrégée en ssi .) C'est-à-dire qu'avoir quatre côtés est à la fois nécessaire pour être un quadrilatère, et seul suffisant pour le considérer comme un quadrilatère.

Vérité

• Si un énoncé est vrai, alors sa contraposée est vraie (et vice versa).
• Si un énoncé est faux, alors sa contraposée est fausse (et vice versa).
• Si l'inverse d'un énoncé est vrai, alors sa réciproque est vraie (et vice versa).
• Si l'inverse d'un énoncé est faux, alors son inverse est faux (et vice versa).
• Si la négation d'une déclaration est fausse, alors la déclaration est vraie (et vice versa).
• Si un énoncé (ou sa contraposée) et l'inverse (ou l'inverse) sont tous les deux vrais ou tous les deux faux, alors il s'agit d'un biconditionnel logique .

Application

Parce que la contraposée d'un énoncé a toujours la même valeur de vérité (vérité ou fausseté) que l'énoncé lui-même, elle peut être un outil puissant pour prouver des théorèmes mathématiques (surtout si la vérité de la contraposée est plus facile à établir que la vérité de l'énoncé lui-même). Une preuve par contraposition (contraposée) est une preuve directe de la contraposée d'un énoncé. Cependant, des méthodes indirectes telles que la preuve par contradiction peuvent également être utilisées avec la contraposition, comme, par exemple, dans la preuve de l'irrationalité de la racine carrée de 2 . Par la définition d'un nombre rationnel , la déclaration peut être faite que « Si est rationnel, alors il peut être exprimé comme une fraction irréductible${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ». Cette affirmation est vraie parce que c'est une reformulation d'une définition. La contraposée de cet énoncé est " Si ne peut pas être exprimé comme une fraction irréductible, alors ce n'est pas rationnel${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ". Cette contraposée, comme la déclaration originale, est également vraie. Par conséquent, s'il peut être prouvé qu'il ne peut pas être exprimé sous forme de fraction irréductible, alors il doit s'agir d' un nombre rationnel. Cette dernière peut être prouvée par contradiction. ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

L'exemple précédent employait la contraposée d'une définition pour prouver un théorème. On peut aussi prouver un théorème en prouvant la contraposée de l'énoncé du théorème. Pour prouver que si un entier positif N est un nombre non carré , sa racine carrée est irrationnelle , nous pouvons prouver de manière équivalente sa contraposée, que si un entier positif N a une racine carrée qui est rationnelle, alors N est un nombre carré. Ceci peut être montré en fixant √ N égal à l'expression rationnelle a/b avec a et b étant des entiers positifs sans facteur premier commun, et en le mettant au carré pour obtenir N = a ² / b ² et en notant que puisque N est un entier positif b =1 de sorte que N = a ² , un nombre carré.

Correspondance avec d'autres cadres mathématiques

Logique intuitionniste

Dans la logique intuitionniste , l'énoncé ne peut pas être prouvé comme étant équivalent à . On peut prouver que implique , mais l'implication inverse, de à , requiert la loi du tiers exclu ou un axiome équivalent. ${\style d'affichage P\à Q}$${\displaystyle \lnot Q\to \lnot P}$${\style d'affichage P\à Q}$${\displaystyle \lnot Q\to \lnot P}$${\displaystyle \lnot Q\to \lnot P}$${\style d'affichage P\à Q}$

Calcul de probabilité

La contraposition représente une instance du théorème de Bayes qui, sous une forme spécifique, peut être exprimée comme suit :

${\displaystyle \Pr(\lnot P\mid \lnot Q)={\frac {\Pr(\lnot Q\mid \lnot P)\,a(\lnot P)}{\Pr(\lnot Q\mid \lnot P)\,a(\lnot P)+\Pr(\lnot Q\mid P)\,a(P)}}}$.

Dans l'équation ci-dessus, la probabilité conditionnelle généralise l'énoncé logique , c'est-à-dire qu'en plus d'attribuer VRAI ou FAUX, nous pouvons également attribuer n'importe quelle probabilité à l'énoncé. Le terme désigne le taux de base (alias la probabilité a priori ) de . Supposons que cela équivaut à être VRAI, et cela équivaut à être FAUX. Il est alors facile de voir que quand c'est-à-dire quand est VRAI. En effet , la fraction du côté droit de l'équation ci-dessus est égale à 1, et donc équivalente à VRAI. Par conséquent, le théorème de Bayes représente une généralisation de la contraposition . ${\displaystyle \Pr(\lnot Q\mid P)}$${\displaystyle P\to \lnot Q}$${\style d'affichage a(P)}$${\style d'affichage P}$${\displaystyle \Pr(\lnot Q\mid P)=1}$${\displaystyle P\to \lnot Q}$${\displaystyle \Pr(\lnot Q\mid P)=0}$${\displaystyle P\to \lnot Q}$${\displaystyle \Pr(\lnot P\mid \lnot Q)=1}$${\style d'affichage \Pr(Q\mid P)=1}$${\style d'affichage P\à Q}$${\displaystyle \Pr(\lnot Q\mid P)=1-\Pr(Q\mid P)=0}$${\displaystyle \Pr(\lnot P\mid \lnot Q)=1}$${\displaystyle \lnot Q\to \lnot P}$

Logique subjective

La contraposition représente une instance du théorème subjectif de Bayes dans la logique subjective exprimée comme :

${\displaystyle (\omega _{P{\tilde {|}}Q}^{A},\omega _{P{\tilde {|}}\lnot Q}^{A})=(\omega _{ Q|P}^{A},\omega _{Q|\lnot P}^{A})\,{\widetilde {\phi \,}}\,a_{P}\,}$,

où désigne une paire d'opinions conditionnelles binomiales données par la source . Le paramètre désigne le taux de base (alias la probabilité a priori ) de . La paire d'opinions conditionnelles inversées est notée . L'opinion conditionnelle généralise l'énoncé logique , c'est-à-dire qu'en plus d'attribuer VRAI ou FAUX, la source peut attribuer n'importe quelle opinion subjective à l'énoncé. Le cas où est une opinion VRAIE absolue équivaut à dire que la source est VRAIE, et le cas où est une opinion FAUX absolue équivaut à dire que la source est FAUX. Dans le cas où l'opinion conditionnelle est absolue VRAI, l'opérateur subjectif du théorème de Bayes de la logique subjective produit une opinion conditionnelle absolue FAUX et donc une opinion conditionnelle absolue VRAIE qui équivaut à être VRAI. Par conséquent, le théorème subjectif de Bayes représente une généralisation à la fois de la contraposition et du théorème de Bayes . ${\displaystyle (\omega _{Q|P}^{A},\omega _{Q|\lnot P}^{A})}$${\style d'affichage A}$${\displaystyle a_{P}}$${\style d'affichage P}$${\displaystyle (\omega _{P{\tilde {|}}Q}^{A},\omega _{P{\tilde {|}}\lnot Q}^{A})}$${\displaystyle \omega _{Q|P}^{A}}$${\style d'affichage P\à Q}$${\style d'affichage A}$${\displaystyle \omega _{Q\mid P}^{A}}$${\style d'affichage A}$${\style d'affichage P\à Q}$${\displaystyle \omega _{Q\mid P}^{A}}$${\style d'affichage A}$${\style d'affichage P\à Q}$${\displaystyle \omega _{Q|P}^{A}}$${\displaystyle {\widetilde {\phi \,}}}$${\displaystyle \omega _{P{\widetilde {|}}\lnot Q}^{A}}$${\displaystyle \omega _{\lnot P{\widetilde {|}}\lnot Q}^{A}}$${\displaystyle \lnot Q\to \lnot P}$

Voir également

• Réduction à l'absurde

Les références

Sources

• Audun Jøsang, 2016, Logique subjective ; Un formalisme pour le raisonnement sous incertitude Springer, Cham, ISBN  978-3-319-42337-1

Liens externes

• Médias liés à la Contraposition sur Wikimedia Commons