Boucle de Costas - Costas loop

Une boucle Costas est un circuit basé sur une boucle à verrouillage de phase (PLL) qui est utilisé pour la récupération de fréquence porteuse à partir de signaux de modulation à porteuse supprimée (par exemple , signaux de porteuse supprimée à double bande latérale ) et de signaux de modulation de phase (par exemple BPSK , QPSK ). Il a été inventé par John P. Costas chez General Electric dans les années 1950. Son invention a été décrite comme ayant eu « un effet profond sur les communications numériques modernes ». L'application principale des boucles Costas est dans les récepteurs sans fil. Son avantage par rapport aux autres détecteurs à base de PLL est qu'à de faibles écarts, la tension d'erreur de boucle de Costas est par rapport à . Cela se traduit par un doublement de la sensibilité et rend également la boucle Costas particulièrement adaptée au suivi des porteuses décalées par Doppler, en particulier dans les récepteurs OFDM et GPS . ${\displaystyle \sin(2(\theta _{i}-\theta _{f}))}$${\displaystyle \sin(\theta _{i}-\theta _{f})}$

Implémentation classique

Boucle Costas fonctionnant à l'état verrouillé.

Dans la mise en oeuvre classique d'une boucle de Costas, une section locale oscillateur commandé en tension (VCO) fournit en quadrature des sorties, une pour chacun des deux détecteurs de phase , par exemple , des détecteurs de produit . La même phase du signal d' entrée est également appliquée aux deux détecteurs de phase et la sortie de chaque détecteur de phase passe à travers un filtre passe-bas . Les sorties de ces filtres passe-bas sont des entrées d'un autre détecteur de phase dont la sortie traverse un filtre de réduction de bruit avant d'être utilisée pour commander l'oscillateur commandé en tension. La réponse globale de la boucle est contrôlée par les deux filtres passe-bas individuels qui précèdent le troisième détecteur de phase tandis que le troisième filtre passe-bas joue un rôle trivial en termes de gain et de marge de phase.

La figure ci-dessus d'une boucle Costas est dessinée sous la condition de l'état "verrouillé", où la fréquence VCO et la fréquence porteuse entrante sont devenues les mêmes à la suite du processus de boucle Costas. La figure ne représente pas l'état "déverrouillé".

Modèles mathématiques

Dans le domaine temporel

Modèle de domaine temporel de la boucle BPSK Costas

Dans le cas le plus simple . Par conséquent, n'affecte pas l'entrée du filtre de réduction de bruit. Les signaux porteurs et oscillateurs commandés en tension (VCO) sont des oscillations périodiques à hautes fréquences . Block est un multiplicateur analogique . ${\style d'affichage m^{2}(t)=1}$${\style d'affichage m^{2}(t)=1}$${\displaystyle f_{ref,vco}(\theta _{ref,vco}(t))}$${\displaystyle {\dot {\theta }}_{ref,vco}(t)}$${\displaystyle \bigotimes }$

Du point de vue mathématique, un filtre linéaire peut être décrit par un système d'équations différentielles linéaires

${\displaystyle {\begin{array}{ll}{\dot {x}}=Ax+bu_{d}(t),&u_{LF}=c^{*}x.\end{array}}}$

Ici, est une matrice constante, est un vecteur d'état de filtre, et sont des vecteurs constants. ${\style d'affichage A}$${\style d'affichage x(t)}$${\style d'affichage b}$${\style d'affichage c}$

Le modèle d'un VCO est généralement supposé linéaire

${\displaystyle {\begin{array}{ll}{\dot {\theta }}_{vco}(t)=\omega _{vco}^{free}+K_{vco}u_{LF}(t) ,&t\in [0,T],\end{tableau}}}$

où est une fréquence libre de l'oscillateur commandé en tension et est un gain d'oscillateur. De même, il est possible d'envisager différents modèles non linéaires de VCO. ${\displaystyle \omega _{vco}^{gratuit}}$${\displaystyle K_{vco}}$

Supposons que la fréquence du générateur maître soit constante Équation du VCO et équation du rendement du filtre ${\displaystyle {\dot {\theta }}_{ref}(t)\equiv \omega _{ref}.}$

${\displaystyle {\begin{array}{ll}{\dot {x}}=Ax+bf_{ref}(\theta _{ref}(t))f_{vco}(\theta _{vco}(t )),&{\dot {\theta }}_{vco}=\omega _{vco}^{free}+K_{vco}c^{*}x.\end{array}}}$

Le système n'est pas autonome et est plutôt difficile à étudier.

Dans le domaine phase-fréquence

Modèle de domaine équivalent phase-fréquence de la boucle de Costas

Entrée VCO pour le modèle de domaine phase-fréquence de la boucle de Costas

Dans le cas le plus simple, quand

${\displaystyle {\begin{aligned}f_{ref}{\big (}\theta _{ref}(t){\big )}=\cos {\big (}\omega _{ref}t{\big )},\ f_{vco}{\big (}\theta _{vco}(t){\big )}&=\sin {\big (}\theta _{vco}(t){\big )} \\f_{ref}{\big (}\theta _{ref}(t){\big )}^{2}f_{vco}\left(\theta _{vco}(t)\right)f_{ vco}\left(\theta _{vco}(t)-{\frac {\pi }{2}}\right)&=-{\frac {1}{8}}{\Big (}2\sin (2\theta _{vco}(t))+\sin(2\theta _{vco}(t)-2\omega _{ref}t)+\sin(2\theta _{vco}(t) +2\omega _{ref}t){\Big )}\end{aligned}}}$

l'hypothèse d'ingénierie standard est que le filtre supprime la bande latérale supérieure avec la fréquence de l'entrée mais laisse la bande latérale inférieure sans changement. Ainsi, on suppose que l'entrée VCO est. Cela rend une boucle de Costas équivalente à une boucle à verrouillage de phase avec une caractéristique de détecteur de phase correspondant aux formes d'onde particulières et des signaux d'entrée et VCO. Il peut être prouvé que les sorties de filtre dans le domaine temporel et le domaine phase-fréquence sont presque égales. ${\displaystyle \varphi (\theta _{ref}(t)-\theta _{vco}(t))={\frac {1}{8}}\sin(2\omega _{ref}t-2 \theta _{vco}(t)).}$ ${\displaystyle \varphi (\theta )}$${\displaystyle f_{ref}(\theta )}$${\displaystyle f_{vco}(\theta )}$

Ainsi, il est possible d'étudier un système autonome plus simple d'équations différentielles

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {x}}&=Ax+b\varphi (\Delta \theta ),\\\Delta {\dot {\theta }}&=\omega _{vco} ^{libre}-\omega _{ref}+K_{vco}c^{*}x,\\\Delta \theta &=\theta _{vco}-\theta _{ref}.\end{aligned} }}$.

La méthode de moyennage de Krylov-Bogoliubov permet de prouver que les solutions d'équations non autonomes et autonomes sont proches sous certaines hypothèses. Ainsi, le schéma de blocs de la boucle de Costas dans l'espace temporel peut être changé asymptotiquement en schéma de blocs au niveau des relations phase-fréquence.

Le passage à l'analyse du modèle dynamique autonome de boucle de Costas (à la place du non-autonome) permet de surmonter les difficultés, liées à la modélisation de la boucle de Costas dans le domaine temporel où l'on doit observer simultanément une échelle de temps très rapide des signaux d'entrée et échelle de temps lente de la phase du signal. Cette idée permet de calculer les caractéristiques de performance de base - plages de maintien, de traction et de verrouillage .

Acquisition de fréquence

Boucle de Costas avant synchronisation

Boucle de Costas après synchronisation

Signaux Carrier et VCO avant synchronisation

Entrée VCO pendant la synchronisation

Signaux Carrier et VCO après synchronisation

La boucle Costas classique s'efforcera de faire en sorte que la différence de phase entre la porteuse et le VCO devienne une petite valeur, idéalement nulle. La faible différence de phase implique que le verrouillage de fréquence a été réalisé.

Boucle QPSK Costas

La boucle Costas classique peut être adaptée à la modulation QPSK pour des débits de données plus élevés.

Boucle classique QPSK Costas

Le signal QPSK d' entrée est le suivant

${\displaystyle m_{1}(t)\cos \left(\omega _{\text{ref}}t\right)+m_{2}(t)\sin \left(\omega _{\text{ref }}t\right),m_{1}(t)=\pm 1,m_{2}(t)=\pm 1.}$

Les entrées des filtres passe-bas LPF1 et LPF2 sont

${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi _{1}(t)&=\cos \left(\theta _{\text{vco}}\right)\left(m_{1}(t)\cos \left(\omega _{\text{ref}}t\right)+m_{2}(t)\sin \left(\omega _{\text{ref}}t\right)\right),\\ \varphi _{2}(t)&=\sin \left(\theta _{\text{vco}}\right)\left(m_{1}(t)\cos \left(\omega _{\text {ref}}t\right)+m_{2}(t)\sin \left(\omega _{\text{ref}}t\right)\right).\end{aligned}}}$

Après synchronisation, les sorties de LPF1 et LPF2 sont utilisées pour obtenir des données démodulées ( et ). Pour ajuster la fréquence du VCO aux signaux de fréquence de référence et passe par des limiteurs et multiplié par croix : ${\style d'affichage Q(t)}$${\style d'affichage I(t)}$${\style d'affichage m_{1}(t)}$${\style d'affichage m_{2}(t)}$${\style d'affichage Q(t)}$${\style d'affichage I(t)}$

${\displaystyle u_{d}(t)=I(t)\operatorname {sgn}(Q(t))-Q(t)\operatorname {sgn}(I(t)).}$

Après ce signal est filtré par le filtre de boucle et forme un signal de réglage pour le VCO similaire à la boucle BPSK Costas. Ainsi, QPSK Costas peut être décrit par un système d'EDO ${\style d'affichage u_{d}(t)}$${\displaystyle u_{\text{LF}}(t)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {x}}_{1}&=A_{\text{LPF}}x_{1}+b_{\text{LPF}}\varphi _{1}( t),\\{\dot {x}}_{2}&=A_{\text{LPF}}x_{2}+b_{\text{LPF}}\varphi _{2}(t),\ \{\dot {x}}&=A_{\text{LF}}x+b_{\text{LF}}\left(c_{\text{LPF}}^{*}x_{1}\operatorname { sgn} \left(c_{\text{LPF}}^{*}x_{2}\right)-c_{\text{LPF}}^{*}x_{2}\operatorname {sgn} \left(c_ {\text{LPF}}^{*}x_{1}\right)\right),\\{\dot {\theta }}_{\text{vco}}&=\omega _{\text{vco }}^{\text{free}}+K_{\text{VCO}}\left(c_{\text{LF}}^{*}x+h\left(c_{\text{LPF}}^{ *}x_{1}\operatorname {sgn} \left(c_{\text{LPF}}^{*}x_{2}\right)-c_{\text{LPF}}^{*}x_{2} \operatorname {sgn} \left(c_{\text{LPF}}^{*}x_{1}\right)\right)\right).\\\end{aligned}}}$

Ici - paramètres de LPF1 et LPF2 et - paramètres de filtre de boucle. ${\displaystyle A_{\text{LPF}},b_{\text{LPF}},c_{\text{LPF}}}$${\displaystyle A_{\text{LF}},b_{\text{LF}},c_{\text{LF}},h_{\text{LF}}}$

Les références

•  Cet article incorpore  du matériel du domaine public du document de la General Services Administration : "Federal Standard 1037C" .