Cube - Cube
Hexaèdre régulier | |
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(Cliquez ici pour le modèle rotatif) |
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Taper | Solide platonique |
petit code | 4= |
Éléments |
F = 6, E = 12 V = 8 (χ = 2) |
Visages à côté | 6{4} |
Notation de Conway | C |
Symboles Schläfli | {4,3} |
t{2,4} ou {4}×{} tr{2,2} ou {}×{}×{} |
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Configuration du visage | V3.3.3.3 |
Symbole Wythoff | 3 | 2 4 |
Diagramme de Coxeter | |
Symétrie | O h , B 3 , [4,3], (*432) |
Groupe de rotation | O , [4,3] + , (432) |
Les références | U 06 , C 18 , W 3 |
Propriétés | zonoèdre régulier et convexe |
Angle dièdre | 90° |
4.4.4 ( figure du sommet ) |
Octaèdre ( double polyèdre ) |
Rapporter |
En géométrie , un cube est un objet solide tridimensionnel délimité par six faces carrées , facettes ou côtés, dont trois se rencontrent à chaque sommet .
Le cube est le seul hexaèdre régulier et fait partie des cinq solides platoniciens . Il a 6 faces, 12 arêtes et 8 sommets.
Le cube est aussi un parallélépipède carré , un cuboïde équilatéral et un rhomboèdre droit . C'est un prisme carré régulier à trois orientations, et un trapézoèdre trigonal à quatre orientations.
Le cube est dual de l' octaèdre . Il a une symétrie cubique ou octaédrique .
Le cube est le seul polyèdre convexe dont les faces sont toutes des carrés .
Projections orthogonales
Le cube a quatre projections orthogonales spéciales , centrées, sur un sommet, des arêtes, une face et une normale à sa figure de sommet . Le premier et le troisième correspondent aux avions A 2 et B 2 Coxeter .
Centré par | Affronter | Sommet |
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avions Coxeter |
B 2 |
Un 2 |
Symétrie projective |
[4] | [6] |
Vues inclinées |
Carrelage sphérique
Le cube peut également être représenté comme un pavage sphérique , et projeté sur le plan via une projection stéréographique . Cette projection est conforme , préservant les angles mais pas les surfaces ou les longueurs. Les lignes droites sur la sphère sont projetées sous forme d'arcs de cercle sur le plan.
Projection orthographique | Projection stéréographique |
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Coordonnées cartésiennes
Pour un cube centré à l'origine, avec des arêtes parallèles aux axes et avec une longueur d'arête de 2, les coordonnées cartésiennes des sommets sont
- (±1, ±1, ±1)
tandis que l'intérieur se compose de tous les points ( x 0 , x 1 , x 2 ) avec −1 < x i < 1 pour tout i .
Équation dans
En géométrie analytique , la surface d'un cube de centre ( x 0 , y 0 , z 0 ) et de longueur d'arête 2a est le lieu de tous les points ( x , y , z ) tels que
Un cube peut également être considéré comme le cas limite d'un superellipsoïde 3D car les trois exposants approchent de l'infini.
Formules
Pour un cube de longueur d'arête :
superficie | le volume | ||
visage en diagonale | diagonale de l'espace | ||
rayon de la sphère circonscrite | rayon de la sphère tangente aux arêtes | ||
rayon de la sphère inscrite | angles entre les faces (en radians ) |
Comme le volume d'un cube est la troisième puissance de ses côtés , les troisièmes puissances sont appelées cubes , par analogie avec les carrés et les deuxièmes puissances.
Un cube a le plus grand volume parmi les cuboïdes (boîtes rectangulaires) avec une surface donnée . De plus, un cube a le plus grand volume parmi les cuboïdes de même taille linéaire totale (longueur+largeur+hauteur).
Point dans l'espace
Pour un cube dont la sphère circonscrite a un rayon R , et pour un point donné de son espace à 3 dimensions à des distances d i des huit sommets du cube, on a :
Doubler le cube
Doubler le cube , ou le problème de Delian , était le problème posé par les anciens mathématiciens grecs d' utiliser seulement une boussole et une règle pour commencer avec la longueur du bord d'un cube donné et pour construire la longueur du bord d'un cube avec deux fois la longueur . volume du cube d'origine. Ils n'ont pas pu résoudre ce problème, et en 1837 Pierre Wantzel a prouvé que c'était impossible car la racine cubique de 2 n'est pas un nombre constructible .
Colorations uniformes et symétrie
Le cube a trois colorations uniformes, nommées par les couleurs des faces carrées autour de chaque sommet : 111, 112, 123.
Le cube a quatre classes de symétrie, qui peuvent être représentées par la coloration vertex-transitive des faces. La symétrie octaédrique la plus élevée O h a toutes les faces de la même couleur. La symétrie dièdre D 4h vient du fait que le cube est un prisme, les quatre côtés étant de la même couleur. Le sous-ensemble prismatique D 2d a la même coloration que le précédent et D 2h a des couleurs alternées pour ses côtés pour un total de trois couleurs, appariées par des côtés opposés. Chaque forme de symétrie a un symbole Wythoff différent .
Nom | Hexaèdre régulier |
Prisme carré | Trapézoprisme rectangulaire |
Cuboïde rectangulaire |
Prisme rhombique |
Trapézoèdre trigonal |
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Diagramme de Coxeter |
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Symbole Schläfli |
{4,3} | {4}×{ } rr{4,2} |
s 2 {2,4} | { } 3 tr{2,2} |
{ }×2{ } | |
Symbole Wythoff |
3 | 4 2 | 4 2 | 2 | 2 2 2 | | |||
Symétrie | O h [4,3] (* 432) |
J 4h [4,2] (*422) |
D 2d [4,2 + ] (2*2) |
J 2h [2,2] (*222) |
D 3d [6,2 + ] (2*3) |
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Ordre de symétrie |
24 | 16 | 8 | 8 | 12 | |
Image ( coloration uniforme ) |
(111) |
(112) |
(112) |
(123) |
(112) |
(111), (112) |
Relations géométriques
Un cube a onze filets (un montré ci-dessus) : c'est-à-dire qu'il y a onze façons d'aplatir un cube creux en coupant sept arêtes. Pour colorer le cube de sorte que deux faces adjacentes n'aient pas la même couleur, il faudrait au moins trois couleurs.
Le cube est la cellule du seul pavage régulier de l'espace euclidien à trois dimensions . Il est également unique parmi les solides platoniciens à avoir des faces avec un nombre pair de côtés et, par conséquent, c'est le seul membre de ce groupe qui est un zonoèdre (chaque face a une symétrie ponctuelle).
Le cube peut être découpé en six pyramides carrées identiques . Si ces pyramides carrées sont ensuite attachées aux faces d'un deuxième cube, un dodécaèdre rhombique est obtenu (avec des paires de triangles coplanaires combinés en faces rhombiques).
Autres dimensions
L'analogue d'un cube dans l' espace euclidien à quatre dimensions a un nom spécial : un tesseract ou hypercube . Plus correctement, un hypercube (ou n cube ou simplement de dimension n -CUBE) est l'analogue du cube en n espace euclidien et un Tesseract -dimensionnelle est l'hypercube ordre 4. Un hypercube est aussi appelé polytope de mesure .
Il existe également des analogues du cube dans des dimensions inférieures : un point en dimension 0, un segment de ligne en une dimension et un carré en deux dimensions.
Polyèdres associés
Le quotient du cube par l'application antipodale donne un polyèdre projectif , l' hémicube .
Si le cube d'origine a une longueur d'arête 1, son polyèdre double (un octaèdre ) a une longueur d'arête .
Le cube est un cas particulier dans différentes classes de polyèdres généraux :
Nom | Des longueurs de bord égales ? | Angles égaux ? | Angles droits? |
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cube | Oui | Oui | Oui |
Rhomboèdre | Oui | Oui | Non |
Cuboïde | Non | Oui | Oui |
Parallélépipède | Non | Oui | Non |
hexaèdre à faces quadrilatérales | Non | Non | Non |
Les sommets d'un cube peuvent être groupés en deux groupes de quatre, formant chacun un tétraèdre régulier ; plus généralement, il s'agit d'un demi - cube . Ces deux ensemble forment un composé régulier , la stella octangula . L'intersection des deux forme un octaèdre régulier. Les symétries d'un tétraèdre régulier correspondent à celles d'un cube qui mappe chaque tétraèdre sur lui-même ; les autres symétries du cube font correspondre les deux.
Un tel tétraèdre régulier a un volume de 1/3de celui du cube. L'espace restant se compose de quatre tétraèdres irréguliers égaux avec un volume de1/6 de celui du cube, chacun.
Le cube rectifié est le cuboctaèdre . Si des coins plus petits sont coupés, nous obtenons un polyèdre avec six faces octogonales et huit triangulaires. On peut notamment obtenir des octogones réguliers ( cube tronqué ). Le rhombicuboctaèdre est obtenu en coupant les coins et les bords à la bonne quantité.
Un cube peut être inscrit dans un dodécaèdre de telle sorte que chaque sommet du cube soit un sommet du dodécaèdre et que chaque arête soit une diagonale d'une des faces du dodécaèdre ; prendre tous ces cubes donne lieu au composé régulier de cinq cubes.
Si deux coins opposés d'un cube sont tronqués à la profondeur des trois sommets qui leur sont directement connectés, on obtient un octaèdre irrégulier. Huit de ces octaèdres irréguliers peuvent être attachés aux faces triangulaires d'un octaèdre régulier pour obtenir le cuboctaèdre.
Le cube est topologiquement lié à une série de polyèdres sphériques et de pavages avec des figures de sommet d' ordre 3 .
* n 32 mutation de symétrie des pavages réguliers : { n ,3} | |||||||||||
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Sphérique | euclidien | Hyperb compact. | Paraco. | Hyperbolique non compact | |||||||
{2,3} | {3,3} | {4,3} | {5,3} | {6,3} | {7,3} | {8,3} | {∞,3} | {12i,3} | {9i,3} | {6i,3} | {3i,3} |
Le cuboctaèdre fait partie d'une famille de polyèdres uniformes apparentés au cube et à l'octaèdre régulier.
Polyèdres octaédriques uniformes | ||||||||||
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Symétrie : [4,3], (*432) | [4,3] + (432) |
[1 + ,4,3] = [3,3] (*332) |
[3 + ,4] (3*2) |
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{4,3} | t{4,3} |
r{4,3} r{3 1,1 } |
t{3,4} t{3 1,1 } |
{3,4} {3 1,1 } |
rr{4,3} s 2 {3,4} |
tr{4,3} | sr{4,3} |
h{4,3} {3,3} |
h 2 {4,3} t{3,3} |
s{3,4} s{3 1,1 } |
= |
= |
= |
= ou |
= ou |
= |
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Duels aux polyèdres uniformes | ||||||||||
V4 3 | V3.8 2 | V(3.4) 2 | V4.6 2 | V3 4 | V3.4 3 | V4.6.8 | V3 4 .4 | V3 3 | V3.6 2 | V3 5 |
Le cube est topologiquement lié comme une partie d'une séquence de pavages réguliers, s'étendant dans le plan hyperbolique : {4,p}, p=3,4,5...
* n 42 mutation de symétrie des pavages réguliers : {4, n } | |||||||||||
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Sphérique | euclidien | Hyperbolique compact | Paracompacte | ||||||||
{4,3} |
{4,4} |
{4,5} |
{4,6} |
{4,7} |
{4,8} ... |
{4,∞} |
Avec une symétrie dièdre , Dih 4 , le cube est topologiquement lié en une série de polyèdres uniformes et de pavages 4.2n.2n, s'étendant dans le plan hyperbolique :
* n 42 mutation de symétrie des pavages tronqués : 4.2 n .2 n | |||||||||||
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Symétrie * n 42 [n,4] |
Sphérique | euclidien | Hyperbolique compact | Paracomp. | |||||||
*242 [2,4] |
*342 [3,4] |
*442 [4,4] |
*542 [5,4] |
*642 [6,4] |
*742 [7,4] |
*842 [8,4]... |
*∞42 [∞,4] |
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Chiffres tronqués |
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Config. | 4.4.4 | 4.6.6 | 4.8.8 | 4.10.10 | 4.12.12 | 4.14.14 | 4.16.16 | 4.∞.∞ | |||
chiffres n-kis |
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Config. | V4.4.4 | V4.6.6 | V4.8.8 | V4.10.10 | V4.12.12 | V4.14.14 | V4.16.16 | V4.∞.∞ |
Toutes ces figures ont une symétrie octaédrique .
Le cube fait partie d'une séquence de polyèdres rhombiques et de pavages avec [ n ,3] symétrie du groupe de Coxeter . Le cube peut être vu comme un hexaèdre rhombique où les losanges sont des carrés.
Mutations de symétrie des pavages doubles quasiréguliers : V(3.n) 2 | |||||||||||
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*n32 | Sphérique | euclidien | Hyperbolique | ||||||||
*332 | *432 | *532 | *632 | *732 | *832... | *∞32 | |||||
Carrelage | |||||||||||
Conf. | V(3.3) 2 | V(3.4) 2 | V(3,5) 2 | V(3.6) 2 | V(3.7) 2 | V(3.8) 2 | V(3.∞) 2 |
Le cube est un prisme carré :
Nom du prisme | Prisme diagonal | (Trigonal) Prisme triangulaire |
(Tétragonal) Prisme carré |
Prisme pentagonal | Prisme hexagonal | Prisme heptagonal | Prisme octogonal | Prisme ennéagonal | Prisme décagonal | Prisme hendécagonal | Prisme dodécagonal | ... | Prisme apérogonal |
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Image polyèdre | ... | ||||||||||||
Image de carrelage sphérique | Image de carrelage plan | ||||||||||||
Configuration des sommets. | 2.4.4 | 3.4.4 | 4.4.4 | 5.4.4 | 6.4.4 | 7.4.4 | 8.4.4 | 9.4.4 | 10.4.4 | 11.4.4 | 12.4.4 | ... | .4.4 |
Diagramme de Coxeter | ... |
En tant que trapézoèdre trigonal , le cube est lié à la famille de symétrie dièdre hexagonale.
Polyèdres sphériques dièdres hexagonaux uniformes | ||||||||||||||
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Symétrie : [6,2] , (*622) | [6,2] + , (622) | [6,2 + ], (2*3) | ||||||||||||
{6,2} | t{6,2} | r{6,2} | t{2,6} | {2,6} | rr{6,2} | tr{6,2} | sr{6,2} | s{2,6} | ||||||
Duels aux uniformes | ||||||||||||||
V6 2 | V12 2 | V6 2 | V4.4.6 | V2 6 | V4.4.6 | V4.4.12 | V3.3.3.6 | V3.3.3.3 |
Composé de trois cubes |
Composé de cinq cubes |
En nids d'abeilles uniformes et polychora
C'est un élément de 9 des 28 nids d'abeilles uniformes convexes :
C'est aussi un élément de cinq polychores uniformes à quatre dimensions :
Tesseract |
Cantelled 16 cellules |
Tesseract runciné |
Cantitronqué 16 cellules |
Runcitroncé 16 cellules |
Graphique cubique
Graphique cubique | |
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Nommé après | Q 3 |
Sommets | 8 |
Bords | 12 |
Rayon | 3 |
Diamètre | 3 |
Circonférence | 4 |
Automorphismes | 48 |
Nombre chromatique | 2 |
Propriétés | Hamiltonien , régulier , symétrique , distance-régulier , distance-transitif , 3-vertex-connected , bipartite , graphe planaire |
Tableau des graphiques et paramètres |
Le squelette du cube (les sommets et les arêtes) forme un graphe , avec 8 sommets et 12 arêtes. C'est un cas particulier du graphe hypercube . C'est l'un des 5 graphes platoniciens , chacun étant un squelette de son solide platonicien .
Une extension est le graphe de Hamming k -aire tridimensionnel , qui pour k = 2 est le graphe cubique. Des graphiques de ce type apparaissent dans la théorie du traitement parallèle dans les ordinateurs.
Voir également
Les références
Liens externes
- Weisstein, Eric W. "Cube" . MathWorld .
- Cube : modèle de polyèdre interactif *
- Volume d'un cube , avec animation interactive
- Cube (site de Robert Webb)