Forme de courbure - Curvature form

En géométrie différentielle , la forme de courbure décrit la courbure d'une connexion sur un faisceau principal . Il peut être considéré comme une alternative ou une généralisation du tenseur de courbure en géométrie riemannienne .

Définition

Soit G un groupe de Lie d'algèbre de Lie , et P → B un G -fibré principal . Soit ω une connexion d'Ehresmann sur P (qui est une -forme à valeur unique sur P ). ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Alors la forme de courbure est la forme 2-valuée sur P définie par ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle \Omega =d\omega +{1 \over 2}[\omega \wedge \omega ]=D\omega .}$

Ici signifie dérivée extérieure , est défini dans l'article " Forme algébrique de Lie " et D désigne la dérivée covariante extérieure . En d'autres termes, ${\style d'affichage d}$${\displaystyle [\cdot \wedge \cdot ]}$

${\displaystyle \,\Omega (X,Y)=d\omega (X,Y)+{1 \over 2}[\omega (X),\omega (Y)]}$

où X , Y sont des vecteurs tangents à P .

Il existe également une autre expression pour Ω : si X , Y sont des champs de vecteurs horizontaux sur P , alors

${\displaystyle \sigma \Omega (X,Y)=-\omega ([X,Y])=-[X,Y]+h[X,Y]}$

où hZ désigne la composante horizontale de Z , à droite nous avons identifié un champ vectoriel vertical et un élément d'algèbre de Lie qui le génère ( champ vectoriel fondamental ), et est l'inverse du facteur de normalisation utilisé par convention dans la formule de la dérivée extérieure . ${\displaystyle \sigma \in \{1,2\}}$

Une liaison est dite plate si sa courbure s'annule : Ω = 0. De manière équivalente, une liaison est plate si le groupe structure peut être réduit au même groupe sous-jacent mais avec la topologie discrète.

Forme de courbure dans un faisceau vectoriel

Si E → B est un fibré vectoriel, alors on peut aussi considérer ω comme une matrice de 1-formes et la formule ci-dessus devient l'équation de structure de E. Cartan :

${\displaystyle \,\Omega =d\omega +\omega \wedge \omega ,}$

où est le produit de coin . Plus précisément, si et désignent les composantes de ω et de manière correspondante, (donc chacune est une 1-forme habituelle et chacune est une 2-forme habituelle) alors ${\displaystyle \wedge }$${\displaystyle {\omega ^{i}}_{j}}$${\displaystyle {\Omega ^{i}}_{j}}$${\displaystyle {\omega ^{i}}_{j}}$${\displaystyle {\Omega ^{i}}_{j}}$

${\displaystyle \Omega _{j}^{i}=d{\omega ^{i}}_{j}+\sum _{k}{\omega ^{i}}_{k}\wedge {\ oméga ^{k}}_{j}.}$

Par exemple, pour le fibré tangent d'une variété riemannienne , le groupe de structure est O( n ) et Ω est une 2-forme à valeurs dans l'algèbre de Lie de O( n ), c'est-à-dire les matrices antisymétriques . Dans ce cas, la forme est une description alternative du tenseur de courbure , c'est-à-dire

${\style d'affichage \,R(X,Y)=\Omega (X,Y),}$

en utilisant la notation standard pour le tenseur de courbure riemannien.

Identités Bianchi

Si est la forme 1 à valeur vectorielle canonique sur le faisceau de trames, la torsion de la forme de connexion est la forme 2 à valeur vectorielle définie par l'équation de la structure ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \Thêta }$ ${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle \Theta =d\theta +\omega \wedge \theta =D\theta ,}$

où comme ci-dessus D désigne la dérivée covariante extérieure .

La première identité Bianchi prend la forme

${\displaystyle D\Theta =\Omega \wedge \theta .}$

La deuxième identité Bianchi prend la forme

${\style d'affichage \,D\Omega =0}$

et est valable plus généralement pour toute connexion dans un faisceau principal .

Remarques

Les références

• Shoshichi Kobayashi et Katsumi Nomizu (1963) Foundations of Differential Geometry , Vol.I, Chapter 2.5 Curvature form and structure equation, p 75, Wiley Interscience .

Voir également

• Connexion (forfait principal)
• Introduction de base aux mathématiques de l'espace-temps courbe
• Formulaire Chern-Simons
• Courbure des variétés riemanniennes
• Théorie de la jauge