Système de coordonnées cylindriques - Cylindrical coordinate system

Un système de coordonnées cylindriques avec l'origine O , l'axe polaire A et l'axe longitudinal L . Le point est le point de la distance radiale ρ = 4 , coordonnée angulaire φ = 130 ° , et la hauteur z = 4 .

Un système de coordonnées cylindriques est un système de coordonnées tridimensionnel qui spécifie les positions des points par la distance à partir d'un axe de référence choisi, la direction de l'axe par rapport à une direction de référence choisie et la distance à partir d'un plan de référence choisi perpendiculaire à l'axe. Cette dernière distance est donnée sous forme de nombre positif ou négatif selon le côté du plan de référence faisant face au point.

L' origine du système est le point où les trois coordonnées peuvent être données comme zéro. Il s'agit de l'intersection entre le plan de référence et l'axe. L'axe est appelé diversement axe cylindrique ou longitudinal , pour le différencier de l' axe polaire , qui est le rayon qui se trouve dans le plan de référence, partant de l'origine et pointant dans la direction de référence. Les autres directions perpendiculaires à l'axe longitudinal sont appelées lignes radiales .

La distance par rapport à l'axe peut être appelée distance radiale ou rayon , tandis que la coordonnée angulaire est parfois appelée position angulaire ou azimut . Le rayon et l'azimut sont appelés ensemble les coordonnées polaires , car ils correspondent à un système de coordonnées polaires à deux dimensions dans le plan passant par le point, parallèle au plan de référence. La troisième coordonnée peut être appelée hauteur ou altitude (si le plan de référence est considéré comme horizontal), position longitudinale ou position axiale .

Les coordonnées cylindriques sont utiles en relation avec des objets et des phénomènes qui présentent une certaine symétrie de rotation autour de l'axe longitudinal, tels que l'écoulement de l'eau dans un tuyau droit à section ronde, la répartition de la chaleur dans un cylindre métallique , les champs électromagnétiques produits par un courant électrique dans un long fil droit, disques d'accrétion en astronomie, etc.

Elles sont parfois appelées « coordonnées polaires cylindriques » et « coordonnées polaires cylindriques », et sont parfois utilisées pour spécifier la position des étoiles dans une galaxie (« coordonnées polaires cylindriques galactocentriques »).

Définition

Les trois coordonnées ( ρ , φ , z ) d'un point P sont définies comme :

  • La distance axiale ou la distance radiale ρ est la distance euclidienne de la z -AXIS au point P .
  • L' azimut φ est l'angle entre la direction de référence sur le plan choisi et la ligne à partir de l'origine à la projection de P sur le plan.
  • La coordonnée axiale ou hauteur z est la distance signée du plan choisi au point P .

Coordonnées cylindriques uniques

Comme en coordonnées polaires, le même point de coordonnées cylindriques ( ρ , φ , z ) a une infinité de coordonnées équivalentes, à savoir ( ρ , φ ± n × 360 °, z ) et (- ρ , φ ± (2 n + 1) ×180°, z ),n est un entier quelconque. En outre, si le rayon ρ est égal à zéro, l'azimut est arbitraire.

Dans les situations où quelqu'un veut un ensemble unique de coordonnées pour chaque point, on peut restreindre le rayon à être non négatif ( ρ ≥ 0 ) et l'azimut φ à se situer dans un intervalle spécifique couvrant 360°, tel que [−180°, +180°] ou [0,360°] .

Conventions

La notation des coordonnées cylindriques n'est pas uniforme. L' ISO norme 31-11 recommande ( ρ , φ , z ) , où ρ est la coordonnée radiale, φ l'azimut et z la hauteur. Cependant, le rayon est aussi souvent notée r ou s , l'azimut par θ ou t , et la troisième coordonnée par h ou (si l'axe cylindrique est considéré horizontal) x , ou une lettre spécifique au contexte.

Les coordonnées des surfaces des coordonnées cylindriques ( ρ , φ , z ) . Le cylindre rouge montre les points avec ρ = 2 , le plan bleu montre les points avec z = 1 , et le demi-plan jaune montre les points avec φ = −60° . L' axe z est vertical et l' axe x est surligné en vert. Les trois surfaces se coupent au point P avec ces coordonnées (représentées par une sphère noire) ; les coordonnées cartésiennes de P sont approximativement (1,0, -1,732, 1,0).
Surfaces de coordonnées cylindriques. Les trois composantes orthogonales, ρ (vert), φ (rouge), et z (bleu), chacun augmentant à une vitesse constante. Le point est à l'intersection entre les trois surfaces colorées.

Dans des situations concrètes et dans de nombreuses illustrations mathématiques, une coordonnée angulaire positive est mesurée dans le sens inverse des aiguilles d'une montre à partir de n'importe quel point avec une hauteur positive.

Conversions de système de coordonnées

Le système de coordonnées cylindriques est l'un des nombreux systèmes de coordonnées tridimensionnels. Les formules suivantes peuvent être utilisées pour convertir entre elles.

Coordonnées cartésiennes

Pour la conversion entre les coordonnées cylindriques et cartésiennes, il est commode de supposer que le plan de référence du premier est le plan xy cartésien (avec l'équation z = 0 ), et l'axe cylindrique est l'axe z cartésien . Ensuite , le z -Coordonner est le même dans les deux systèmes, et la correspondance entre cylindrique ( ρ , φ , z ) et cartésien ( x , y , z ) sont les mêmes que pour les coordonnées polaires, à savoir

dans un sens, et

dans l'autre. La fonction arcsin est l'inverse de la fonction sinus et est supposée renvoyer un angle dans la plage [− ??/2,+??/2] = [−90°,+90°] . Ces formules donnent un azimut φ dans l'intervalle [-90 °, + 270 °] . Pour d'autres formules, voir l'article sur les coordonnées polaires .

De nombreux langages de programmation modernes fournissent une fonction qui calcule l'azimut correct φ , dans la plage (−π, π) , étant donné x et y , sans avoir besoin d'effectuer une analyse de cas comme ci-dessus. Par exemple, cette fonction est appelée par atan2 ( y , x ) dans le langage de programmation C , et atan( y , x ) dans Common Lisp .

Coordonnées sphériques

Les coordonnées sphériques (rayon r , élévation ou inclinaison θ , azimut φ ), peuvent être converties en coordonnées cylindriques par :

θ est l' élévation: θ est l' inclinaison:

Les coordonnées cylindriques peuvent être converties en coordonnées sphériques par :

θ est l' élévation: θ est l' inclinaison:

Éléments de ligne et de volume

Voir l' intégrale multiple pour plus de détails sur l'intégration du volume en coordonnées cylindriques, et Del en coordonnées cylindriques et sphériques pour les formules de calcul vectoriel .

Dans de nombreux problèmes impliquant des coordonnées polaires cylindriques, il est utile de connaître les éléments de ligne et de volume ; ceux-ci sont utilisés en intégration pour résoudre des problèmes impliquant des chemins et des volumes.

L' élément de ligne est

L' élément de volume est

L' élément de surface dans une surface de rayon constant ρ (un cylindre vertical) est

L'élément de surface en une surface d'azimut constant φ (un demi-plan vertical) est

L'élément de surface dans une surface de hauteur constante z (un plan horizontal) est

L' opérateur del dans ce système conduit aux expressions suivantes pour gradient , divergence , curl et laplacien :

Harmoniques cylindriques

Les solutions de l' équation de Laplace dans un système à symétrie cylindrique sont appelées harmoniques cylindriques .

Voir également

Les références

Lectures complémentaires

Liens externes