David Hilbert - David Hilbert

David Hilbert
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Hilbert en 1912
Née ( 1862-01-23 )23 janvier 1862
Décédés 14 février 1943 (1943-02-14)(81 ans)
Nationalité Allemand
Éducation Université de Königsberg ( PhD )
Connu pour Théorème de base de
Hilbert Axiomes de
Hilbert Problèmes de
Hilbert Programme
de Hilbert Action d'Einstein–
Hilbert Espace de Hilbert
Calcul d'Epsilon
Conjoint(s) Käthe Jerosch
Enfants François (né en 1893)
Récompenses Prix ​​Lobatchevsky (1903)
Prix ​​Bolyai (1910)
ForMemRS
Carrière scientifique
Des champs Mathématiques , Physique et Philosophie
Établissements Université de Königsberg Université de
Göttingen
Thèse Sur les propriétés invariantes des formes binaires spéciales, en particulier des fonctions sphériques  (1885)
Conseiller de doctorat Ferdinand von Lindemann
Doctorants
D'autres étudiants notables Edward Kasner
John von Neumann
Influences Emmanuel Kant

David Hilbert ( / h ɪ l b ər t / ; allemand: [daːvɪt hɪlbɐt] , 23 Janvier 1862-1814 Février 1943) était un mathématicien allemand et l' un des plus influents mathématiciens du 19ème et au début du 20e siècle. Hilbert a découvert et développé un large éventail d'idées fondamentales dans de nombreux domaines, notamment la théorie invariante , le calcul des variations , l' algèbre commutative , la théorie algébrique des nombres , les fondements de la géométrie , la théorie spectrale des opérateurs et son application aux équations intégrales , la physique mathématique et les fondements des mathématiques (en particulier la théorie de la preuve ).

Hilbert a adopté et défendu la théorie des ensembles et les nombres transfinis de Georg Cantor . En 1900, il a présenté une collection de problèmes qui ont ouvert la voie à une grande partie de la recherche mathématique du 20e siècle.

Hilbert et ses étudiants ont contribué de manière significative à établir la rigueur et ont développé des outils importants utilisés dans la physique mathématique moderne. Hilbert est connu comme l'un des fondateurs de la théorie de la preuve et de la logique mathématique .

La vie

Première vie et éducation

Hilbert, premier de deux enfants et fils unique d'Otto et de Marie-Thérèse (Erdtmann) Hilbert, est né dans la Province de Prusse , Royaume de Prusse , soit à Königsberg (selon la propre déclaration de Hilbert) soit à Wehlau (connu depuis 1946 sous le nom de Znamensk ) près de Königsberg où son père travaillait au moment de sa naissance.

À la fin de 1872, Hilbert entra au Friedrichskolleg Gymnasium ( Collegium fridericianum , la même école qu'Immanuel Kant avait fréquentée 140 ans auparavant); mais, après une période malheureuse, il est transféré (fin 1879) et diplômé (début 1880) du Wilhelm Gymnasium, plus axé sur les sciences. Après l'obtention de son diplôme, à l'automne 1880, Hilbert s'inscrit à l' université de Königsberg , la « Albertina ». Au début de 1882, Hermann Minkowski (deux ans plus jeune que Hilbert et également originaire de Königsberg mais était allé à Berlin pour trois semestres), retourna à Königsberg et entra à l'université. Hilbert a développé une amitié de longue date avec le timide et doué Minkowski.

Carrière

En 1884, Adolf Hurwitz arriva de Göttingen en tant qu'extraordinaire (c'est-à-dire professeur agrégé). Un échange scientifique intense et fructueux entre les trois a commencé, et Minkowski et Hilbert surtout exerceraient une influence réciproque l'un sur l'autre à divers moments de leur carrière scientifique. Hilbert a obtenu son doctorat en 1885, avec une thèse, écrite sous Ferdinand von Lindemann , intitulée Über invariante Eigenschaften spezieller binärer Formen, insbesondere der Kugelfunktionen ("Sur les propriétés invariantes des formes binaires spéciales , en particulier les fonctions harmoniques sphériques" ).

Hilbert est resté à l'Université de Königsberg en tant que Privatdozent ( maître de conférences ) de 1886 à 1895. En 1895, à la suite d'une intervention en son nom par Felix Klein , il a obtenu le poste de professeur de mathématiques à l' Université de Göttingen . Pendant les années Klein et Hilbert, Göttingen devint l'institution prééminente dans le monde mathématique. Il y resta toute sa vie.

L'institut de mathématiques de Göttingen. Son nouveau bâtiment, construit avec des fonds de la Fondation Rockefeller , a été inauguré par Hilbert et Courant en 1930.

École de Göttingen

Parmi les étudiants de Hilbert se trouvaient Hermann Weyl , le champion d' échecs Emanuel Lasker , Ernst Zermelo et Carl Gustav Hempel . John von Neumann était son assistant. À l'université de Göttingen, Hilbert était entouré d'un cercle social de certains des mathématiciens les plus importants du 20e siècle, tels qu'Emmy Noether et Alonzo Church .

Parmi ses 69 doctorats. Les étudiants de Göttingen étaient nombreux à devenir plus tard des mathématiciens célèbres, dont (avec la date de la thèse) : Otto Blumenthal (1898), Felix Bernstein (1901), Hermann Weyl (1908), Richard Courant (1910), Erich Hecke (1910), Hugo Steinhaus (1911) et Wilhelm Ackermann (1925). Entre 1902 et 1939, Hilbert était rédacteur en chef des Mathematische Annalen , la principale revue mathématique de l'époque.

Bon, il n'avait pas assez d'imagination pour devenir mathématicien.

—  La réponse de Hilbert en apprenant qu'un de ses élèves avait abandonné pour étudier la poésie.

Vie privée

Käthe Hilbert avec Constantin Carathéodory , avant 1932

En 1892, Hilbert épousa Käthe Jerosch (1864-1945), qui était la fille d'un marchand de Königsberg, une jeune femme au franc-parler avec une indépendance d'esprit qui correspondait à celle de [Hilbert]. 1893-1969). Franz souffrit toute sa vie d'une maladie mentale non diagnostiquée. Son intellect inférieur était une terrible déception pour son père et ce malheur était une question de détresse pour les mathématiciens et les étudiants de Göttingen.

Hilbert considérait le mathématicien Hermann Minkowski comme son « meilleur et plus vrai ami ».

Hilbert fut baptisé et élevé calviniste dans l' Église évangélique prussienne . Il quitta plus tard l'Église et devint agnostique . Il a également soutenu que la vérité mathématique était indépendante de l'existence de Dieu ou d'autres hypothèses a priori . Lorsque Galileo Galilei a été critiqué pour ne pas avoir défendu ses convictions sur la théorie héliocentrique , Hilbert a objecté : « Mais [Galileo] n'était pas un idiot. Seul un idiot pouvait croire que la vérité scientifique a besoin du martyre ; cela peut être nécessaire en religion, mais les résultats scientifiques font leurs preuves en temps voulu."

Des années plus tard

Comme Albert Einstein , Hilbert avait des contacts étroits avec le groupe de Berlin dont les principaux fondateurs avaient étudié sous Hilbert à Göttingen ( Kurt Grelling , Hans Reichenbach et Walter Dubislav ).

Vers 1925, Hilbert a développé une anémie pernicieuse , une carence en vitamines alors incurable dont le symptôme principal est l'épuisement ; son assistant Eugene Wigner l'a décrit comme sujet à "une énorme fatigue" et comment il "semblait assez vieux", et que même après avoir finalement été diagnostiqué et traité, il "était à peine un scientifique après 1925, et certainement pas un Hilbert".

Hilbert a vécu pour voir les nazis purger de nombreux membres éminents du corps professoral de l' Université de Göttingen en 1933. Ceux qui ont été expulsés comprenaient Hermann Weyl (qui avait pris la présidence de Hilbert lorsqu'il a pris sa retraite en 1930), Emmy Noether et Edmund Landau . Celui qui dut quitter l'Allemagne, Paul Bernays , avait collaboré avec Hilbert en logique mathématique, et co-écrit avec lui l'important livre Grundlagen der Mathematik (qui parut finalement en deux volumes, en 1934 et 1939). C'était une suite au livre de Hilbert- Ackermann Principes de logique mathématique de 1928. Le successeur d'Hermann Weyl était Helmut Hasse .

Environ un an plus tard, Hilbert assista à un banquet et était assis à côté du nouveau ministre de l'Éducation, Bernhard Rust . Rust a demandé si "l' Institut de Mathématiques a vraiment tant souffert à cause du départ des Juifs". Hilbert a répondu : « A souffert ? Il n'existe plus, n'est-ce pas !

Décès

Tombeau d'Hilbert :
Wir müssen wissen
Wir werden wissen

Au moment où Hilbert mourut en 1943, les nazis avaient presque complètement réorganisé l'université, car bon nombre des anciens professeurs étaient soit juifs, soit mariés à des juifs. Les funérailles de Hilbert ont réuni moins d'une douzaine de personnes, dont seulement deux étaient des collègues universitaires, parmi lesquels Arnold Sommerfeld , un physicien théoricien et également originaire de Königsberg. La nouvelle de sa mort n'a été connue du monde entier que six mois après sa mort.

L'épitaphe sur sa pierre tombale à Göttingen se compose des lignes célèbres qu'il a prononcées à la fin de son discours de retraite à la Société des scientifiques et médecins allemands le 8 septembre 1930. Les mots ont été donnés en réponse à la maxime latine : " Ignoramus et ignorabimus " ou "Nous ne savons pas, nous ne saurons pas":

Wir müssen wissen.
Wir werden wissen.

Nous devons savoir.
On va savoir.

La veille du jour où Hilbert a prononcé ces phrases lors de la réunion annuelle de 1930 de la Société des scientifiques et médecins allemands, Kurt Gödel - lors d'une table ronde lors de la Conférence sur l'épistémologie tenue conjointement avec les réunions de la Société - a provisoirement annoncé la première expression de son théorème d'incomplétude. . Les théorèmes d'incomplétude de Gödel montrent que même les systèmes axiomatiques élémentaires tels que l'arithmétique de Peano se contredisent ou contiennent des propositions logiques impossibles à prouver ou à réfuter.

Contributions aux mathématiques et à la physique

Hilbert résout le problème de Gordan

Les premiers travaux de Hilbert sur les fonctions invariantes l'ont conduit à la démonstration en 1888 de son célèbre théorème de finitude . Vingt ans plus tôt, Paul Gordan avait démontré le théorème de la finitude des générateurs de formes binaires en utilisant une approche computationnelle complexe. Les tentatives de généraliser sa méthode aux fonctions avec plus de deux variables ont échoué en raison de l'énorme difficulté des calculs impliqués. Pour résoudre ce qui était devenu connu dans certains cercles comme le problème de Gordan , Hilbert s'est rendu compte qu'il était nécessaire de prendre un chemin complètement différent. En conséquence, il a démontré le théorème de base de Hilbert , montrant l'existence d'un ensemble fini de générateurs, pour les invariants de quantique dans un nombre quelconque de variables, mais sous une forme abstraite. Autrement dit, tout en démontrant l'existence d'un tel ensemble, ce n'était pas une preuve constructive - il n'affichait pas "un objet" - mais plutôt, c'était une preuve d'existence et reposait sur l'utilisation de la loi du tiers exclu dans une extension infinie .

Hilbert envoya ses résultats aux Mathematische Annalen . Gordan, l'expert de la maison sur la théorie des invariants pour les Mathematische Annalen , n'a pas pu apprécier la nature révolutionnaire du théorème de Hilbert et a rejeté l'article, critiquant l'exposé parce qu'il n'était pas suffisamment complet. Son commentaire était :

Das ist nicht Mathematik. Théologie Dasiste.

Ce n'est pas des mathématiques. C'est la théologie.

Klein , d'autre part, a reconnu l'importance de l'œuvre et a garanti qu'elle serait publiée sans aucune modification. Encouragé par Klein, Hilbert étendit sa méthode dans un deuxième article, fournissant des estimations sur le degré maximum de l'ensemble minimum de générateurs, et il l'envoya une fois de plus aux Annalen . Après avoir lu le manuscrit, Klein lui écrivit :

C'est sans aucun doute l'ouvrage le plus important sur l'algèbre générale que les Annalen aient jamais publié.

Plus tard, après que l'utilité de la méthode de Hilbert ait été universellement reconnue, Gordan lui-même dira :

Je me suis convaincu que même la théologie a ses mérites.

Malgré tous ses succès, la nature de sa preuve a créé plus de problèmes que Hilbert n'aurait pu l'imaginer. Bien que Kronecker ait concédé, Hilbert répondrait plus tard aux critiques similaires d'autres personnes selon lesquelles « de nombreuses constructions différentes sont subsumées sous une idée fondamentale » — en d'autres termes (pour citer Reid) : « Grâce à une preuve d'existence, Hilbert avait pu obtenir une construction"; "la preuve" (c'est-à-dire les symboles sur la page) était "l'objet". Tous n'étaient pas convaincus. Alors que Kronecker mourrait peu de temps après, sa philosophie constructiviste se poursuivrait avec le jeune Brouwer et son « école » intuitionniste en développement , au grand dam de Hilbert dans ses dernières années. En effet, Hilbert perdrait son « élève doué » Weyl à cause de l'intuitionnisme — « Hilbert était troublé par la fascination de son ancien élève pour les idées de Brouwer, qui éveillaient chez Hilbert le souvenir de Kronecker ». L'intuitionniste Brouwer s'opposait en particulier à l'utilisation de la loi du milieu exclu sur des ensembles infinis (comme Hilbert l'avait utilisée). Hilbert a répondu :

Prendre le Principe du Milieu Exclus du mathématicien... revient à... interdire au boxeur l'usage de ses poings.

Axiomatisation de la géométrie

Le texte Grundlagen der Geometrie (tr.: Foundations of Geometry ) publié par Hilbert en 1899 propose un ensemble formel, appelé les axiomes de Hilbert, se substituant aux axiomes traditionnels d'Euclide . Ils évitent les faiblesses relevées dans celles d' Euclide , dont les ouvrages à l'époque étaient encore utilisés à la manière des manuels scolaires. Il est difficile de préciser les axiomes utilisés par Hilbert sans se référer à l'historique des publications des Grundlagen puisque Hilbert les a changés et modifiés plusieurs fois. La monographie originale a été rapidement suivie d'une traduction française, dans laquelle Hilbert a ajouté V.2, l'axiome de complétude. Une traduction en anglais, autorisée par Hilbert, a été réalisée par EJ Townsend et protégée par copyright en 1902. Cette traduction a incorporé les modifications apportées à la traduction française et est donc considérée comme une traduction de la 2e édition. Hilbert continua d'apporter des modifications au texte et plusieurs éditions parurent en allemand. La 7e édition fut la dernière à paraître du vivant de Hilbert. De nouvelles éditions ont suivi la 7, mais le texte principal n'a pour l'essentiel pas été révisé.

L'approche de Hilbert a marqué le passage à la méthode axiomatique moderne . En cela, Hilbert était anticipé par les travaux de Moritz Pasch de 1882. Les axiomes ne sont pas considérés comme des vérités évidentes. La géométrie peut traiter des choses sur lesquelles nous avons des intuitions puissantes, mais il n'est pas nécessaire d'attribuer un sens explicite aux concepts indéfinis. Les éléments, tels que le point , la ligne , le plan et autres, pourraient être remplacés, comme Hilbert l'aurait dit à Schoenflies et Kötter , par des tables, des chaises, des verres de bière et d'autres objets similaires. Ce sont leurs relations définies qui sont discutées.

Hilbert énumère d'abord les concepts indéfinis : point, ligne, plan, couché (une relation entre des points et des lignes, des points et des plans et des lignes et des plans), interdépendance, congruence de paires de points ( segments de ligne ) et congruence d' angles . Les axiomes unifient à la fois la géométrie plane et la géométrie solide d'Euclide en un seul système.

Les 23 problèmes

Hilbert a présenté une liste très influente de 23 problèmes non résolus au Congrès international des mathématiciens à Paris en 1900. Ceci est généralement considéré comme la compilation la plus réussie et la plus approfondie de problèmes ouverts jamais produite par un mathématicien individuel.

Après avoir retravaillé les fondements de la géométrie classique, Hilbert aurait pu extrapoler au reste des mathématiques. Son approche différait cependant de celle du «fondateur» ultérieur Russell-Whitehead ou «encyclopédiste» Nicolas Bourbaki et de son contemporain Giuseppe Peano . La communauté mathématique dans son ensemble pouvait s'engager dans des problèmes, qu'il avait identifiés comme des aspects cruciaux des domaines des mathématiques qu'il considérait comme essentiels.

La problématique a été lancée sous la forme d'un exposé « Les problèmes des mathématiques » présenté au cours du IIe Congrès international des mathématiciens tenu à Paris. L'introduction du discours prononcé par Hilbert disait :

Qui d'entre nous ne serait heureux de lever le voile derrière lequel se cache l'avenir ; contempler les développements à venir de notre science et les secrets de son développement dans les siècles à venir ? Quelles seront les fins vers lesquelles tendra l'esprit des générations futures de mathématiciens ? Quelles méthodes, quels faits nouveaux le siècle nouveau révélera-t-il dans le vaste et riche champ de la pensée mathématique ?

Il a présenté moins de la moitié des problèmes au Congrès, qui ont été publiés dans les actes du Congrès. Dans une publication ultérieure, il a étendu le panorama et est arrivé à la formulation des 23 problèmes de Hilbert, désormais canoniques. Voir aussi le vingt-quatrième problème de Hilbert . Le texte intégral est important, car l'exégèse des questions peut encore faire l'objet d'un débat inévitable, chaque fois qu'il est demandé combien ont été résolues.

Certains d'entre eux ont été résolus en peu de temps. D'autres ont été discutés tout au long du XXe siècle, certains étant maintenant considérés comme inadaptés pour aboutir à une conclusion. Certains continuent même à ce jour de rester un défi pour les mathématiciens.

Formalisme

Dans un récit devenu standard au milieu du siècle, la problématique de Hilbert était aussi une sorte de manifeste, qui a ouvert la voie au développement de l' école formaliste , l'une des trois grandes écoles de mathématiques du 20e siècle. Selon le formaliste, les mathématiques sont la manipulation de symboles selon des règles formelles convenues. C'est donc une activité autonome de la pensée. Il y a, cependant, place à douter que les propres vues de Hilbert étaient simpliste formaliste dans ce sens.

Le programme d'Hilbert

En 1920, Hilbert a proposé un projet de recherche en métamathématiques qui est devenu connu sous le nom de programme de Hilbert. Il voulait que les mathématiques soient formulées sur une base logique solide et complète. Il pensait qu'en principe cela pouvait être fait en montrant que :

  1. toutes les mathématiques découlent d'un système fini d' axiomes correctement choisi ; et
  2. qu'un tel système d'axiome est prouvable cohérent par certains moyens tels que le calcul epsilon .

Il semble avoir eu des raisons à la fois techniques et philosophiques pour formuler cette proposition. Il affirmait son aversion pour ce qui était devenu connu sous le nom d' ignoabimus , un problème encore actif à son époque dans la pensée allemande, et remontait dans cette formulation à Emil du Bois-Reymond .

Ce programme est encore reconnaissable dans la philosophie des mathématiques la plus populaire , où il est généralement appelé formalisme . Par exemple, le groupe Bourbaki en a adopté une version édulcorée et sélective adaptée aux exigences de leurs projets jumeaux de (a) rédaction d'ouvrages fondateurs encyclopédiques et (b) de soutien à la méthode axiomatique comme outil de recherche. Cette approche a été couronnée de succès et influente en relation avec les travaux de Hilbert en algèbre et en analyse fonctionnelle, mais n'a pas réussi à s'engager de la même manière avec ses intérêts pour la physique et la logique.

Hilbert écrivait en 1919 :

Nous ne parlons pas ici d'arbitraire en aucun sens. Les mathématiques ne sont pas comme un jeu dont les tâches sont déterminées par des règles arbitrairement stipulées. Il s'agit plutôt d'un système conceptuel possédant une nécessité interne qui ne peut être que telle et nullement autrement.

Hilbert a publié ses vues sur les fondements des mathématiques dans l'ouvrage en 2 volumes, Grundlagen der Mathematik .

L'oeuvre de Gödel

Hilbert et les mathématiciens qui ont travaillé avec lui dans son entreprise se sont engagés dans le projet. Sa tentative de soutenir les mathématiques axiomatisées avec des principes définitifs, qui pourraient bannir les incertitudes théoriques, s'est soldée par un échec.

Gödel a démontré que tout système formel non contradictoire, qui était suffisamment complet pour inclure au moins l'arithmétique, ne peut pas démontrer sa complétude au moyen de ses propres axiomes. En 1931, son théorème d'incomplétude montra que le grand plan de Hilbert était impossible comme indiqué. Le deuxième point ne peut en aucun cas être combiné avec le premier point, tant que le système d'axiomes est véritablement finitaire .

Néanmoins, les réalisations ultérieures de la théorie de la preuve ont pour le moins clarifié la cohérence en ce qui concerne les théories qui préoccupent au cœur les mathématiciens. Le travail d'Hilbert avait lancé la logique sur cette voie de clarification ; le besoin de comprendre les travaux de Gödel a ensuite conduit au développement de la théorie de la récursion puis de la logique mathématique en tant que discipline autonome dans les années 1930. La base de l'informatique théorique ultérieure , dans les travaux d' Alonzo Church et d' Alan Turing , est également née directement de ce « débat ».

Analyse fonctionnelle

Vers 1909, Hilbert se consacre à l'étude des équations différentielles et intégrales ; son travail a eu des conséquences directes pour des parties importantes de l'analyse fonctionnelle moderne. Afin de mener à bien ces études, Hilbert a introduit le concept d'un espace euclidien de dimension infinie , appelé plus tard espace de Hilbert . Son travail dans cette partie de l'analyse a fourni la base d'importantes contributions aux mathématiques de la physique au cours des deux décennies suivantes, bien que dans une direction imprévue. Plus tard, Stefan Banach a amplifié le concept, définissant les espaces de Banach . Les espaces de Hilbert sont une classe d'objets importante dans le domaine de l'analyse fonctionnelle , en particulier de la théorie spectrale des opérateurs linéaires auto-adjoints, qui s'est développée autour d'elle au cours du 20ème siècle.

La physique

Jusqu'en 1912, Hilbert était presque exclusivement un pur mathématicien . Lors de la planification d'une visite de Bonn, où il était immergé dans des études de physique, son collègue mathématicien et ami Hermann Minkowski a plaisanté en disant qu'il devait passer 10 jours en quarantaine avant de pouvoir rendre visite à Hilbert. En fait, Minkowski semble responsable de la plupart des recherches de physique de Hilbert avant 1912, y compris leur séminaire conjoint sur le sujet en 1905.

En 1912, trois ans après la mort de son ami, Hilbert se concentre presque exclusivement sur le sujet. Il s'est arrangé pour avoir un "tuteur de physique" pour lui-même. Il a commencé à étudier la théorie des gaz cinétiques et est passé à la théorie du rayonnement élémentaire et à la théorie moléculaire de la matière. Même après le début de la guerre en 1914, il continua des séminaires et des cours où les travaux d' Albert Einstein et d'autres étaient suivis de près.

En 1907, Einstein avait élaboré les principes fondamentaux de la théorie de la gravité , mais a ensuite lutté pendant près de 8 ans pour mettre la théorie dans sa forme finale . Au début de l'été 1915, l'intérêt de Hilbert pour la physique s'était concentré sur la relativité générale , et il invita Einstein à Göttingen pour donner une semaine de conférences sur le sujet. Einstein a reçu un accueil enthousiaste à Göttingen. Au cours de l'été, Einstein a appris que Hilbert travaillait également sur les équations de champ et a redoublé d'efforts. En novembre 1915, Einstein publia plusieurs articles dont le point culminant était The Field Equations of Gravitation (voir Einstein field equations ). Presque simultanément, David Hilbert a publié « The Foundations of Physics », une dérivation axiomatique des équations de champ (voir action Einstein-Hilbert ). Hilbert a pleinement crédité Einstein comme l'initiateur de la théorie et aucun conflit de priorité publique concernant les équations de champ n'a jamais surgi entre les deux hommes au cours de leur vie. Voir plus en priorité .

De plus, les travaux de Hilbert ont anticipé et aidé plusieurs avancées dans la formulation mathématique de la mécanique quantique . Son travail a été un élément clé de Hermann Weyl et John von Neumann 'travail sur l'équivalence mathématique de Werner Heisenberg est la mécanique de la matrice et Erwin Schrödinger de l » équation des ondes , et son homonyme espace de Hilbert joue un rôle important dans la théorie quantique. En 1926, von Neumann montra que, si les états quantiques étaient compris comme des vecteurs dans l'espace de Hilbert, ils correspondraient à la fois à la théorie des fonctions d'onde de Schrödinger et aux matrices de Heisenberg.

Tout au long de cette immersion en physique, Hilbert a travaillé à mettre de la rigueur dans les mathématiques de la physique. Bien que très dépendants des mathématiques supérieures, les physiciens avaient tendance à être « négligents » avec cela. Pour un pur mathématicien comme Hilbert, c'était à la fois laid et difficile à comprendre. Alors qu'il commençait à comprendre la physique et la façon dont les physiciens utilisaient les mathématiques, il développa une théorie mathématique cohérente pour ce qu'il trouva, surtout dans le domaine des équations intégrales . Lorsque son collègue Richard Courant a écrit le désormais classique Methoden der mathematischen Physik ( Méthodes de physique mathématique ) comprenant certaines des idées de Hilbert, il a ajouté le nom de Hilbert comme auteur même si Hilbert n'avait pas directement contribué à l'écriture. Hilbert a dit « La physique est trop difficile pour les physiciens », ce qui implique que les mathématiques nécessaires étaient généralement au-delà d'eux ; le livre de Courant-Hilbert leur a facilité la tâche.

La théorie du nombre

Hilbert a unifié le domaine de la théorie algébrique des nombres avec son traité de 1897 Zahlbericht (littéralement « rapport sur les nombres »). Il a également résolu un problème important de théorie des nombres formulé par Waring en 1770. Comme pour le théorème de finitude , il a utilisé une preuve d'existence qui montre qu'il doit y avoir des solutions au problème plutôt que de fournir un mécanisme pour produire les réponses. Il n'avait alors plus grand-chose à publier sur le sujet ; mais l'émergence de formes modulaires Hilbert dans la thèse d'un étudiant signifie que son nom est en outre attaché à un domaine majeur.

Il a fait une série de conjectures sur la théorie des champs de classes . Les concepts étaient très influents et sa propre contribution se perpétue dans les noms du champ de classe de Hilbert et du symbole de Hilbert de la théorie des champs de classe locale . Les résultats ont été pour la plupart prouvés en 1930, après les travaux de Teiji Takagi .

Hilbert n'a pas travaillé dans les domaines centraux de la théorie analytique des nombres , mais son nom est devenu connu pour la conjecture de Hilbert-Pólya , pour des raisons anecdotiques.

Travaux

Ses œuvres rassemblées ( Gesammelte Abhandlungen ) ont été publiées plusieurs fois. Les versions originales de ses papiers contenaient « de nombreuses erreurs techniques de degré variable » ; lorsque la collection a été publiée pour la première fois, les erreurs ont été corrigées et il a été constaté que cela pouvait être fait sans changements majeurs dans les énoncés des théorèmes, à une exception près - une preuve revendiquée de l' hypothèse du continu . Les erreurs étaient néanmoins si nombreuses et importantes qu'il a fallu trois ans à Olga Taussky-Todd pour apporter les corrections.

Voir également

notions

Notes de bas de page

Citations

Sources

Littérature primaire en traduction anglaise

  • Ewald, William B., éd. (1996). De Kant à Hilbert : Un livre source dans les fondements des mathématiques . Oxford, Royaume-Uni : Oxford University Press.
    • 1918. "Pensée axiomatique", 1114-1115.
    • 1922. "Le nouveau fondement des mathématiques: premier rapport," 1115-1133.
    • 1923. "Les fondements logiques des mathématiques," 1134-1147.
    • 1930. "La logique et la connaissance de la nature," 1157-1165.
    • 1931. "La mise à la terre de la théorie des nombres élémentaires," 1148-1156.
    • 1904. "Sur les fondements de la logique et de l'arithmétique," 129-138.
    • 1925. "Sur l'infini", 367-392.
    • 1927. "Les fondements des mathématiques", avec commentaire de Weyl et appendice de Bernays , 464-489.
  • van Heijenoort, Jean (1967). De Frege à Gödel : Un livre source en logique mathématique, 1879-1931 . Presses de l'Université Harvard.
  • Hilbert, David (1950) [1902]. Les fondements de la géométrie [Grundlagen der Geometrie] (PDF) . Traduit par Townsend, EJ (2e éd.). La Salle, IL : Open Court Publishing.
  • Hilbert, David (1990) [1971]. Fondements de la géométrie [Grundlagen der Geometrie] . Traduit par Unger, Leo (2e édition anglaise). La Salle, IL : Open Court Publishing. ISBN 978-0-87548-164-7. traduit de la 10e édition allemande
  • Hilbert, David ; Cohn-Vossen, Stéphane (1999). Géométrie et imaginaire . Société mathématique américaine. ISBN 978-0-8218-1998-2. Un ensemble accessible de conférences à l'origine pour les citoyens de Göttingen.
  • Hilbert, David (2004). Hallett, Michael ; Majer, Ulrich (éd.). Conférences de David Hilbert sur les fondements des mathématiques et de la physique, 1891–1933 . Berlin et Heidelberg : Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-64373-9.

Littérature secondaire

Liens externes