Dedekind-ensemble infini - Dedekind-infinite set

En mathématiques , un ensemble A est Dedekind-infini (du nom du mathématicien allemand Richard Dedekind ) si un sous-ensemble propre B de A est équinumérique à A . Explicitement, cela signifie qu'il existe une fonction bijective de A sur un sous-ensemble propre B de A . Un ensemble est Dedekind-fini s'il n'est pas Dedekind-infini (c'est-à-dire qu'une telle bijection n'existe pas). Proposée par Dedekind en 1888, l'infinité de Dedekind a été la première définition de « l'infini » qui ne reposait pas sur la définition des nombres naturels .

Un exemple simple est l'ensemble des nombres naturels . Du paradoxe de Galilée , il existe une bijection qui fait correspondre chaque nombre naturel n à son carré n ² . Puisque l'ensemble des carrés est un sous-ensemble propre de , est Dedekind-infini. ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$${\displaystyle \mathbb {N} }$

Jusqu'à ce que la crise fondamentale des mathématiques montre la nécessité d'un traitement plus attentif de la théorie des ensembles, la plupart des mathématiciens supposaient qu'un ensemble est infini si et seulement s'il est Dedekind-infini. Au début du XXe siècle, la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel , aujourd'hui la forme la plus couramment utilisée de théorie des ensembles axiomatique , a été proposée comme un système axiomatique pour formuler une théorie des ensembles exempte de paradoxes tels que le paradoxe de Russell . En utilisant les axiomes de la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel avec l' axiome du choix à l'origine très controversé inclus ( ZFC ), on peut montrer qu'un ensemble est Dedekind-fini si et seulement s'il est fini au sens habituel. Cependant, il existe un modèle de théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel sans l'axiome du choix ( ZF ) dans lequel il existe un ensemble infini, Dedekind-fini, montrant que les axiomes de ZF ne sont pas assez forts pour prouver que chaque ensemble qui est Dedekind -fini est fini. Il existe des définitions de la finitude et de l'infinité des ensembles en plus de celle donnée par Dedekind qui ne dépendent pas de l'axiome du choix.

Une notion vaguement liée est celle d'un anneau Dedekind-fini . Un anneau est dit être un anneau de Dedekind fini si ab = 1 implique ba = 1 pour deux éléments d'anneau quelconques a et b . Ces anneaux ont également été appelés anneaux directement finis .

Comparaison avec la définition habituelle de l'ensemble infini

Cette définition d'« ensemble infini » est à rapprocher de la définition usuelle : un ensemble A est infini lorsqu'il ne peut être mis en bijection avec un ordinal fini , à savoir un ensemble de la forme {0, 1, 2, ..., n −1} pour un nombre naturel n – un ensemble infini est un ensemble qui n'est littéralement « pas fini », au sens de bijection.

Au cours de la seconde moitié du 19ème siècle, la plupart des mathématiciens ont simplement supposé qu'un ensemble est infini si et seulement s'il est Dedekind-infini. Cependant, cette équivalence ne peut pas être prouvée avec les axiomes de la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel sans l' axiome de choix (AC) (généralement noté " ZF "). La pleine puissance d'AC n'est pas nécessaire pour prouver l'équivalence ; en fait, l'équivalence des deux définitions est strictement plus faible que l' axiome du choix comptable (CC). (Voir les références ci-dessous.)

Ensembles Dedekind-infinis dans ZF

Un ensemble A est Dedekind-infini s'il satisfait une, puis toutes, les conditions équivalentes suivantes (sur ZF ) :

• il a un sous- ensemble dénombrable infini ;
• il existe une application injective d'un ensemble dénombrable infini à A ;
• il existe une fonction f  : A → A qui est injective mais non surjective ;
• il existe une fonction injective f  : N → A , où N désigne l'ensemble de tous les nombres naturels ;

il est dualement Dedekind-infini si :

• il existe une fonction f  : A → A qui est surjective mais non injective ;

il est faiblement Dedekind-infini s'il satisfait l'une, puis toutes, les conditions équivalentes suivantes (sur ZF ) :

• il existe une application surjective de A sur un ensemble dénombrable infini ;
• l'ensemble de puissance de A est Dedekind-infini ;

et il est infini si :

• pour tout entier naturel n , il n'y a pas de bijection de {0, 1, 2, ..., n−1} vers A .

Ensuite, ZF prouve les implications suivantes : Dedekind-infini ⇒ doublement Dedekind-infini ⇒ faiblement Dedekind-infini ⇒ infini.

Il existe des modèles de ZF ayant un ensemble Dedekind-fini infini. Soit A un tel ensemble, et soit B l'ensemble des suites injectives finies de A . Puisque A est infini, la fonction « déposer le dernier élément » de B vers lui-même est surjective mais pas injective, donc B est doublement Dedekind-infini. Cependant, puisque A est Dedekind-fini, alors B l' est aussi (si B avait un sous-ensemble dénombrable infini, alors en utilisant le fait que les éléments de B sont des séquences injectives, on pourrait présenter un sous-ensemble dénombrable infini de A ).

Lorsque les ensembles ont des structures supplémentaires, les deux types d'infinité peuvent parfois être prouvés équivalents sur ZF . Par exemple, ZF prouve qu'un ensemble bien ordonné est Dedekind-infini si et seulement s'il est infini.

Histoire

Le terme est nommé d'après le mathématicien allemand Richard Dedekind , qui a d'abord explicitement introduit la définition. Il est à noter que cette définition était la première définition d'« infini » qui ne reposait pas sur la définition des nombres naturels (à moins que l'on suive Poincaré et considère la notion de nombre comme antérieure même à la notion d'ensemble). Bien qu'une telle définition fût connue de Bernard Bolzano , il fut empêché de publier son travail dans les revues les plus obscures par les termes de son exil politique de l' Université de Prague en 1819. De plus, la définition de Bolzano était plus précisément une relation qui tenait entre deux ensembles infinis, plutôt qu'une définition d'un ensemble infini en soi .

Pendant longtemps, de nombreux mathématiciens n'ont même pas pensé qu'il pourrait y avoir une distinction entre les notions d'ensemble infini et de Dedekind-ensemble infini. En fait, la distinction n'a été vraiment réalisée qu'après qu'Ernst Zermelo a explicitement formulé l'AC. L'existence d'ensembles infinis, finis de Dedekind a été étudiée par Bertrand Russell et Alfred North Whitehead en 1912 ; ces ensembles ont d'abord été appelés cardinaux intermédiaires ou cardinaux Dedekind .

Avec l'acceptation générale de l'axiome du choix parmi la communauté mathématique, ces questions relatives aux ensembles infinis et infinis de Dedekind sont devenues moins centrales pour la plupart des mathématiciens. Cependant, l'étude des ensembles infinis de Dedekind a joué un rôle important dans la tentative de clarifier la frontière entre le fini et l'infini, et aussi un rôle important dans l'histoire de l'AC.

Relation avec l'axiome du choix

Puisque chaque ensemble infini bien ordonné est Dedekind-infini, et puisque le AC est équivalent au théorème de bon ordre affirmant que chaque ensemble peut être bien ordonné, clairement le AC général implique que chaque ensemble infini est Dedekind-infini. Cependant, l'équivalence des deux définitions est beaucoup plus faible que la pleine force de l'AC.

En particulier, il existe un modèle de ZF dans lequel il existe un ensemble infini sans sous- ensemble dénombrable infini . Par conséquent, dans ce modèle, il existe un ensemble infini, Dedekind-fini. Par ce qui précède, un tel ensemble ne peut pas être bien ordonné dans ce modèle.

Si nous supposons l'axiome CC (c'est-à-dire AC _ω ), alors il s'ensuit que tout ensemble infini est Dedekind-infini. Cependant, l'équivalence de ces deux définitions est en fait strictement plus faible que même le CC. Explicitement, il existe un modèle de ZF dans lequel chaque ensemble infini est Dedekind-infini, mais le CC échoue (en supposant la cohérence de ZF ).

Preuve d'équivalence à l'infini, en supposant l'axiome du choix dénombrable

Que tout ensemble Dedekind-infini est infini peut être facilement prouvé dans ZF : tout ensemble fini a par définition une bijection avec un ordinal fini n , et on peut prouver par récurrence sur n que ce n'est pas Dedekind-infini.

En utilisant l' axiome du choix dénombrable (dénotation : axiome CC) on peut prouver la réciproque, à savoir que tout ensemble infini X est Dedekind-infini, comme suit :

Tout d'abord, définissez une fonction sur les nombres naturels (c'est-à-dire sur les ordinaux finis) f  : N → Power(Power( X )) , de sorte que pour chaque nombre naturel n , f ( n ) soit l'ensemble des sous-ensembles finis de X de taille n (c'est-à-dire qui ont une bijection avec l'ordinal fini n ). f ( n ) n'est jamais vide, sinon X serait fini (comme on peut le prouver par récurrence sur n ).

L' image de f est l' ensemble dénombrable { f ( n ) | n ∈ N }, dont les membres sont eux-mêmes des ensembles infinis (et éventuellement indénombrables). En utilisant l'axiome du choix dénombrable, nous pouvons choisir un membre de chacun de ces ensembles, et ce membre est lui-même un sous-ensemble fini de X . Plus précisément, selon l'axiome du choix dénombrable, un ensemble (dénombrable) existe, G = { g ( n ) | n ∈ N }, de sorte que pour tout entier naturel n , g ( n ) est un membre de f ( n ) et est donc un sous-ensemble fini de X de taille n .

Maintenant, nous définissons U comme l'union des membres de G . U est un sous-ensemble dénombrable infini de X , et une bijection des nombres naturels vers U , h  : N → U , peut être facilement définie. Nous pouvons maintenant définir une bijection B  : X → X ∖ h (0) qui prend tous les membres non U lui - même, et prend h ( n ) pour chaque nombre naturel à h ( n + 1) . Par conséquent, X est Dedekind-infini, et nous avons terminé.

Généralisations

Exprimé en termes de théorie des catégories, un ensemble A est Dedekind-fini si dans la catégorie des ensembles, tout monomorphisme f  : A → A est un isomorphisme. Un anneau régulier de von Neumann R a la propriété analogue dans la catégorie des R -modules (gauche ou droit) si et seulement si dans R , xy = 1 implique yx = 1 . Plus généralement, un anneau Dedekind-fini est tout anneau qui satisfait à cette dernière condition. Attention, un anneau peut être Dedekind-fini même si son ensemble sous-jacent est Dedekind-infini, par exemple les entiers.

Remarques

Les références

• Foi, Carl Clifton. Enquêtes et monographies mathématiques . Volume 65. Société mathématique américaine. 2e éd. Librairie AMS, 2004. ISBN  0-8218-3672-2
• Moore, Gregory H., Zermelo's Axiom of Choice , Springer-Verlag, 1982 (épuisé), ISBN  0-387-90670-3 , en particulier pp. 22-30 et tableaux 1 et 2 à la p. 322-323
• Jech, Thomas J. , L'axiome du choix , Dover Publications, 2008, ISBN  0-486-46624-8
• Lam, Tsit-Yuen. Un premier cours sur les anneaux non commutatifs . Volume 131 de Textes d'études supérieures en mathématiques . 2e éd. Springer, 2001. ISBN  0-387-95183-0
• Herrlich, Horst, Axiom of Choice , Springer-Verlag, 2006, Lecture Notes in Mathematics 1876, ISSN édition imprimée 0075-8434, ISSN édition électronique : 1617-9692, en particulier la section 4.1.