Forme quadratique définie - Definite quadratic form

En mathématiques , une forme quadratique définie est une forme quadratique sur une véritable espace vectoriel V qui a le même signe (toujours positif ou toujours négatif) pour chaque vecteur non nul de V . Selon ce signe, la forme quadratique est appelée définie positive ou définie négative .

Un semi - définie (ou semi - définie) forme quadratique est définie de la même manière, sauf que « toujours positive » et « toujours négatif » sont remplacés par « toujours positif ou nul » et « toujours non positif », respectivement. En d'autres termes, il peut prendre des valeurs nulles.

Une forme quadratique indéfinie prend des valeurs positives et négatives et est appelée forme quadratique isotrope .

Plus généralement, ces définitions s'appliquent à tout espace vectoriel sur un champ ordonné .

Forme bilinéaire symétrique associée

Les formes quadratiques correspondent aux formes bilinéaires biunivoque à symétrique sur le même espace. Une forme bilinéaire symétrique est également décrite comme définie , semi- définie , etc. selon sa forme quadratique associée. Une forme quadratique Q et sa forme bilinéaire symétrique associée B sont liées par les équations suivantes:

Cette dernière formule découle de l'expansion .

Exemples

À titre d'exemple, considérons la forme quadratique

x = ( x 1 , x 2 ) et c 1 et c 2 sont des constantes. Si c 1 > 0 et c 2 > 0 , la forme quadratique Q est définie positive, donc Q s'évalue à un nombre positif chaque fois que si l'une des constantes est positive et l'autre est 0, alors Q est semi -défini positif et s'évalue toujours à soit 0 soit un nombre positif. Si c 1 > 0 et c 2 <0 , ou vice versa, alors Q est indéfini et s'évalue parfois à un nombre positif et parfois à un nombre négatif. Si c 1 <0 et c 2 <0 , la forme quadratique est définie négativement et s'évalue toujours à un nombre négatif chaque fois que Et si l'une des constantes est négative et l'autre est 0, alors Q est semi -défini négatif et évalue toujours soit 0 ou un nombre négatif.

En général, une forme quadratique à deux variables impliquera également un terme de produit croisé en x 1 x 2 :

Cette forme quadratique est positive-définie si et négative-définie si et et indéfinie si elle est semi -définie positive ou négative si avec le signe de la semi-finitude coïncidant avec le signe de

Cette forme quadratique bivariée apparaît dans le contexte de sections coniques centrées sur l'origine. Si la forme quadratique générale ci-dessus est égale à 0, l'équation résultante est celle d'une ellipse si la forme quadratique est positive ou définie négativement, une hyperbole si elle est indéfinie et une parabole si

Le carré de la norme euclidienne dans l'espace n- dimensionnel, la mesure de distance la plus couramment utilisée, est

En deux dimensions, cela signifie que la distance entre deux points est la racine carrée de la somme des distances au carré le long de l' axe et de l' axe.

Forme matricielle

Une forme quadratique peut être écrite en termes de matrices comme

x est un vecteur cartésien n × 1 dans lequel tous les éléments ne sont pas égaux à 0, l'exposant T désigne une transposée et A est une matrice symétrique n × n . Si A est diagonal, cela équivaut à une forme non matricielle contenant uniquement des termes impliquant des variables au carré; mais si A a des éléments non diagonaux non nuls, la forme non matricielle contiendra également des termes impliquant des produits de deux variables différentes.

La définition positive ou négative ou la semi-définition, ou l'indéfinité, de cette forme quadratique équivaut à la même propriété de A , qui peut être vérifiée en considérant toutes les valeurs propres de A ou en vérifiant les signes de tous ses principaux mineurs .

Optimisation

Des formes quadratiques définies se prêtent facilement à des problèmes d' optimisation . Supposons que la forme quadratique matricielle soit augmentée de termes linéaires, comme

b est un vecteur n × 1 de constantes. Les conditions du premier ordre pour un maximum ou un minimum sont trouvées en définissant la dérivée de matrice sur le vecteur zéro:

donnant

en supposant que A est non singulier . Si la forme quadratique, et donc A , est définie positive, les conditions du second ordre pour un minimum sont réunies à ce point. Si la forme quadratique est définie négativement, les conditions du second ordre pour un maximum sont remplies.

Un exemple important d'une telle optimisation se présente dans la régression multiple , dans laquelle un vecteur de paramètres estimés est recherché qui minimise la somme des écarts au carré d'un ajustement parfait dans l'ensemble de données.

Voir également

Remarques

Les références

  • Kitaoka, Yoshiyuki (1993). Arithmétique des formes quadratiques . Tracts de Cambridge en mathématiques. 106 . La presse de l'Universite de Cambridge. ISBN 0-521-40475-4. Zbl  0785.11021 .
  • Lang, Serge (2004), Algebra , Graduate Texts in Mathematics , 211 (quatrième impression corrigée, troisième éd. Révisé), New York: Springer-Verlag, p. 578, ISBN 978-0-387-95385-4.
  • Milnor, J .; Husemoller, D. (1973). Formes bilinéaires symétriques . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete . 73 . Springer. ISBN 3-540-06009-X. Zbl  0292.10016 .