Degré d'un polynôme - Degree of a polynomial

En mathématiques , le degré d'un polynôme est le plus élevé des degrés des monômes du polynôme (termes individuels) avec des coefficients non nuls. Le degré d'un terme est la somme des exposants des variables qui y apparaissent, et est donc un entier non négatif . Pour un polynôme univarié , le degré du polynôme est simplement l'exposant le plus élevé du polynôme. Le terme ordre a été utilisé comme synonyme de degré mais, de nos jours, il peut renvoyer à plusieurs autres concepts (voir ordre d'un polynôme (homonymie) ).

Par exemple, le polynôme qui peut également être écrit comme a trois termes. Le premier terme a un degré de 5 (la somme des puissances 2 et 3), le deuxième terme a un degré de 1 et le dernier terme a un degré de 0. Par conséquent, le polynôme a un degré de 5, qui est le plus haut degré de tout terme.

Pour déterminer le degré d'un polynôme qui n'est pas sous forme standard, tel que , on peut le mettre sous forme standard en développant les produits (par distributivité ) et en combinant les termes similaires; par exemple, est de degré 1, même si chaque sommation a le degré 2. Cependant, cela n'est pas nécessaire lorsque le polynôme est écrit comme un produit de polynômes sous forme standard, car le degré d'un produit est la somme des degrés du les facteurs.

Noms des polynômes par degré

Les noms suivants sont attribués aux polynômes en fonction de leur degré:

Pour les diplômes supérieurs, des noms ont parfois été proposés, mais ils sont rarement utilisés:

  • Degré 8 - octique
  • Degré 9 - nonic
  • Degré 10 - décic

Les noms des degrés supérieurs à trois sont basés sur des nombres ordinaux latins et se terminent par -ic . Cela doit être distingué des noms utilisés pour le nombre de variables, l' arité , qui sont basés sur les nombres de distribution latins et se terminent par -ary . Par exemple, un polynôme de degré deux à deux variables, tel que , est appelé "quadratique binaire": binaire dû à deux variables, quadratique dû au degré deux. Il existe également des noms pour le nombre de termes, qui sont également basés sur des nombres de distribution latins, se terminant par -nomial ; les plus courants sont le monôme , le binôme et (moins communément) le trinôme ; est donc un "binôme quadratique binaire".

Exemples

Le polynôme est un polynôme cubique: après avoir multiplié et collecté les termes du même degré, il devient , avec l'exposant le plus élevé 3.

Le polynôme est un polynôme quintique: en combinant des termes identiques, les deux termes de degré 8 s'annulent, partant , avec l'exposant le plus élevé 5.

Comportement sous opérations polynomiales

Le degré de la somme, le produit ou la composition de deux polynômes est fortement lié au degré des polynômes d'entrée.

Une addition

Le degré de la somme (ou de la différence) de deux polynômes est inférieur ou égal au plus grand de leurs degrés; C'est,

et .

Par exemple, le degré de est 2 et 2 ≤ max {3, 3}.

L'égalité est toujours valable lorsque les degrés des polynômes sont différents. Par exemple, le degré de est 3 et 3 = max {3, 2}.

Multiplication

Le degré du produit d'un polynôme par un scalaire non nul est égal au degré du polynôme; C'est,

.

Par exemple, le degré de est 2, ce qui est égal au degré de .

Ainsi, l' ensemble des polynômes (à coefficients d'un champ F donné ) dont les degrés sont inférieurs ou égaux à un nombre donné n forme un espace vectoriel ; pour plus d'informations, voir Exemples d'espaces vectoriels .

Plus généralement, le degré du produit de deux polynômes sur un corps ou un domaine intégral est la somme de leurs degrés:

.

Par exemple, le degré de est 5 = 3 + 2.

Pour les polynômes sur un anneau arbitraire , les règles ci-dessus peuvent ne pas être valides, en raison de l'annulation qui peut se produire lors de la multiplication de deux constantes différentes de zéro. Par exemple, dans l'anneau des entiers modulo 4 , on a ça , mais , qui n'est pas égal à la somme des degrés des facteurs.

Composition

Le degré de composition de deux polynômes non constants et sur un champ ou domaine intégral est le produit de leurs degrés:

.

Par example:

  • Si , donc , qui a 6 degrés.

Notez que pour les polynômes sur un anneau arbitraire, ce n'est pas nécessairement vrai. Par exemple, dans , mais .

Degré du polynôme zéro

Le degré du polynôme zéro est soit laissé indéfini, soit défini comme étant négatif (généralement −1 ou ).

Comme toute valeur constante, la valeur 0 peut être considérée comme un polynôme (constant), appelé polynôme zéro . Il n'a pas de termes différents de zéro, et donc, à proprement parler, il n'a pas non plus de degré. En tant que tel, son degré est généralement indéfini. Les propositions pour le degré des sommes et des produits des polynômes dans la section ci-dessus ne s'appliquent pas, si l'un des polynômes impliqués est le polynôme zéro.

Il convient, cependant, de définir le degré du polynôme zéro à être infini négatif , et d'introduire les règles arithmétiques

et

Ces exemples illustrent comment cette extension satisfait les règles de comportement ci-dessus:

  • Le degré de la somme est 3. Cela satisfait le comportement attendu, c'est-à-dire .
  • Le degré de la différence est . Cela satisfait le comportement attendu, c'est-à-dire .
  • Le degré du produit est . Cela satisfait le comportement attendu, c'est-à-dire .

Calculé à partir des valeurs de fonction

Il existe un certain nombre de formules qui évalueront le degré d'une fonction polynomiale f . L'une basée sur une analyse asymptotique est

;

il s'agit de la contrepartie exacte de la méthode d'estimation de la pente dans un graphique log-log .

Cette formule généralise le concept de degré à certaines fonctions qui ne sont pas des polynômes. Par example:

La formule donne également des résultats raisonnables pour de nombreuses combinaisons de telles fonctions, par exemple le degré de est .

Une autre formule pour calculer le degré de f à partir de ses valeurs est

;

cette seconde formule découle de l'application de la règle de L'Hôpital à la première formule. Intuitivement cependant, il s'agit plus d'exposer le degré d comme facteur supplémentaire constant dans la dérivée de .

Un plus à grains fins (d'un degré numérique simple) description des asymptote d'une fonction peut être obtenue en utilisant la notation grand O . Dans l' analyse des algorithmes , il est par exemple souvent pertinent de distinguer les taux de croissance de et , qui ressortiraient tous deux comme ayant le même degré selon les formules ci-dessus.

Extension aux polynômes avec deux variables ou plus

Pour les polynômes à deux variables ou plus, le degré d'un terme est la somme des exposants des variables du terme; le degré (parfois appelé degré total ) du polynôme est à nouveau le maximum des degrés de tous les termes du polynôme. Par exemple, le polynôme x 2 y 2 + 3 x 3 + 4 y a le degré 4, le même degré que le terme x 2 y 2 .

Cependant, un polynôme en variables x et y , est un polynôme en x avec des coefficients qui sont des polynômes en y , et aussi un polynôme en y avec des coefficients qui sont des polynômes en x . Le polynôme

a le degré 3 en x et le degré 2 en y .

Fonction de degré en algèbre abstraite

Étant donné un anneau R , le cycle polynôme R [ x ] est l'ensemble de tous les polynômes en x qui ont des coefficients dans R . Dans le cas particulier où R est également un corps , l'anneau polynomial R [ x ] est un domaine idéal principal et, plus important pour notre discussion ici, un domaine euclidien .

On peut montrer que le degré d'un polynôme sur un champ satisfait toutes les exigences de la fonction de norme dans le domaine euclidien. Autrement dit, étant donné deux polynômes f ( x ) et g ( x ), le degré du produit f ( x ) g ( x ) doit être plus grand que les degrés de f et g individuellement. En fait, quelque chose de plus fort tient:

Pour un exemple de la raison pour laquelle la fonction de degré peut échouer sur un anneau qui n'est pas un champ, prenez l'exemple suivant. Soit R = , l'anneau des entiers modulo 4. Cet anneau n'est pas un champ (et n'est même pas un domaine intégral ) car 2 × 2 = 4 ≡ 0 (mod 4). Donc, soit f ( x ) = g ( x ) = 2 x + 1. Alors, f ( x ) g ( x ) = 4 x 2 + 4 x + 1 = 1. Ainsi deg ( fg ) = 0 qui n'est pas supérieur aux degrés de f et g (qui avaient chacun le degré 1).

Puisque la fonction de norme n'est pas définie pour l'élément zéro de l'anneau, nous considérons que le degré du polynôme f ( x ) = 0 est également indéfini afin qu'il suive les règles d'une norme dans un domaine euclidien.

Voir également

Remarques

Les références

Liens externes