Ordre dense - Dense order

En mathématiques , un ordre partiel ou total < sur un ensemble est dit dense si, pour tout et dans pour lequel , il existe un dans tel que . C'est-à-dire que pour deux éléments quelconques, l'un de moins que l'autre, il y a un autre élément entre eux. Pour les commandes totales, nous pouvons dire cela plus simplement comme "pour deux éléments distincts, il y a un autre élément entre eux", car la totalité implique que deux éléments distincts sont liés par , mais c'est faux en général pour les commandes partielles car des éléments distincts peuvent être incomparable .

Exemple

Les nombres rationnels en tant qu'ensemble linéairement ordonné sont un ensemble densément ordonné dans ce sens, tout comme les nombres algébriques , les nombres réels , les rationnels dyadiques et les fractions décimales . En fait, chaque extension d'anneau ordonnée d' Archimède des nombres entiers est un ensemble densément ordonné.

Preuve  —

Pour l'élément , en raison de la propriété d'Archimède, si , il existe un plus grand entier avec , et si , , et il existe un plus grand entier avec . En conséquence, . Pour deux éléments quelconques avec , et . C'est donc dense.

Par contre, l'ordre linéaire sur les entiers n'est pas dense.

Unicité pour les commandes denses totales sans points de terminaison

Georg Cantor a prouvé que tous les deux ensembles dénombrables denses totalement ordonnés non vides sans bornes inférieures ou supérieures sont d' ordre isomorphe . Cela fait de la théorie des ordres linéaires denses sans limites un exemple de théorie ω- catégorique où ω est le plus petit ordinal limite . Par exemple, il existe un ordre-isomorphisme entre les nombres rationnels et d'autres ensembles dénombrables densément ordonnés comprenant les rationnels dyadiques et les nombres algébriques . Les preuves de ces résultats utilisent la méthode des allers-retours .

La fonction de point d'interrogation de Minkowski peut être utilisée pour déterminer les isomorphismes d'ordre entre les nombres algébriques quadratiques et les nombres rationnels , et entre les rationnels et les rationnels dyadiques .

Généralisations

Toute relation binaire R est dite dense si, pour tout x et y liés à R , il existe un z tel que x et z et aussi z et y sont liés à R. Officiellement:

En variante, en termes de composition de R peut être exprimée par elle-même avec la condition dense RR ° R .

Les conditions suffisantes pour qu'une relation binaire R sur un ensemble X soit dense sont :

Aucun d'entre eux n'est nécessaire . Par exemple, il existe une relation R qui n'est pas réflexive mais dense. Une relation non vide et dense ne peut pas être antitransitive .

Un ordre partiel strict < est un ordre dense si et seulement si < est une relation dense. Une relation dense également transitive est dite idempotente .

Voir également

  • Ensemble dense - un sous-ensemble d'un espace topologique dont la fermeture est l'espace entier
  • Dense-en-soi — un sous-ensemble d'un espace topologique tel qui ne contient pas de point isolé
  • Sémantique de Kripke — une relation d'accessibilité dense correspond à l'axiome

Les références

Lectures complémentaires