Détermination - Determinacy

La détermination est un sous-domaine de la théorie des ensembles , une branche des mathématiques , qui examine les conditions dans lesquelles l'un ou l'autre joueur d'un jeu a une stratégie gagnante, et les conséquences de l'existence de telles stratégies. Alternativement et de manière similaire, la "détermination" est la propriété d'un jeu par lequel une telle stratégie existe.

Les jeux étudiés en théorie des ensembles sont généralement des jeux Gale- Stewart - des jeux à deux joueurs d' informations parfaites dans lesquels les joueurs font une séquence infinie de mouvements et il n'y a pas de tirages. Le domaine de la théorie des jeux étudie des types de jeux plus généraux, y compris les jeux avec des tirages tels que le morpion , les échecs ou les échecs infinis , ou les jeux avec des informations imparfaites comme le poker .

Notions de base

Jeux

Le premier type de jeu que nous considérerons est le jeu à deux joueurs d' information parfaite de longueur ω , dans lequel les joueurs jouent des nombres naturels . Ces jeux sont souvent appelés jeux Gale-Stewart.

Dans ce genre de jeu, il y a deux joueurs, souvent nommés I et II , qui jouent à tour de rôle les nombres naturels, I jouant en premier. Ils jouent "pour toujours"; c'est-à-dire que leurs pièces sont indexées par les nombres naturels. Lorsqu'ils ont terminé, une condition prédéterminée décide quel joueur a gagné. Cette condition n'a pas besoin d'être spécifiée par une règle définissable ; il peut simplement s'agir d'une table de recherche arbitraire (infiniment longue) indiquant qui a gagné dans une séquence particulière de jeux.

Plus formellement, considérons un sous-ensemble A de l'espace de Baire ; rappelons que cette dernière est constituée de toutes les -suites d'entiers naturels. Ensuite, dans le jeu G _A , je joue un nombre naturel a ₀ , puis II joue un ₁ , puis je joue un ₂ , et ainsi de suite. Alors je gagne la partie si et seulement si

${\displaystyle \langle a_{0},a_{1},a_{2},\ldots \rangle \in A}$

et sinon je gagne. A est alors appelé l' ensemble des gains de G _A .

On suppose que chaque joueur peut voir tous les coups précédant chacun de ses coups, et connaît également la condition de gain.

Stratégies

De manière informelle, une stratégie pour un joueur est une manière de jouer dans laquelle ses jeux sont entièrement déterminés par les jeux précédents. Encore une fois, une telle "voie" n'a pas besoin d'être captée par une quelconque "règle" explicable, mais peut simplement être une table de consultation.

Plus formellement, une stratégie pour le joueur I (pour un jeu au sens de la sous-section précédente) est une fonction qui accepte comme argument toute suite finie de nombres naturels, de longueur paire, et renvoie un nombre naturel. Si σ est une telle stratégie et <a ₀ ,...,a _2n-1 > est une séquence de jeux, alors σ (<a ₀ ,...,a _2n-1 >) est le prochain jeu que je ferai , si je suis la stratégie σ . Les stratégies pour II sont exactement les mêmes, en substituant « impair » à « pair ».

Notez que nous avons dit rien, encore, de savoir si une stratégie est de quelque façon que bonne . Une stratégie pourrait ordonner à un joueur de faire de mauvais coups agressifs, et ce serait toujours une stratégie. En fait, il n'est même pas nécessaire de connaître la condition de gain d'un jeu, de savoir quelles stratégies existent pour le jeu.

Stratégies gagnantes

Une stratégie est gagnante si le joueur qui la suit doit nécessairement gagner, peu importe ce que joue son adversaire. Par exemple, si σ est une stratégie pour I , alors σ est une stratégie gagnante pour I dans le jeu G _A si, pour toute séquence de nombres naturels à jouer par II , disons <a ₁ ,a ₃ ,a ₅ ,. ..>, la séquence des pièces produites par σ quand II joue ainsi, à savoir

${\displaystyle \langle \sigma (\langle \rangle ),a_{1},\sigma (\langle \sigma (\langle \rangle ),a_{1}\rangle ),a_{3},\ldots \rangle }$

est un élément de A .

Jeux déterminés

Une (classe de) jeu(s) est déterminée si pour toutes les instances du jeu il existe une stratégie gagnante pour l'un des joueurs (pas nécessairement le même joueur pour chaque instance). Notez qu'il ne peut pas y avoir de stratégie gagnante pour les deux joueurs pour le même jeu, car s'il y en avait, les deux stratégies pourraient être jouées l'une contre l'autre. Le résultat qui en résulterait serait alors, par hypothèse, une victoire pour les deux joueurs, ce qui est impossible.

Détermination à partir de considérations élémentaires

Tous les jeux finis d'informations parfaites dans lesquels les tirages ne se produisent pas sont déterminés.

Les jeux du monde réel d'informations parfaites, tels que le morpion , les échecs ou les échecs infinis , se terminent toujours en un nombre fini de coups (dans les jeux d'échecs, cela suppose que la règle des 50 coups est appliquée). Si un tel jeu est modifié de sorte qu'un joueur particulier gagne dans n'importe quelle condition où le jeu aurait été appelé un match nul, alors il est toujours déterminé. La condition que le jeu soit toujours terminé (c'est-à-dire que toutes les extensions possibles de la position finie aboutissent à une victoire pour le même joueur) en un nombre fini de coups correspond à la condition topologique que l'ensemble A donnant la condition gagnante pour G _A soit clopen dans la topologie de l'espace de Baire .

Par exemple, modifier les règles des échecs pour faire des parties nulles une victoire pour les Noirs fait des échecs un jeu déterminé. En l'occurrence, les échecs ont un nombre fini de positions et des règles de tirage par répétition, donc avec ces règles modifiées, si le jeu continue assez longtemps sans que Blanc n'ait gagné, alors Noir peut éventuellement forcer une victoire (en raison de la modification du tirage = gagner pour les noirs).

La preuve que de tels jeux sont déterminés est assez simple : le joueur I joue simplement pour ne pas perdre ; qui est, joueur que je joue pour vous assurer que le joueur II ne dispose pas d' une stratégie gagnante après je mouvement s. Si le joueur I ne peut pas le faire, cela signifie que le joueur II avait une stratégie gagnante depuis le début. D'un autre côté, si le joueur que je peux jouer de cette manière, alors je dois gagner, car le jeu sera terminé après un nombre fini de coups, et le joueur que je ne peux pas avoir perdu à ce moment-là.

Cette preuve n'exige pas en fait que le jeu soit toujours terminé en un nombre fini de coups, seulement qu'il soit terminé en un nombre fini de coups chaque fois que II gagne. Cette condition, topologiquement, est que l'ensemble A soit fermé . Ce fait - que tous les jeux fermés sont déterminés - est appelé le théorème de Gale-Stewart . Notez que par symétrie, tous les jeux ouverts sont également déterminés. (Un jeu est ouvert si je ne peux gagner qu'en gagnant en un nombre fini de coups.)

Détermination de ZFC

David Gale et FM Stewart ont prouvé que les matchs ouverts et fermés sont déterminés. La détermination du deuxième niveau des jeux de la hiérarchie de Borel a été démontrée par Wolfe en 1955. Au cours des 20 années suivantes, des recherches supplémentaires utilisant des arguments de plus en plus compliqués ont établi que les troisième et quatrième niveaux de la hiérarchie de Borel sont déterminés.

En 1975, Donald A. Martin a prouvé que tous les jeux Borel sont déterminés ; c'est-à-dire que si A est un sous-ensemble de Borel de l'espace de Baire, alors G _A est déterminé. Ce résultat, connu sous le nom de détermination de Borel , est le meilleur résultat de détermination possible prouvable dans ZFC, dans le sens où la détermination de la classe de Wadge immédiatement supérieure n'est pas prouvable dans ZFC.

En 1971, avant que Martin n'obtienne sa preuve, Harvey Friedman montra que toute preuve de la détermination de Borel doit utiliser l' axiome de remplacement de manière essentielle, afin d'itérer l' axiome des ensembles de puissance de manière transfinie souvent. Le travail de Friedman donne un résultat niveau par niveau détaillant le nombre d'itérations de l'axiome des ensembles de puissance nécessaires pour garantir la détermination à chaque niveau de la hiérarchie de Borel .

Pour chaque entier n , ZFC\P prouve la détermination du n ième niveau de la hiérarchie des différences d' ensembles, mais ZFC\P ne prouve pas que pour chaque entier n n ième niveau de la hiérarchie des différences des ensembles est déterminé. Voir les mathématiques inversées pour d'autres relations entre la détermination et les sous-systèmes de l' arithmétique du second ordre . ${\displaystyle \mathbf {\Pi } _{3}^{0}}$ ${\displaystyle \Pi _{3}^{0}}$

Détermination et grands cardinaux

Il existe une relation intime entre la détermination et les grands cardinaux . En général, les grands axiomes cardinaux plus forts prouvent la détermination de classes de points plus grandes , plus élevées dans la hiérarchie de Wadge , et la détermination de telles classes de points, à son tour, prouve l'existence de modèles internes de grands axiomes cardinaux légèrement plus faibles que ceux utilisés pour prouver la détermination de la classe de points en premier lieu.

Cardinaux mesurables

Il résulte de l'existence d'un cardinal mesurable que chaque analytique jeu (également appelé Σ ¹ ₁ jeu) est déterminé, ou que chaque coanalytique équivalente (ou Π ¹ ₁ ) jeu est déterminé. (Voir Hiérarchie projective pour les définitions.)

En fait, un cardinal mesurable est plus que suffisant. Un principe plus faible — l'existence de 0 ^# est suffisante pour prouver la détermination coanalytique, et un peu plus : Le résultat précis est que l'existence de 0 ^# est équivalente à la détermination de tous les niveaux de la hiérarchie des différences en dessous du niveau ω ² , c'est-à-dire ω·n- Π ¹ ₁ détermination pour chaque . ${\style d'affichage n}$

A partir d'un cardinal mesurable, nous pouvons améliorer cela très légèrement à ω ² - Π ¹ ₁ détermination. A partir de l'existence de plus de cardinaux mesurables, on peut prouver la détermination de plusieurs niveaux de la hiérarchie des différences sur Π ¹ ₁ .

Preuve de détermination à partir d'objets tranchants

Pour tout nombre réel r , la détermination est équivalente à l'existence de r ^# . Pour illustrer comment les grands cardinaux conduisent à la détermination, voici une preuve de la détermination étant donné l'existence de r ^# . ${\displaystyle \Sigma _{1}^{1}(r)}$${\displaystyle \Sigma _{1}^{1}(r)}$

Soit A un sous - ensemble de l'espace de Baire. A = p[ T ] pour un arbre T (constructible à partir de r ) sur (ω, ω). (C'est-à-dire x∈A ssi d'un certain y , est un chemin passant par T .) ${\displaystyle \Sigma _{1}^{1}(r)}$${\style d'affichage ((x_{0},y_{0}),(x_{1},y_{1}),...)}$

Etant donné un jeu partiel s , soit le sous-arbre de T cohérent avec s soumis à max(y ₀ ,y ₁ ,...,y _len(s)-1 )<len(s). La condition supplémentaire assure que est fini. La cohérence signifie que chaque chemin à travers est de la forme où est un segment initial de s . ${\displaystyle T_{s}}$${\displaystyle T_{s}}$${\displaystyle T_{s}}$${\style d'affichage ((x_{0},y_{0}),(x_{1},y_{1}),...,(x_{i},y_{i}))}$${\style d'affichage (x_{0},x_{1},...,x_{i})}$

Pour prouver que A est déterminé, définissez le jeu auxiliaire comme suit :
En plus des mouvements ordinaires, le joueur 2 doit jouer une correspondance de en ordinaux (en dessous d'un ordinal suffisamment grand κ ) tel que ${\displaystyle T_{s}}$

• chaque nouveau mouvement étend la cartographie précédente et
• l'ordre des ordinaux est d'accord avec l'ordre Kleene-Brouwer sur .${\displaystyle T_{s}}$

Rappelons que l'ordre de Kleene-Brouwer est comme l'ordre lexicographique sauf que si s étend correctement t alors s < t . C'est un bon ordre si l'arbre est bien fondé.

Le jeu auxiliaire est ouvert. Preuve : Si le joueur 2 ne perd pas à un stade fini, alors l'union de tous (qui est l'arbre qui correspond au jeu) est bien fondée, et donc le résultat du jeu non auxiliaire n'est pas dans A. ${\displaystyle T_{s}}$

Ainsi, le jeu auxiliaire est déterminé. Preuve : Par induction transfinie, pour chaque ordinal calculez l'ensemble des positions où le joueur 1 peut forcer une victoire en α pas, où une position avec le joueur 2 à déplacer est perdante (pour le joueur 2) en α pas ssi pour chaque mouvement le résultat la position perd en moins de α pas. Une stratégie pour le joueur 1 consiste à réduire à chaque position (disons choisir le moins α et rompre les égalités en choisissant le moindre coup), et une stratégie pour le joueur 2 consiste à choisir le moindre coup (en fait tout fonctionnerait) qui ne mène pas à un poste avec un attribué. Notez que L ( r ) contient l'ensemble des positions gagnantes ainsi que les stratégies gagnantes données ci-dessus.

Une stratégie gagnante pour le joueur 2 dans le jeu original conduit à une stratégie gagnante dans le jeu auxiliaire : Le sous-arbre de T correspondant à la stratégie gagnante est bien fondé, donc le joueur 2 peut choisir des ordinaux en fonction de l'ordre Kleene-Brouwer de l'arbre. Aussi, trivialement, une stratégie gagnante pour le joueur 2 dans le jeu auxiliaire donne une stratégie gagnante pour le joueur 2 dans le jeu original.

Il reste à montrer qu'en utilisant r ^# , la stratégie gagnante mentionnée ci-dessus pour le joueur 1 dans le jeu auxiliaire peut être convertie en une stratégie gagnante dans le jeu original. r ^# donne une classe I propre de ( L ( r ),∈, r ) ordinaux indiscernables . Par indiscernabilité, si κ et les ordinaux dans la réponse auxiliaire sont dans I , alors les coups du joueur 1 ne dépendent pas des coups auxiliaires (ou de κ ), et donc la stratégie peut être convertie en une stratégie pour le jeu original ( puisque le joueur 2 peut tenir avec des indiscernables pour un nombre fini de pas). Supposons que le joueur 1 perde dans le jeu original. Alors, l'arbre correspondant à une pièce est bien fondé. Par conséquent, le joueur 2 peut gagner le jeu auxiliaire en utilisant des mouvements auxiliaires basés sur les indiscernables (puisque le type d'ordre des indiscernables dépasse l'ordre Kleene-Brouwer de l'arbre), ce qui contredit le joueur 1 gagnant le jeu auxiliaire.

Cardinaux de Woodin

S'il y a un cardinal Woodin avec un cardinal mesurable au- dessus, alors Π ¹ ₂ déterminabilité détient. Plus généralement, s'il y a n cardinaux de Woodin avec un cardinal mesurable au-dessus d'eux tous, alors la détermination Π ¹ _n+1 est vérifiée. De la détermination Π ¹ _n+1 , il s'ensuit qu'il existe un modèle interne transitif contenant n cardinaux de Woodin.

${\displaystyle \Delta _{2}^{1}}$(lightface) la détermination est équicohérente avec un cardinal de Woodin. Si la détermination est vérifiée , alors pour un cône de Turing de x (c'est-à-dire pour chaque réel x de degré de Turing suffisamment élevé ), L[ x ] satisfait la détermination OD (c'est-à-dire la détermination des jeux sur des entiers de longueur ω et un gain ordinal-définissable) , et dans HOD ^{L[ x ]} est un cardinal de Woodin. ${\displaystyle \Delta _{2}^{1}}$ ${\displaystyle \omega _{2}^{L[x]}}$

Détermination projective

S'il y a une infinité de cardinaux de Woodin, alors la détermination projective est vraie ; c'est-à-dire que chaque jeu dont la condition gagnante est un ensemble projectif est déterminé. De la détermination projective, il s'ensuit que, pour chaque nombre naturel n , il existe un modèle interne transitif qui satisfait qu'il y a n cardinaux de Woodin.

Axiome de la détermination

L' axiome de détermination , ou AD , affirme que chaque partie à deux joueurs d'information parfaite de longueur ω, dans laquelle les joueurs jouent des naturels, est déterminée.

AD est prouvablement faux de ZFC ; en utilisant l' axiome du choix, on peut prouver l'existence d'un jeu indéterminé. Cependant, s'il existe une infinité de cardinaux de Woodin avec un mesurable au-dessus d'eux tous, alors L(R) est un modèle de ZF qui satisfait AD.

Conséquences de la détermination

Propriétés de régularité pour les ensembles de réels

Si A est un sous-ensemble de l'espace de Baire tel que le jeu de Banach-Mazur pour A est déterminé, alors soit II a une stratégie gagnante, auquel cas A est maigre , soit I a une stratégie gagnante, auquel cas A est moyen sur certains quartier ouvert.

Cela n'implique pas tout à fait que A a la propriété de Baire , mais cela s'en rapproche : une simple modification de l'argument montre que si Γ est une classe de points adéquate telle que chaque jeu dans Γ est déterminé, alors chaque ensemble de réels dans Γ a le propriété de Baire.

En fait ce résultat n'est pas optimal ; en considérant le jeu Banach-Mazur déplié, nous pouvons montrer que la détermination de Γ (pour Γ avec des propriétés de fermeture suffisantes) implique que tout ensemble de réels qui est la projection d'un ensemble dans Γ a la propriété de Baire. Ainsi, par exemple, l'existence d'un cardinal mesurable implique _une détermination Π ¹ ₁ , qui à son tour implique que chaque ensemble Σ ¹ ₂ de réels a la propriété de Baire.

En considérant d' autres jeux, nous pouvons montrer que Π ¹ _n déterminabilité implique que chaque Σ ¹ _{n + 1} jeu de nombres réels a la propriété de Baire, est Lebesgue mesurable (en fait universellement mesurable ) et a la propriété de jeu parfait .

Théorèmes de périodicité

• Le premier théorème de périodicité implique que, pour tout entier naturel n , si Δ ¹ _{2 n +1} est déterminée, alors Π ¹ _{2 n +1} et Σ ¹ _{2 n +2} ont la propriété de pré - ordre (et que Σ ¹ _{2 n +1} et Π ¹ _{2 n +2} n'ont pas la propriété de pré-classement, mais ont plutôt la propriété de séparation ).
• Le deuxième théorème de périodicité implique que, pour tout entier naturel n , si Δ ¹ _{2 n +1} est déterminée, alors Π ¹ _{2 n +1} et Σ ¹ _{2 n} ont la propriété d'échelle . En particulier, si la détermination projective est vérifiée, alors toute relation projective a une uniformisation projective .
• Le troisième théorème de périodicité donne une condition suffisante pour qu'un jeu ait une stratégie gagnante définissable.

Applications à la décidabilité de certaines théories du second ordre

En 1969, Michael O. Rabin a prouvé que la théorie du second ordre des n successeurs est décidable . Un élément clé de la preuve nécessite de montrer la détermination des jeux de parité , qui se situent au troisième niveau de la hiérarchie de Borel .

Détermination de Wadge

La détermination de Wadge est l'affirmation selon laquelle pour toutes les paires A , B de sous-ensembles de l'espace de Baire , le jeu de Wadge G( A , B ) est déterminé. De même pour une classe de points Γ, Γ La détermination de Wadge est l'affirmation selon laquelle pour tous les ensembles A , B dans Γ, le jeu de Wadge G( A , B ) est déterminé.

La détermination de Wadge implique le principe d'ordre semi - linéaire pour l' ordre de Wadge . Une autre conséquence de la détermination de Wadge est la propriété d'ensemble parfait .

En général, la détermination de Wadge est une conséquence de la détermination des combinaisons booléennes d'ensembles dans Γ. Dans la hiérarchie projective , Π ¹ ₁ Wadge déterminité est équivalente à Π ¹ ₁ déterminité, comme prouvé par Leo Harrington . Ce résultat a été prolongé par Hjorth prouver que Π ¹ ₂ Wadge déterminabilité (et en fait le principe de commande pour semilinéaire Π ¹ ₂ ) implique déjà Π ¹ ₂ déterminabilité.

Des jeux plus généraux

Jeux dans lesquels les objets joués ne sont pas des nombres naturels

La détermination des jeux sur les ordinaux avec un gain et une longueur définissables ordinaux implique que pour chaque cardinal régulier κ >ω il n'y a pas de sous-ensembles stationnaires disjoints définissables ordinaux de κ constitués d'ordinaux de cofinalité ω. La force de cohérence de l'hypothèse de détermination est inconnue, mais on s'attend à ce qu'elle soit très élevée.

Jeux joués sur les arbres

Jeux longs

L'existence de ω ₁ cardinaux de Woodin implique que pour chaque ordinal dénombrable α, tous les jeux sur les entiers de longueur α et le gain projectif sont déterminés. En gros, les cardinaux de Woodin correspondent à la détermination de jeux sur des réels de longueur α (avec un ensemble de gains simple). En supposant une limite de cardinaux de Woodin κ avec o( κ )= κ ⁺⁺ et de cardinaux de Woodin au-dessus de κ , les jeux de longueur dénombrable variable où le jeu se termine dès que sa longueur est admissible par rapport à la ligne de jeu et à gain projectif sont déterminé. En supposant qu'une certaine conjecture d'itérabilité soit prouvable, l'existence d'un cardinal Woodin mesurable implique la détermination de jeux ouverts de longueur ω ₁ et de gain projectif. (Dans ces jeux, une condition de gain pour le premier joueur est déclenchée à un stade dénombrable, de sorte que le gain peut être codé comme un ensemble de réels.)

Par rapport à une limite Woodin de cardinaux Woodin et à un mesurable au-dessus d'eux, il est cohérent que chaque jeu sur des entiers de longueur ω ₁ et d'un gain définissable ordinal soit déterminé. Il est conjecturé que l'hypothèse de détermination est équicohérente avec une limite de Woodin de cardinaux de Woodin. ω ₁ est maximal en ce qu'il existe des jeux indéterminés sur des entiers de longueur ω ₁ +ω et d'un gain ordinal définissable.

Jeux d'informations imparfaites

Dans tout jeu intéressant avec des informations imparfaites , une stratégie gagnante sera une stratégie mixte : c'est-à-dire qu'elle donnera une certaine probabilité de réponses différentes à la même situation. Si les stratégies optimales des deux joueurs sont des stratégies mixtes alors le résultat du jeu ne peut pas être certainement déterminant (comme il peut le faire pour les stratégies pures , puisque celles-ci sont déterministes ). Mais la distribution de probabilité des résultats à des stratégies mixtes opposées peut être calculée. Un jeu qui nécessite des stratégies mixtes est défini comme déterminé s'il existe une stratégie qui produit une valeur minimale attendue (par rapport aux contre-stratégies possibles) qui dépasse une valeur donnée. Contre cette définition, tous les jeux finis à deux joueurs à somme nulle sont clairement déterminés. Cependant, la détermination des jeux infinis d'informations imparfaites (jeux de Blackwell) est moins claire.

En 1969, David Blackwell a prouvé que certains « jeux infinis avec des informations imparfaites » (maintenant appelés « jeux de Blackwell ») sont déterminés, et en 1998, Donald A. Martin a prouvé que la détermination ordinaire (jeu à information parfaite) pour une classe de points en gras implique la détermination de Blackwell pour la classe de points. Ceci, combiné avec le théorème de détermination de Borel de Martin, implique que tous les jeux de Blackwell avec des fonctions de paiement de Borel sont déterminés. Martin a conjecturé que la détermination ordinaire et la détermination de Blackwell pour les jeux infinis sont équivalentes dans un sens fort (c'est-à-dire que la détermination de Blackwell pour une classe de points en gras implique à son tour une détermination ordinaire pour cette classe de points), mais à partir de 2010, il n'a pas été prouvé que la détermination de Blackwell implique détermination du jeu d'information parfait.

Quasistratégies et quasi-détermination

Voir également

• -automate
• Jeu résolu
• Jeu strictement déterminé
• Jeu topologique

Notes de bas de page

1. ^ Cela suppose queIessaie de faire en sorte que l'intersection des quartiers joués soit un singleton dont l'élément unique est un élément deA. Certains auteurs en font plutôt l'objectif du joueurII; cette utilisation nécessite de modifier les remarques ci-dessus en conséquence.

Les références

• Gale, David et Stewart, FM (1953). Kuhn, HW; Tucker, AW (éd.). Des jeux infinis avec des informations parfaites . Contributions à la théorie des jeux, tome II . Annals of Mathematics Studies 28. Princeton University Press. p. 245-266. ISBN 9780691079356.CS1 maint : plusieurs noms : liste des auteurs ( lien )
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• Jech, Thomas (2002). Théorie des ensembles, troisième édition du millénaire (révisée et augmentée) . Springer. ISBN 978-3-540-44085-7.
• Martin, Donald A. (1975). "Détermination de Borel". Annales de mathématiques . Deuxième série. 102 (2) : 363-371. doi : 10.2307/1971035 . JSTOR  19711035 .
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Liens externes

• « Grands cardinaux et détermination » à l'Encyclopédie de philosophie de Stanford