Mesure de Dirac - Dirac measure

Un diagramme montrant tous les sous-ensembles possibles d'un ensemble à 3 points

{x, y, z}

. La mesure de Dirac

δ x

attribue une taille de 1 à tous les jeux dans la moitié supérieure gauche du diagramme et 0 à tous les jeux dans la moitié inférieure droite.

En mathématiques , une mesure de Dirac attribue une taille à un ensemble uniquement selon qu'il contient ou non un élément fixe x . C'est une façon de formaliser l'idée de la fonction delta de Dirac , un outil important en physique et dans d'autres domaines techniques.

Définition

Une mesure de Dirac est une mesure $δ x$ sur un ensemble $X$ (avec toute $σ$ -algèbre de sous - ensembles de $X$ ) définie pour un $x \in X donné$ et tout ensemble (mesurable) $A \subseteq X$ par

\delta _{x}(A)=1_{A}(x)={\begin{cases}0,&x\not \in A;\\1,&x\in A.\end{cases} }

où $1 A$ est la fonction indicatrice de $A$ .

La mesure de Dirac est une mesure de probabilité , et en termes de probabilité , elle représente le résultat presque sûr $x$ dans l' espace échantillon $X$ . On peut aussi dire que la mesure est un seul atome en $x$ ; cependant, traiter la mesure de Dirac comme une mesure atomique n'est pas correct lorsque l'on considère la définition séquentielle du delta de Dirac, comme la limite d'une séquence delta . Les mesures de Dirac sont les points extrêmes de l'ensemble convexe des mesures de probabilité sur $X$ .

Le nom est une formation en arrière de la fonction delta de Dirac , considérée comme une distribution de Schwartz , par exemple sur la ligne réelle ; des mesures peuvent être prises pour être un type particulier de distribution. L'identité

\int _{X}f(y)\,\mathrm {d} \delta _{x}(y)=f(x),

qui, sous la forme

\int _{X}f(y)\delta _{x}(y)\,\mathrm {d} y=f(x),

est souvent considérée comme faisant partie de la définition de la « fonction delta », tient comme un théorème d' intégration de Lebesgue .

Propriétés de la mesure de Dirac

Soit $δ x$ la mesure de Dirac centrée sur un point fixe $x$ dans un espace mesurable $(X, )$ .

$δ x$ est une mesure de probabilité, et donc une mesure finie .

Supposons que $(X, T)$ est un espace topologique et que $Σ$ est au moins aussi fine que la Borel $σ$ -alg'ebre $σ (T)$ sur $X$ .

$δ x$ est une mesure strictement positive si et seulement si la topologie $T$ est telle que $x$ se trouve dans tout ouvert non vide, par exemple dans le cas de la topologie triviale ${\emptyset, X}$ .
Puisque $δ x$ est une mesure de probabilité, c'est aussi une mesure localement finie .
Si $X$ est un espace topologique de Hausdorff avec sa $σ$ -algèbre de Borel , alors $δ x$ satisfait la condition d'être une mesure régulière interne , puisque les ensembles de singletons tels que ${x}$ sont toujours compacts . Par conséquent, $δ x$ est également une mesure de Radon .
En supposant que la topologie $T$ est suffisamment fine pour que ${x}$ soit fermé, ce qui est le cas dans la plupart des applications, le support de $δ x$ est ${x}$ . (Sinon, $supp(δ x)$ est la fermeture de ${x}$ dans $(X, T)$ .) De plus, $δ x$ est la seule mesure de probabilité dont le support est ${x}$ .
Si $X$ est $n$ dimensionnel espace euclidien $R n$ avec son habituelle $σ$ -alg'ebre et $n$ dimensionnel mesure de Lebesgue $λ n$ , alors $δ x$ est une mesure singulière par rapport à $X n$ : il suffit de décomposer $R n$ en tant que $A = R n \ { x }$ et $B = {x}$ et observer que $δ x (A) = λ n (B) = 0$ .
La mesure de Dirac est une mesure sigma-finie

Généralisations

Une mesure discrète est similaire à la mesure de Dirac, sauf qu'elle est concentrée en un nombre dénombrable de points au lieu d'un seul. Plus formellement, une mesure sur la droite réelle est appelée mesure discrète (par rapport à la mesure de Lebesgue ) si son support est au plus un ensemble dénombrable .

Voir également

Les références

Dieudonné, Jean (1976). "Exemples de mesures". Traité d'analyse, partie 2 . Presse académique. p. 100. ISBN 0-12-215502-5.
Benedetto, John (1997). "Définition §2.1.3, $δ$ ". Analyse harmonique et applications . Presse CRC. p. 72. ISBN 0-8493-7879-6.

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