Fonction image directe - Direct image functor

En mathématiques , dans le domaine de la théorie des faisceaux et surtout en géométrie algébrique , le foncteur image directe généralise la notion de section de faisceau au cas relatif.

Définition

Soit f : XY une application continue des espaces topologiques , et Sh (-) désigne la catégorie des faisceaux de groupes abéliens sur un espace topologique. Le foncteur d' image directe

envoie un faisceau F sur X à sa pré-feuille d'image directe, qui est définie sur les sous-ensembles ouverts U de Y par

qui se révèle être une gerbe sur Y , également appelée gerbe à pousser .

Cette affectation est fonctorielle, soit un morphisme de faisceaux φ: FG sur X donne lieu à un morphisme de faisceaux f * (φ): f * ( F ) → f * ( G ) sur Y .

Exemple

Si Y est un point, alors l'image directe est égale au foncteur de sections globales . Soit f: X → Y une carte continue d'espaces topologiques ou un morphisme de schémas. Alors l' image inverse exceptionnelle est un foncteur f ! : D (Y) → D (X).

Variantes

Une définition similaire s'applique aux réas sur topoi , tels que les réas étales . Au lieu de la pré-image f -1 ( U ) ci-dessus, le produit fibreux de U et X sur Y est utilisé.

Images directes supérieures

Le foncteur d'image directe est exact à gauche , mais généralement pas exact à droite. On peut donc considérer les bons foncteurs dérivés de l'image directe. Elles sont appelées images directes supérieures et notées R q f .

On peut montrer qu'il existe une expression similaire à celle ci-dessus pour les images directes supérieures: pour un faisceau F sur X , R q f ( F ) est le faisceau associé au pré-feuilles

Propriétés

  • Le foncteur image directe est juste adjoint au foncteur image inverse , ce qui signifie que pour tout continu et gerbe respectivement sur X , Y , il existe un isomorphisme naturel:
.
  • Si f est l'inclusion d'un sous-espace fermé XY alors f est exact. En fait, dans ce cas f * est une équivalence entre les faisceaux sur X et sur des poulies Y pris en charge sur X . Il découle du fait que la tige de est si et zéro sinon (ici la fermeture de X en Y est utilisée).

Voir également

Les références

  • Iversen, Birger (1986), Cohomology of sheaves , Universitext, Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-16389-3, MR  0842190, esp. section II.4

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