Fonction image directe - Direct image functor
En mathématiques , dans le domaine de la théorie des faisceaux et surtout en géométrie algébrique , le foncteur image directe généralise la notion de section de faisceau au cas relatif.
Fonctions d'image pour poulies |
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image directe f ∗ |
image inverse f ∗ |
image directe avec support compact f ! |
image inverse exceptionnelle Rf ! |
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Théorèmes de changement de base |
Définition
Soit f : X → Y une application continue des espaces topologiques , et Sh (-) désigne la catégorie des faisceaux de groupes abéliens sur un espace topologique. Le foncteur d' image directe
envoie un faisceau F sur X à sa pré-feuille d'image directe, qui est définie sur les sous-ensembles ouverts U de Y par
qui se révèle être une gerbe sur Y , également appelée gerbe à pousser .
Cette affectation est fonctorielle, soit un morphisme de faisceaux φ: F → G sur X donne lieu à un morphisme de faisceaux f * (φ): f * ( F ) → f * ( G ) sur Y .
Exemple
Si Y est un point, alors l'image directe est égale au foncteur de sections globales . Soit f: X → Y une carte continue d'espaces topologiques ou un morphisme de schémas. Alors l' image inverse exceptionnelle est un foncteur f ! : D (Y) → D (X).
Variantes
Une définition similaire s'applique aux réas sur topoi , tels que les réas étales . Au lieu de la pré-image f -1 ( U ) ci-dessus, le produit fibreux de U et X sur Y est utilisé.
Images directes supérieures
Le foncteur d'image directe est exact à gauche , mais généralement pas exact à droite. On peut donc considérer les bons foncteurs dérivés de l'image directe. Elles sont appelées images directes supérieures et notées R q f ∗ .
On peut montrer qu'il existe une expression similaire à celle ci-dessus pour les images directes supérieures: pour un faisceau F sur X , R q f ∗ ( F ) est le faisceau associé au pré-feuilles
Propriétés
- Le foncteur image directe est juste adjoint au foncteur image inverse , ce qui signifie que pour tout continu et gerbe respectivement sur X , Y , il existe un isomorphisme naturel:
- .
- Si f est l'inclusion d'un sous-espace fermé X ⊆ Y alors f ∗ est exact. En fait, dans ce cas f * est une équivalence entre les faisceaux sur X et sur des poulies Y pris en charge sur X . Il découle du fait que la tige de est si et zéro sinon (ici la fermeture de X en Y est utilisée).
Voir également
Les références
- Iversen, Birger (1986), Cohomology of sheaves , Universitext, Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-16389-3, MR 0842190, esp. section II.4
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