Discrimination - Discriminant

En mathématiques , le discriminant d'un polynôme est une quantité qui dépend des coefficients et détermine diverses propriétés des racines . Il est généralement défini comme une fonction polynomiale des coefficients du polynôme d'origine. Le discriminant est largement utilisé en factorisation polynomiale , en théorie des nombres et en géométrie algébrique . Il est souvent désigné par le symbole .

Le discriminant du polynôme quadratique avec un 0 est :

la quantité qui apparaît sous la racine carrée dans la formule quadratique . Ce discriminant est nul si et seulement si le polynôme a une racine double . Dans le cas des coefficients réels , il est positif si le polynôme a deux racines réelles distinctes, et négatif s'il a deux racines complexes conjuguées distinctes . De même, pour un polynôme cubique , il existe un discriminant qui est nul si et seulement si le polynôme a une racine multiple . Dans le cas d'une cubique à coefficients réels, le discriminant est positif si le polynôme a trois racines réelles distinctes, et négatif s'il a une racine réelle et deux racines complexes conjuguées distinctes.

Plus généralement, le discriminant d'un polynôme univarié de degré positif est nul si et seulement si le polynôme a une racine multiple. Pour les coefficients réels et pas de racines multiples, le discriminant est positif si le nombre de racines non réelles est un multiple de 4 (y compris aucune), et négatif sinon.

Plusieurs généralisations sont également appelées discriminantes : le discriminant d'un corps de nombres algébriques ; le discriminant d'une forme quadratique ; et plus généralement, le discriminant d'une forme , d'un polynôme homogène , ou d'une hypersurface projective (ces trois concepts sont essentiellement équivalents).

Origine

Le terme « discriminant » a été inventé en 1851 par le mathématicien britannique James Joseph Sylvester .

Définition

Laisser

être un polynôme de degré n (cela signifie ), tel que les coefficients appartiennent à un corps , ou, plus généralement, à un anneau commutatif . La résultante de A et son dérivé est un polynôme en des nombres entiers coefficients, qui est le facteur déterminant de la matrice de Sylvester de A et A ' . Les entrées non nulles de la première colonne de la matrice de Sylvester sont et et la résultante est donc un multiple de D'où le discriminant - jusqu'à son signe - est défini comme le quotient de la résultante de A et A' par

Historiquement, ce signe a été choisi de telle sorte que, sur les réels, le discriminant sera positif lorsque toutes les racines du polynôme sont réelles. La division par peut ne pas être bien définie si l' anneau des coefficients contient des diviseurs nuls . Un tel problème peut être évité en remplaçant par 1 dans la première colonne de la matrice de Sylvester — avant de calculer le déterminant. Dans tous les cas, le discriminant est un polynôme en à coefficients entiers.

Expression en termes de racines

Lorsque le polynôme est défini sur un corps , il a n racines, r 1 , r 2 , ..., r n , pas nécessairement toutes distinctes, dans toute extension algébriquement fermée du corps. (Si les coefficients sont des nombres réels, les racines peuvent être prises dans le domaine des nombres complexes , où le théorème fondamental de l'algèbre s'applique.)

En termes de racines, le discriminant est égal à

C'est donc le carré du polynôme de Vandermonde fois a n 2 n − 2 .

Cette expression pour le discriminant est souvent prise comme définition. Il est clair que si le polynôme a une racine multiple , alors son discriminant est nul, et que si toutes les racines sont réelles et simples, alors le discriminant est positif. Contrairement à la définition précédente, cette expression n'est évidemment pas un polynôme dans les coefficients, mais cela découle soit du théorème fondamental de la théorie de Galois , soit du théorème fondamental des polynômes symétriques en notant que cette expression est un polynôme symétrique dans les racines de A .

Degrés bas

Le discriminant d'un polynôme linéaire (degré 1) est rarement considéré. Le cas échéant, il est communément défini égal à 1 (en utilisant les conventions usuelles pour le produit vide et en considérant qu'un des deux blocs de la matrice de Sylvester est vide ). Il n'y a pas de convention commune pour le discriminant d'un polynôme constant (c'est-à-dire un polynôme de degré 0).

Pour les petits degrés, le discriminant est assez simple (voir ci-dessous), mais pour les degrés plus élevés, il peut devenir lourd. Par exemple, le discriminant d'une quartique générale compte 16 termes, celui d'une quintique 59 termes et celui d'une sextique 246 termes. Il s'agit de la séquence OEIS A007878 .

Degré 2

Le polynôme quadratique a un discriminant

La racine carrée du discriminant apparaît dans la formule quadratique pour les racines du polynôme quadratique :

où le discriminant est nul si et seulement si les deux racines sont égales. Si a , b , c sont des nombres réels , le polynôme a deux racines réelles distinctes si le discriminant est positif, et deux racines conjuguées complexes s'il est négatif.

Le discriminant est le produit de a 2 et le carré de la différence des racines.

Si a , b , c sont des nombres rationnels , alors le discriminant est le carré d'un nombre rationnel si et seulement si les deux racines sont des nombres rationnels.

Degré 3

L'ensemble zéro des discriminants de la cubique x 3 + bx 2 + cx + d , c'est-à-dire des points satisfaisant b 2 c 2 – 4 c 3 – 4 b 3 d – 27 d 2 + 18 bcd = 0 .

Le polynôme cubique a un discriminant

Dans le cas particulier d'un polynôme cubique déprimé , le discriminant se simplifie en

Le discriminant est nul si et seulement si au moins deux racines sont égales. Si les coefficients sont des nombres réels et que le discriminant n'est pas nul, le discriminant est positif si les racines sont trois nombres réels distincts, et négatif s'il y a une racine réelle et deux racines conjuguées complexes .

La racine carrée d'une quantité fortement liée au discriminant apparaît dans les formules des racines d'un polynôme cubique . Concrètement, cette quantité peut être -3 fois le discriminant, ou son produit par le carré d'un nombre rationnel ; par exemple, le carré de 1/18 dans le cas de la formule Cardano .

Si le polynôme est irréductible et que ses coefficients sont des nombres rationnels (ou appartiennent à un corps de nombres ), alors le discriminant est un carré d'un nombre rationnel (ou d'un nombre du corps de nombres) si et seulement si le groupe de Galois de l'équation cubique est le groupe cyclique d' ordre trois.

Degré 4

Le discriminant du polynôme quartique x 4 + cx 2 + dx + e . La surface représente les points ( c , d , e ) où le polynôme a une racine répétée. L'arête cuspidale correspond aux polynômes à racine triple, et l'auto-intersection correspond aux polynômes à deux racines répétées différentes.

Le polynôme quartique a un discriminant

Le discriminant est nul si et seulement si au moins deux racines sont égales. Si les coefficients sont des nombres réels et que le discriminant est négatif, alors il y a deux racines réelles et deux racines conjuguées complexes . Inversement, si le discriminant est positif, alors les racines sont soit toutes réelles, soit toutes non réelles.

Propriétés

Zéro discriminant

Le discriminant d'un polynôme sur un champ est nul si et seulement si le polynôme a une racine multiple dans une extension de champ .

Le discriminant d'un polynôme sur un domaine intégral est nul si et seulement si le polynôme et sa dérivée ont un diviseur commun non constant.

Dans la caractéristique 0, cela revient à dire que le polynôme n'est pas sans carré (c'est -à- dire divisible par le carré d'un polynôme non constant).

Dans une caractéristique p non nulle , le discriminant est nul si et seulement si le polynôme n'est pas sans carré ou s'il a un facteur irréductible qui n'est pas séparable (c'est-à-dire que le facteur irréductible est un polynôme dans ).

Invariance sous changement de la variable

Le discriminant d'un polynôme est, à une échelle près , invariant sous toute transformation projective de la variable. Comme une transformation projective peut être décomposée en un produit de translations, d'homothéties et d'inversions, cela donne les formules suivantes pour des transformations plus simples, où P ( x ) désigne un polynôme de degré n , avec comme coefficient dominant.

  • Invariance par translation :
Ceci résulte de l'expression du discriminant en fonction des racines
  • Invariance par homothétie :
Ceci résulte de l'expression en termes de racines, ou de la quasi-homogénéité du discriminant.
  • Invariance par inversion :
quand Ici, désigne le polynôme réciproque de P ; c'est-à-dire si et alors

Invariance sous homomorphismes d'anneaux

Soit un homomorphisme d' anneaux commutatifs . Étant donné un polynôme

dans R [ x ] , l' homomorphisme agit sur A pour produire le polynôme

dans S [ x ] .

Le discriminant est invariant sous dans le sens suivant. Si alors

Comme le discriminant est défini en termes de déterminant, cette propriété résulte immédiatement de la propriété similaire des déterminants.

Si alors peut être zéro ou non. On a, quand

Lorsqu'on s'intéresse uniquement à savoir si un discriminant est nul (comme c'est généralement le cas en géométrie algébrique ), ces propriétés peuvent se résumer ainsi :

si et seulement si l'un ou l' autre

Ceci est souvent interprété comme disant que , si et seulement si a une racine multiple (éventuellement à l'infini ).

Produit de polynômes

Si R = PQ est un produit de polynômes en x , alors

où désigne la résultante par rapport à la variable x , et p et q sont les degrés respectifs de P et Q .

Cette propriété suit immédiatement en substituant l'expression à la résultante, et au discriminant, en termes de racines des polynômes respectifs.

Homogénéité

Le discriminant est un polynôme homogène dans les coefficients ; c'est aussi un polynôme homogène dans les racines et donc quasi-homogène dans les coefficients.

Le discriminant d'un polynôme de degré n est homogène de degré 2 n − 2 dans les coefficients. Cela peut être vu de deux manières. En termes de formule des racines et du terme dominant, multiplier tous les coefficients par λ ne change pas les racines, mais multiplie le terme dominant par λ . En termes d'expression en tant que déterminant d'une matrice (2 n − 1) × (2 n − 1) (la matrice de Sylvester ) divisée par un n , le déterminant est homogène de degré 2 n − 1 dans les entrées, et divisant par un n fait le degré 2 n − 2 .

Le discriminant d'un polynôme de degré n est homogène de degré n ( n − 1) dans les racines. Ceci résulte de l'expression du discriminant en termes de racines, qui est le produit d'une différence constante et carrée de racines.

Le discriminant d'un polynôme de degré n est quasi-homogène de degré n ( n − 1) dans les coefficients, si, pour tout i , le coefficient de a le poids ni . Il est également quasi-homogène du même degré, si, pour tout i , le coefficient de est donné le poids Ceci est une conséquence du fait général que tout polynôme qui est homogène et symétrique dans les racines peut être exprimé comme un quasi- polynôme homogène dans les fonctions symétriques élémentaires des racines.

Considérons le polynôme

Il résulte de ce qui précède que les exposants de tout monôme a 0 i 0 . ..., un n i n apparaissant dans le discriminant vérifie les deux équations

et

et aussi l'équation

qui est obtenu en soustrayant la deuxième équation de la première multipliée par n .

Cela restreint les termes possibles dans le discriminant. Pour le polynôme quadratique général, il n'y a que deux possibilités et deux termes dans le discriminant, tandis que le polynôme général homogène de degré deux en trois variables a 6 termes. Pour le polynôme cubique général, il y a cinq possibilités et cinq termes dans le discriminant, tandis que le polynôme général homogène de degré 4 en 5 variables a 70 termes

Pour les degrés supérieurs, il peut y avoir des monômes qui satisfont aux équations ci-dessus et n'apparaissent pas dans le discriminant. Le premier exemple concerne le polynôme quartique ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx + e , auquel cas le monôme bc 4 d satisfait les équations sans apparaître dans le discriminant.

De vraies racines

Dans cette section, tous les polynômes ont des coefficients réels .

On a vu au § Degrés bas que le signe du discriminant fournit une information complète sur la nature des racines pour les polynômes de degré 2 et 3. Pour les degrés supérieurs, l'information fournie par le discriminant est moins complète, mais toujours utile. Plus précisément, pour un polynôme de degré n , on a :

  • Le polynôme a une racine multiple si et seulement si son discriminant est nul.
  • Si le discriminant est positif, le nombre de racines non réel est un multiple de 4. Autrement dit, il existe un entier positif kn / 4 de sorte qu'il existe 2 k paires de conjugués complexes racines et n - 4 k racines réelles .
  • Si le discriminant est négatif, le nombre de racines non réelles n'est pas un multiple de 4. C'est-à-dire qu'il existe un entier non négatif k ( n − 2)/4 tel qu'il existe 2 k + 1 paires de racines conjuguées complexes et n − 4 k + 2 racines réelles.

Polynôme bivarié homogène

Laisser

être un polynôme homogène de degré n à deux indéterminés.

En supposant pour le moment que et soient tous deux non nuls, on a

En notant cette quantité par un a

et

En raison de ces propriétés, la quantité est appelée le discriminant ou le discriminant homogène de A .

Si et sont autorisés à être nuls, les polynômes A ( x , 1) et A (1, y ) peuvent avoir un degré inférieur à n . Dans ce cas, les formules et définitions ci-dessus restent valables, si les discriminants sont calculés comme si tous les polynômes avaient le degré n . Cela signifie que les discriminants doivent être calculés avec et indéterminés, la substitution pour eux de leurs valeurs réelles se faisant après ce calcul. De manière équivalente, les formules de § Invariance sous homomorphismes d'anneaux doivent être utilisées.

Utilisation en géométrie algébrique

L'utilisation typique des discriminants en géométrie algébrique est pour l'étude des courbes algébriques et, plus généralement, des hypersurfaces algébriques . Soit V une telle courbe ou hypersurface ; V est défini comme l'ensemble zéro d'un polynôme multivarié . Ce polynôme peut être considéré comme un polynôme univarié dans l'un des indéterminés, avec des polynômes dans les autres indéterminés comme coefficients. Le discriminant par rapport à l'indéterminé sélectionné définit une hypersurface W dans l'espace des autres indéterminés. Les points de W sont exactement la projection des points de V (y compris les points à l'infini ), qui sont soit singuliers, soit ont un hyperplan tangent parallèle à l'axe de l'indéterminé sélectionné.

Par exemple, soit f un polynôme bivarié en X et Y à coefficients réels, tel que  f  = 0 soit l'équation implicite d'une courbe algébrique plane . Affichage f comme un polynôme univarié en Y avec des coefficients en fonction de X , alors le discriminant est un polynôme en x dont les racines sont les X -coordinates des points singuliers, des points avec une tangente parallèle à la Y selon l' axe et d' une partie de les asymptotes parallèles à l' axe Y. En d'autres termes, le calcul des racines du discriminant Y et du discriminant X permet de calculer tous les points remarquables de la courbe, à l'exception des points d'inflexion .

Généralisations

Il existe deux classes du concept de discriminant. La première classe est le discriminant d'un corps de nombres algébriques , qui, dans certains cas comprenant des corps quadratiques , est le discriminant d'un polynôme définissant le corps.

Les discriminants de la seconde classe apparaissent pour les problèmes dépendant des coefficients, lorsque les instances dégénérées ou les singularités du problème sont caractérisées par la disparition d'un seul polynôme dans les coefficients. C'est le cas du discriminant d'un polynôme, qui est nul lorsque deux racines s'effondrent. La plupart des cas, où un tel discriminant généralisé est défini, sont des exemples de ce qui suit.

Soit A un polynôme homogène en n indéterminés sur un corps de caractéristique 0, ou d'une caractéristique première qui ne divise pas le degré du polynôme. Le polynôme A définit une hypersurface projective , qui a des points singuliers si et seulement les n dérivées partielles de A ont un zéro commun non trivial . C'est le cas si et seulement si la résultante multivariée de ces dérivées partielles est nulle, et cette résultante peut être considérée comme le discriminant de A . Cependant, à cause des coefficients entiers résultant de la dérivation, cette résultante multivariée peut être divisible par une puissance de n , et il vaut mieux prendre comme discriminant la partie primitive de la résultante, calculée avec des coefficients génériques. La restriction sur la caractéristique est nécessaire car sinon un zéro commun de la dérivée partielle n'est pas nécessairement un zéro du polynôme (voir l'identité d'Euler pour les polynômes homogènes ).

Dans le cas d'un polynôme bivarié homogène de degré d , ce discriminant général est multiplié par le discriminant défini au § Polynôme bivarié homogène . Plusieurs autres types classiques de discriminants, qui sont des instances de la définition générale, sont décrits dans les sections suivantes.

Formes quadratiques

Une forme quadratique est une fonction sur un espace vectoriel , qui est défini sur une certaine base par un polynôme homogène de degré 2 :

ou, sous forme matricielle,

pour la matrice symétrique , le vecteur ligne et le vecteur colonne . En caractéristique différente de 2, le discriminant ou déterminant de Q est le déterminant de A .

Le déterminant hessien de Q est multiplié par son discriminant. La résultante multivariée des dérivées partielles de Q est égale à son déterminant hessien. Ainsi, le discriminant d'une forme quadratique est un cas particulier de la définition générale ci-dessus d'un discriminant.

Le discriminant d'une forme quadratique est invariant sous des changements linéaires de variables (c'est-à-dire un changement de base de l'espace vectoriel sur lequel la forme quadratique est définie) au sens suivant : un changement linéaire de variables est défini par une matrice non singulière S , transforme la matrice A en et multiplie ainsi le discriminant par le carré du déterminant de S . Ainsi , le discriminant est bien défini que jusqu'à la multiplication par un carré. En d'autres termes, le discriminant d'une forme quadratique sur un corps K est un élément de K /( K × ) 2 , le quotient du monoïde multiplicatif de K par le sous - groupe des carrés non nuls (c'est-à-dire que deux éléments de K sont dans la même classe d'équivalence si l'un est le produit de l'autre par un carré non nul). Il s'ensuit que sur les nombres complexes , un discriminant est équivalent à 0 ou 1. Sur les nombres réels , un discriminant est équivalent à −1, 0 ou 1. Sur les nombres rationnels , un discriminant est équivalent à un unique sans carré entier .

Par un théorème de Jacobi , une forme quadratique sur un corps de caractéristique différente de 2 peut être exprimée, après un changement linéaire de variables, sous forme diagonale comme

Plus précisément, une forme quadratique sur peut être exprimée comme une somme

où les L i sont des formes linéaires indépendantes et n est le nombre de variables (certaines des a i peuvent être nulles). De manière équivalente, pour toute matrice symétrique A , il existe une matrice élémentaire S telle qu'elle soit une matrice diagonale. Alors le discriminant est le produit du a i , qui est bien défini comme une classe dans K /( K × ) 2 .

Géométriquement, le discriminant d'une forme quadratique à trois variables est l'équation d'une courbe projective quadratique . Le discriminant est nul si et seulement si la courbe est décomposée en droites (éventuellement sur une extension algébriquement fermée du champ).

Une forme quadratique à quatre variables est l'équation d'une surface projective . La surface a un point singulier si et seulement son discriminant est nul. Dans ce cas, soit la surface peut être décomposée en plans, soit elle a un unique point singulier, et est un cône ou un cylindre . Sur les réels, si le discriminant est positif, alors la surface n'a pas de point réel ou a partout une courbure de Gauss négative . Si le discriminant est négatif, la surface a des points réels, et a une courbure de Gauss négative.

Sections coniques

Une conique est une courbe plane définie par une équation implicite de la forme

a , b , c , d , e , f sont des nombres réels.

Deux formes quadratiques , et donc deux discriminants peuvent être associés à une section conique.

La première forme quadratique est

Son discriminant est le déterminant

Il est nul si la conique dégénère en deux droites, une double droite ou un seul point.

Le deuxième discriminant, qui est le seul qui est considéré dans de nombreux manuels élémentaires, est le discriminant de la partie homogène du degré deux de l'équation. Il est égal à

et détermine la forme de la section conique. Si ce discriminant est négatif, la courbe soit n'a pas de points réels, soit est une ellipse ou un cercle , soit, si elle est dégénérée, se réduit à un seul point. Si le discriminant est nul, la courbe est une parabole , ou, si dégénérée, une double droite ou deux droites parallèles. Si le discriminant est positif, la courbe est une hyperbole , ou, si dégénérée, une paire de droites sécantes.

Surfaces quadriques réelles

Une surface quadrique réelle dans l' espace euclidien de dimension trois est une surface qui peut être définie comme les zéros d'un polynôme de degré deux à trois variables. Quant aux sections coniques, il y a deux discriminants qui peuvent être naturellement définis. Les deux sont utiles pour obtenir des informations sur la nature d'une surface quadrique.

Soit un polynôme de degré deux à trois variables qui définit une surface quadrique réelle. La première forme quadratique associée, dépend de quatre variables, et est obtenue en homogénéisant P ; C'est

Notons son discriminant par

La seconde forme quadratique, dépend de trois variables, et se compose des termes de degré deux de P ; C'est

Notons son discriminant par

Si et la surface a des points réels, il est soit un paraboloïde hyperbolique ou une hyperbole d' une feuille . Dans les deux cas, il s'agit d'une surface réglée qui a une courbure gaussienne négative en tout point.

Si la surface est soit un ellipsoïde, soit un hyperboloïde à deux feuilles, soit un paraboloïde elliptique . Dans tous les cas, il a une courbure gaussienne positive en tout point.

Si la surface a un point singulier , éventuellement à l'infini . S'il n'y a qu'un seul point singulier, la surface est un cylindre ou un cône . S'il y a plusieurs points singuliers, la surface est constituée de deux plans, d'un double plan ou d'une seule ligne.

Lorsque le signe de sinon 0, ne fournit aucune information utile, car changer P en P ne change pas la surface, mais change le signe de Cependant, si et la surface est un paraboloïde , qui est elliptique ou hyperbolique, selon le signe de

Discriminant d'un corps de nombre algébrique

Les références

Liens externes