Union disjointe - Disjoint union

En mathématiques , une union disjointe (ou union discriminée ) d'une famille d'ensembles est un ensemble avec une fonction injective de chacun dans A , telle que les images de ces injections forment une partition de A (c'est-à-dire que chaque élément de A appartient à exactement une de ces images). L'union disjointe d'une famille d' ensembles disjoints deux à deux est leur union . En termes de théorie des catégories , l'union disjointe est le coproduit de la catégorie des ensembles . L'union disjointe est ainsi définie à une bijection près .

Une méthode standard pour construire l'union disjointe est de définir A comme l'ensemble des paires ordonnées ( x , i ) telles que et les fonctions injectives par

Exemple

Considérez les ensembles et . On peut indexer les éléments de l'ensemble selon l'origine de l'ensemble en formant les ensembles associés

où le deuxième élément de chaque paire correspond à l'indice de l'ensemble d'origine (par exemple, le in correspond à l'indice de , etc.). L'union disjointe peut alors être calculée comme suit :

Définition de la théorie des ensembles

Formellement, soit une famille d'ensembles indexés par L' union disjointe de cette famille est l'ensemble

Les éléments de l'union disjointe sont des paires ordonnées. Ici sert d'index auxiliaire qui indique d'où provient l'élément .

Chacun des ensembles est canoniquement isomorphe à l'ensemble

A travers cet isomorphisme, on peut considérer qu'il est canoniquement encastré dans l'union disjointe. Pour les ensembles et sont disjoints même si les ensembles et ne le sont pas.

Dans le cas extrême où chacun des est égal à un ensemble fixe pour chacun, l'union disjointe est le produit cartésien de et :

On peut parfois voir la notation

pour l'union disjointe d'une famille d'ensembles, ou la notation pour l'union disjointe de deux ensembles. Cette notation est censée suggérer le fait que la cardinalité de l'union disjointe est la somme des cardinalités des termes de la famille. Comparez cela à la notation pour le produit cartésien d'une famille d'ensembles.

Les unions disjointes sont aussi parfois écrites ou

Dans le langage de la théorie des catégories , l'union disjointe est le coproduit dans la catégorie des ensembles . Il satisfait donc à la propriété universelle associée . Cela signifie également que l'union disjointe est le dual catégorique de la construction du produit cartésien . Voir coproduit pour plus de détails.

À de nombreuses fins, le choix particulier de l'index auxiliaire est sans importance, et dans un abus de notation simplifiant , la famille indexée peut être traitée simplement comme une collection d'ensembles. Dans ce cas, on parle de copie de et la notation est parfois utilisée.

Point de vue de la théorie des catégories

Dans la théorie des catégories, l'union disjointe est définie comme un coproduit dans la catégorie des ensembles.

En tant que telle, l'union disjointe est définie à un isomorphisme près, et la définition ci-dessus n'est qu'une réalisation du coproduit, parmi d'autres. Lorsque les ensembles sont deux à deux disjoints, l'union habituelle est une autre réalisation du coproduit. Cela justifie la deuxième définition en tête.

Cet aspect catégorique de l'union disjointe explique pourquoi est fréquemment utilisé, au lieu de , pour désigner le coproduit .

Voir également

Les références

  • Lang, Serge (2004), Algebra , Graduate Texts in Mathematics , 211 (quatrième impression corrigée, troisième édition révisée), New York : Springer-Verlag, p. 60, ISBN 978-0-387-95385-4
  • Weisstein, Eric W. "Union disjointe" . MathWorld .