Distance - Distance

La distance est une mesure numérique de la distance entre les objets ou les points. En physique ou en usage quotidien, la distance peut faire référence à une longueur physique ou à une estimation basée sur d'autres critères (par exemple "deux comtés au-dessus"). La distance d'un point A à un point B est parfois notée . Dans la plupart des cas, « distance de A à B » est interchangeable avec « distance de B à A ». En mathématiques , une fonction de distance ou métrique est une généralisation du concept de distance physique ; c'est une façon de décrire ce que cela signifie pour les éléments d'un espace d'être « proche » ou « loin » les uns des autres. En psychologie et en sciences sociales , la distance est une mesure non numérique ; La distance psychologique est définie comme « les différentes manières dont un objet peut être retiré de » soi selon des dimensions telles que « le temps, l'espace, la distance sociale et l'hypothèse.

Aperçu et définitions

Distances physiques

Les lignes aériennes entre Los Angeles et Tokyo suivent approximativement une route circulaire directe (en haut), mais utilisent le courant-jet (en bas) en se dirigeant vers l'est. Notez que le chemin le plus court apparaît sous la forme d'une courbe plutôt que d'une ligne droite car cette carte est une projection de Mercator , qui ne met pas toutes les distances à l'échelle de la même manière par rapport à la surface sphérique réelle de la Terre.
" Distance de Manhattan " sur une grille

Une distance physique peut signifier plusieurs choses différentes :

  • Distance parcourue : la longueur d'un chemin spécifique parcouru entre deux points, telle que la distance parcourue lors de la navigation dans un labyrinthe
  • Distance en ligne droite (euclidienne) : la longueur du chemin le plus court possible à travers l'espace, entre deux points, qui pourrait être prise s'il n'y avait pas d'obstacles (généralement formalisé comme distance euclidienne )
  • Distance géodésique : La longueur du chemin le plus court entre deux points tout en restant sur une certaine surface, telle que la distance du grand cercle le long de la courbe de la Terre
  • La longueur d'un chemin spécifique qui revient au point de départ, comme une balle lancée vers le haut, ou la Terre lorsqu'elle termine une orbite .
Un panneau indiquant les distances près de Visakhapatnam

La "distance circulaire" est la distance parcourue par une roue, ce qui peut être utile lors de la conception de véhicules ou d'engrenages mécaniques. La circonférence de la roue est de 2 π  x rayon, et en supposant que le rayon soit 1, alors chaque révolution de la roue est équivalent à la distance 2 tc radians. Dans l' ingénierie ω  = 2 πƒ est souvent utilisé, où ƒ est la fréquence .

Des définitions inhabituelles de la distance peuvent être utiles pour modéliser certaines situations physiques, mais sont également utilisées en mathématiques théoriques :

  • La « distance de Manhattan » est une distance rectiligne, nommée d'après le nombre de blocs (dans les directions nord, sud, est ou ouest) qu'un taxi doit parcourir pour atteindre sa destination sur le quadrillage des rues de certaines parties de la ville de New York. .
  • La "distance de l'échiquier", formalisée sous le nom de distance Chebyshev , est le nombre minimum de coups qu'un roi doit effectuer sur un échiquier , afin de voyager entre deux cases.

Les mesures de distance en cosmologie sont compliquées par l' expansion de l'univers et par les effets décrits par la théorie de la relativité (comme la contraction de la longueur des objets en mouvement).

Distances théoriques

Le terme "distance" est également utilisé par analogie pour mesurer des entités non physiques de certaines manières.

En informatique , il existe la notion de " distance d'édition " entre deux chaînes. Par exemple, les mots "chien" et "point", qui ne varient que d'une lettre, sont plus proches que "chien" et "chat", qui diffèrent de trois lettres. Cette idée est utilisée dans les correcteurs orthographiques et dans la théorie du codage , et est formalisée mathématiquement de plusieurs manières différentes telles que :

En mathématiques, un espace métrique est un ensemble pour lequel les distances entre tous les membres de l'ensemble sont définies. De cette façon, de nombreux types de "distances" peuvent être calculés, comme pour le parcours de graphes , la comparaison de distributions et de courbes, et en utilisant des définitions inhabituelles de "l'espace" (par exemple en utilisant une variété ou des réflexions ). La notion de distance dans la théorie des graphes a été utilisée pour décrire les réseaux sociaux , par exemple avec le nombre d'Erdős ou le nombre de Bacon - le nombre de relations de collaboration éloignées d'une personne du mathématicien prolifique Paul Erdős et de l'acteur Kevin Bacon , respectivement.

En psychologie, en géographie humaine et en sciences sociales, la distance est souvent théorisée non pas comme une métrique objective, mais comme une expérience subjective.

Distance versus distance dirigée et déplacement

Distance le long d'un chemin par rapport au déplacement

La distance et le déplacement mesurent tous deux le mouvement d'un objet. La distance ne peut pas être négative et ne diminue jamais. La distance est une quantité scalaire , ou une magnitude , tandis que le déplacement est une quantité vectorielle avec à la fois une magnitude et une direction . Il peut être négatif, nul ou positif. La distance dirigée ne mesure pas le mouvement ; il mesure la séparation de deux points et peut être un vecteur positif, nul ou négatif.

La distance parcourue par un véhicule (par exemple telle qu'enregistrée par un odomètre ), une personne, un animal ou un objet le long d'une trajectoire courbe d'un point A à un point B doit être distinguée de la distance en ligne droite de A à B . Par exemple, quelle que soit la distance parcourue lors d'un aller-retour de A à B et retour à A , le déplacement est nul car les points de départ et d'arrivée coïncident. En général, la distance en ligne droite n'est pas égale à la distance parcourue, sauf pour les trajets en ligne droite.

Distance dirigée

Les distances dirigées peuvent être déterminées le long de lignes droites et le long de lignes courbes.

Les distances dirigées le long de lignes droites sont des vecteurs qui donnent la distance et la direction entre un point de départ et un point d'arrivée. Une distance dirigée d'un point C du point A dans la direction de B sur une ligne AB dans un espace vectoriel euclidien est la distance de A à C si C tombe sur le rayon AB , mais est le négatif de cette distance si C tombe sur le rayon BA (c'est-à-dire si C n'est pas du même côté de A que B ). Par exemple, la distance dirigée entre le mât du drapeau de la bibliothèque principale de New York et le mât du drapeau de la Statue de la Liberté a :

  • Un point de départ : le mât du drapeau de la bibliothèque
  • Un point d'arrivée : mât de drapeau de statue
  • Un sens : -38°
  • Une distance : 8,72 km

Un autre type de distance dirigée est celle entre deux particules ou masses ponctuelles différentes à un moment donné. Par exemple, la distance entre le centre de gravité de la Terre A et le centre de gravité de la Lune B (ce qui n'implique pas strictement un mouvement de A à B ) entre dans cette catégorie.

Une distance dirigée le long d'une ligne courbe n'est pas un vecteur et est représentée par un segment de cette ligne courbe définie par les extrémités A et B , avec des informations spécifiques indiquant le sens (ou la direction) d'un mouvement idéal ou réel à partir d'une extrémité de la segment à l'autre (voir figure). Par exemple, le simple fait d'étiqueter les deux extrémités comme A et B peut indiquer le sens, si la séquence ordonnée ( A , B ) est supposée, ce qui implique que A est le point de départ.

Déplacement

Un déplacement (voir ci-dessus) est un type particulier de distance dirigée définie en mécanique . Une distance dirigée est appelée déplacement lorsqu'il s'agit de la distance en ligne droite (distance minimale) de A et B , et lorsque A et B sont des positions occupées par la même particule à deux instants différents . Cela implique le mouvement de la particule. La distance parcourue par une particule doit toujours être supérieure ou égale à son déplacement, l'égalité ne se produisant que lorsque la particule se déplace le long d'un trajet rectiligne.

Mathématiques

Géométrie

En géométrie analytique , la distance euclidienne entre deux points du plan xy peut être trouvée en utilisant la formule de distance. La distance entre ( x 1 , y 1 ) et ( x 2 , y 2 ) est donnée par :

De même, étant donné les points ( x 1 , y 1 , z 1 ) et ( x 2 , y 2 , z 2 ) dans l' espace tridimensionnel , la distance qui les sépare est :

Ces formules sont facilement dérivées en construisant un triangle rectangle avec une jambe sur l' hypoténuse d'une autre (avec l'autre jambe orthogonale au plan qui contient le 1er triangle) et en appliquant le théorème de Pythagore . Cette formule de distance peut également être étendue à la formule de longueur d'arc . D'autres distances avec d'autres formules sont utilisées en géométrie non euclidienne .

Distance dans l'espace euclidien

Dans l' espace euclidien R n , la distance entre deux points est généralement donnée par la distance euclidienne ( distance à 2 normes). D'autres distances, basées sur d'autres normes , sont parfois utilisées à la place.

Pour un point ( x 1 , x 2 , ..., x n ) et un point ( y 1 , y 2 , ..., y n ), la distance de Minkowski d'ordre p ( p -norm distance ) est définie comme :

Distance 1-norme
Distance à 2 normes
p -norme distance
distance à la norme infinie

p n'a pas besoin d'être un entier, mais il ne peut pas être inférieur à 1, car sinon l' inégalité triangulaire ne tient pas.

La distance 2-norme est la distance euclidienne , une généralisation du théorème de Pythagore à plus de deux coordonnées . C'est ce que l'on obtiendrait si la distance entre deux points était mesurée avec une règle : l'idée « intuitive » de distance.

La distance à la norme 1 est plus colorée appelée norme de taxi ou distance de Manhattan , car il s'agit de la distance qu'une voiture parcourrait dans une ville disposée en blocs carrés (s'il n'y a pas de rues à sens unique).

La distance de la norme à l'infini est également appelée distance de Chebyshev . En 2D, c'est le nombre minimum de coups dont les rois ont besoin pour se déplacer entre deux cases sur un échiquier .

La norme p est rarement utilisée pour les valeurs de p autres que 1, 2 et l'infini, mais voir super ellipse .

Dans l'espace physique la distance euclidienne est en quelque sorte la plus naturelle, car dans ce cas la longueur d'un corps rigide ne change pas avec la rotation .

Formulation variationnelle de la distance

La distance euclidienne entre deux points dans l'espace ( et ) peut être écrite sous une forme variationnelle où la distance est la valeur minimale d'une intégrale :

Voici la trajectoire (chemin) entre les deux points. La valeur de l'intégrale (D) représente la longueur de cette trajectoire. La distance est la valeur minimale de cette intégrale et est obtenue lorsque où est la trajectoire optimale. Dans le cas euclidien familier (l'intégrale ci-dessus) cette trajectoire optimale est simplement une ligne droite. Il est bien connu que le chemin le plus court entre deux points est une ligne droite. Les lignes droites peuvent être formellement obtenues en résolvant les équations d'Euler-Lagrange pour la fonctionnelle ci-dessus . Dans les variétés non euclidiennes (espaces courbes) où la nature de l'espace est représentée par un tenseur métrique, l'intégrande doit être modifié en , où la convention de sommation d'Einstein a été utilisée.

Généralisation aux objets de dimension supérieure

La distance euclidienne entre deux objets peut également être généralisée au cas où les objets ne sont plus des points mais sont des variétés de dimension supérieure , telles que des courbes spatiales, donc en plus de parler de distance entre deux points, on peut discuter des concepts de distance entre deux cordes. Étant donné que les nouveaux objets traités sont des objets étendus (et non plus des points), des concepts supplémentaires tels que la non-extensibilité, les contraintes de courbure et les interactions non locales qui imposent le non-croisement deviennent centraux dans la notion de distance. La distance entre les deux variétés est la quantité scalaire qui résulte de la minimisation de la fonctionnelle distance généralisée, qui représente une transformation entre les deux variétés :

La double intégrale ci-dessus est la distance fonctionnelle généralisée entre deux conformations polymères. est un paramètre spatial et est un pseudo-temps. Cela signifie qu'il s'agit de la conformation polymère/corde à un moment donné et qu'elle est paramétrée le long de la longueur de la corde par . De même est la trajectoire d'un segment infinitésimal de la chaîne lors de la transformation de la chaîne entière de la conformation à la conformation . Le terme avec cofacteur est un multiplicateur de Lagrange et son rôle est d'assurer que la longueur du polymère reste la même pendant la transformation. Si deux polymères discrets sont inextensibles, alors la transformation à distance minimale entre eux n'implique plus un mouvement purement linéaire, même sur une métrique euclidienne. Il existe une application potentielle de cette distance généralisée au problème du repliement des protéines .

Cette distance généralisée est analogue à l' action Nambu-Goto en théorie des cordes , mais il n'y a pas de correspondance exacte car la distance euclidienne dans l'espace 3-est équivalente à la distance espace-temps minimisée pour la corde relativiste classique.

Distance algébrique

Il s'agit d'une métrique souvent utilisée en vision par ordinateur qui peut être minimisée par l' estimation des moindres carrés . [1] [2] Pour les courbes ou les surfaces données par l'équation (comme une conique en coordonnées homogènes ), la distance algébrique du point à la courbe est simplement . Il peut servir d'"estimation initiale" pour la distance géométrique pour affiner les estimations de la courbe par des méthodes plus précises, telles que les moindres carrés non linéaires .

Métrique générale

En mathématiques , en particulier en géométrie , une fonction distance sur un ensemble M donné est une fonction d : M × MR , où R désigne l'ensemble des nombres réels , qui satisfait les conditions suivantes :

  • d ( x , y ) 0 , et d ( x , y ) = 0 si et seulement si x = y . (La distance est positive entre deux points différents, et est de zéro précisément d'un point à lui-même.)
  • Il est symétrique : d ( x , y ) = d ( y , x ) . (La distance entre x et y est la même dans les deux sens.)
  • Il satisfait l' inégalité triangulaire : d ( x , z ) d ( x , y ) + d ( y , z ) . (La distance entre deux points est la distance la plus courte le long d'un chemin). Une telle fonction de distance est connue sous le nom de métrique . Avec l'ensemble, il constitue un espace métrique .

Par exemple, la définition habituelle de la distance entre deux nombres réels x et y est : d ( x , y ) = | xy | . Cette définition satisfait les trois conditions ci-dessus, et correspond à la topologie standard de la ligne réelle . Mais la distance sur un ensemble donné est un choix définitionnel. Un autre choix possible est de définir : d ( x , y ) = 0 si x = y , et 1 sinon. Cela définit également une métrique, mais donne une topologie complètement différente, la « topologie discrète » ; avec cette définition, les nombres ne peuvent pas être arbitrairement proches.

Distances entre ensembles et entre un point et un ensemble

d ( AB ) >  d ( AC ) +  d ( CB )

Différentes définitions de distance sont possibles entre les objets. Par exemple, entre corps célestes, il ne faut pas confondre la distance surface à surface et la distance centre à centre. Si la première est bien inférieure à la seconde, comme pour une orbite terrestre basse , la première a tendance à être cotée (altitude), sinon, par exemple pour la distance Terre-Lune, la seconde.

Il existe deux définitions courantes de la distance entre deux sous- ensembles non vides d'un espace métrique donné :

  • Une version de la distance entre deux ensembles non vides est l' infimum des distances entre deux quelconques de leurs points respectifs, ce qui est le sens quotidien du mot, c'est-à-dire
Il s'agit d'une prémétrique symétrique . Sur un ensemble d'ensembles dont certains se touchent ou se chevauchent, il n'est pas "séparant", car la distance entre deux ensembles différents mais se touchant ou se chevauchant est nulle. De plus, il n'est pas hémimétrique , c'est-à-dire que l' inégalité triangulaire ne tient pas, sauf dans des cas particuliers. Par conséquent, seulement dans des cas particuliers, cette distance fait d'une collection d'ensembles un espace métrique .
  • La distance de Hausdorff est la plus grande de deux valeurs, l'une étant la supremum , pour un point compris dans un ensemble, de l'infimum, pour un second point compris dans l'autre ensemble, de la distance entre les points, et l'autre valeur étant de même défini mais avec les rôles des deux ensembles permutés. Cette distance fait de l'ensemble des sous- ensembles compacts non vides d'un espace métrique lui-même un espace métrique .

La distance entre un point et un ensemble est l'infimum des distances entre le point et ceux de l'ensemble. Ceci correspond à la distance, selon la première définition citée ci-dessus de la distance entre ensembles, de l'ensemble ne contenant que ce point à l'autre ensemble.

A cet égard, la définition de la distance de Hausdorff peut être simplifiée : c'est la plus grande de deux valeurs, l'une étant la supremum, pour un point compris dans un ensemble, de la distance entre le point et l'ensemble, et l'autre valeur étant défini de la même manière mais avec les rôles des deux ensembles échangés.

La théorie des graphes

Dans la théorie des graphes la distance de entre deux sommets est la longueur du plus court chemin entre les sommets.

Distances statistiques

En statistique et en géométrie de l'information , il existe de nombreux types de distances statistiques , notamment les divergences , en particulier les divergences de Bregman et les f- divergences . Celles-ci incluent et généralisent de nombreuses notions de "différence entre deux distributions de probabilité ", et leur permettent d'être étudiées géométriquement, en tant que variétés statistiques . Le plus élémentaire est le carré de la distance euclidienne , qui forme la base des moindres carrés ; c'est la divergence de Bregman la plus fondamentale. Le plus important en théorie de l'information est l' entropie relative ( divergence de Kullback-Leibler ), qui permet d'étudier de manière analogue l' estimation du maximum de vraisemblance géométriquement; c'est la f -divergence la plus basique , et c'est aussi une divergence de Bregman (et c'est la seule divergence qui soit les deux). Les variétés statistiques correspondant aux divergences de Bregman sont des variétés plates dans la géométrie correspondante, permettant à un analogue du théorème de Pythagore (ce qui est traditionnellement vrai pour la distance euclidienne au carré) d'être utilisé pour les problèmes inverses linéaires en inférence par la théorie de l'optimisation .

D'autres distances statistiques importantes incluent la distance de Mahalanobis , la distance énergétique et bien d'autres.

Autres "distances" mathématiques

  • Distance de Canberra - une version pondérée de la distance de Manhattan, utilisée en informatique

En psychologie

La distance psychologique est définie comme « les différentes manières dont un objet peut être retiré de » soi selon des dimensions telles que « le temps, l'espace, la distance sociale et l'hypothèse ». La relation entre la distance psychologique et la mesure dans laquelle la pensée est abstraite ou concrète est décrite dans la théorie du niveau de construction , un cadre pour la prise de décision .

Voir également

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Les références

Bibliographie