Division (mathématiques) - Division (mathematics)

20 / 4 = 5, illustré ici avec des pommes. Ceci est dit verbalement, "Vingt divisé par quatre égale cinq."

La division est l'une des quatre opérations de base de l' arithmétique , la manière dont les nombres sont combinés pour former de nouveaux nombres. Les autres opérations sont l' addition , la soustraction et la multiplication .

À un niveau élémentaire, la division de deux nombres naturels est, entre autres interprétations possibles , le processus de calcul du nombre de fois qu'un nombre est contenu dans un autre. Ce nombre de fois n'est pas toujours un nombre entier (un nombre qui peut être obtenu en utilisant les autres opérations arithmétiques sur les nombres naturels).

La division avec reste ou division euclidienne de deux nombres naturels fournit un quotient entier , qui est le nombre de fois où le deuxième nombre est complètement contenu dans le premier nombre, et un reste , qui est la partie du premier nombre qui reste, lorsqu'il est dans au cours du calcul du quotient, aucun autre morceau complet de la taille du deuxième nombre ne peut être attribué.

Pour que la division donne toujours un nombre plutôt qu'un quotient plus un reste, les nombres naturels doivent être étendus aux nombres rationnels (les nombres qui peuvent être obtenus en utilisant l'arithmétique sur les nombres naturels) ou les nombres réels . Dans ces systèmes de nombres élargis , la division est l'opération inverse de la multiplication, c'est-à-dire que a = c / b signifie a × b = c , tant que b n'est pas nul. Si b = 0 , alors il s'agit d'une division par zéro , qui n'est pas définie.

Les deux formes de division apparaissent dans diverses structures algébriques , différentes manières de définir la structure mathématique. Ceux dans lesquels une division euclidienne (avec reste) est définie sont appelés domaines euclidiens et comprennent des anneaux polynomiaux à un indéterminé (qui définissent la multiplication et l'addition sur des formules à une seule variable). Ceux dans lesquels une division (avec un seul résultat) par tous les éléments non nuls est définie sont appelés champs et anneaux de division . Dans un anneau, les éléments par lesquels la division est toujours possible sont appelés les unités (par exemple, 1 et -1 dans l'anneau des nombres entiers). Une autre généralisation de la division aux structures algébriques est le groupe quotient , dans lequel le résultat de la « division » est un groupe plutôt qu'un nombre.

introduction

La façon la plus simple de visualiser la division est en termes de citation et de partition : du point de vue de la citation, 20 / 5 signifie le nombre de 5 qu'il faut ajouter pour obtenir 20. En termes de partition, 20 / 5 signifie la taille de chacun des 5 parties en lesquelles un ensemble de taille 20 est divisé. Par exemple, 20 pommes se divisent en cinq groupes de quatre pommes, ce qui signifie que vingt divisé par cinq est égal à quatre . Ceci est noté 20 / 5 = 4 , ou 20/5= 4 . Ce qui est divisé s'appelle le dividende , qui est divisé par le diviseur , et le résultat s'appelle le quotient . Dans l'exemple, 20 est le dividende, 5 est le diviseur et 4 est le quotient.

Contrairement aux autres opérations de base, lors de la division des nombres naturels, il y a parfois un reste qui n'entrera pas uniformément dans le dividende ; par exemple, 10/3 laisse un reste de 1, car 10 n'est pas un multiple de 3. Parfois ce reste est ajouté au quotient en tant que partie fractionnaire , donc 10/3 est égal à 3+1/3ou 3.33... , mais dans le contexte de la division entière , où les nombres n'ont pas de partie fractionnaire, le reste est conservé séparément (ou exceptionnellement, rejeté ou arrondi ). Lorsque le reste est conservé sous forme de fraction, cela conduit à un nombre rationnel . L'ensemble de tous les nombres rationnels est créé en étendant les entiers avec tous les résultats possibles des divisions d'entiers.

Contrairement à la multiplication et à l'addition, la division n'est pas commutative , ce qui signifie que a / b n'est pas toujours égal à b / a . La division n'est pas non plus, en général, associative , ce qui signifie que lors de la division plusieurs fois, l'ordre de division peut changer le résultat. Par exemple, (20 / 5) / 2 = 2 , mais 20 / (5 / 2) = 8 (où l'utilisation de parenthèses indique que les opérations entre parenthèses sont effectuées avant les opérations hors parenthèses).

La division est traditionnellement considérée comme associative de gauche . Autrement dit, s'il y a plusieurs divisions d'affilée, l'ordre de calcul va de gauche à droite :

La division est distributive à droite sur l'addition et la soustraction, dans le sens où

C'est la même chose pour la multiplication , comme . Cependant, la division n'est pas distributive à gauche , car

Ceci est différent du cas de la multiplication, qui est à la fois distributive à gauche et distributive à droite, et donc distributive .

Notation

Plus et moins. Un obelus utilisé comme variante du signe moins dans un extrait d'un formulaire officiel de déclaration commerciale norvégien appelé «Næringsoppgave 1» pour l'année d'imposition 2010.

La division est souvent représentée en algèbre et en science en plaçant le dividende sur le diviseur avec une ligne horizontale, également appelée barre de fraction , entre eux. Par exemple, " a divisé par b " peut s'écrire :

qui peut également être lu à haute voix comme " diviser a par b " ou " a sur b ". Une façon d'exprimer la division sur une seule ligne consiste à écrire le dividende (ou numérateur), puis une barre oblique , puis le diviseur (ou dénominateur), comme suit :

C'est la manière habituelle de spécifier la division dans la plupart des langages de programmation informatique , car elle peut facilement être saisie sous la forme d'une simple séquence de caractères ASCII . Certains logiciels mathématiques , tels que MATLAB et GNU Octave , permettent d'écrire les opérandes dans l'ordre inverse en utilisant la barre oblique inverse comme opérateur de division :

Une variation typographique à mi-chemin entre ces deux formes utilise un solidus (fraction slash), mais élève le dividende et abaisse le diviseur :

N'importe laquelle de ces formes peut être utilisée pour afficher une fraction . Une fraction est une expression de division où le dividende et le diviseur sont des entiers (généralement appelés numérateur et dénominateur ), et il n'y a aucune implication que la division doit être évaluée davantage. Une deuxième façon de montrer la division consiste à utiliser le signe de division (÷, également connu sous le nom d' obelus bien que le terme ait des significations supplémentaires), courant en arithmétique, de cette manière :

Cette forme est peu fréquente sauf en arithmétique élémentaire. ISO 80000-2 -9.6 stipule qu'il ne doit pas être utilisé. Ce signe de division est également utilisé seul pour représenter l'opération de division elle-même, comme par exemple une étiquette sur une touche d'une calculatrice . L'obélus a été introduit par le mathématicien suisse Johann Rahn en 1659 dans Teutsche Algebra . Le symbole ÷ est utilisé pour indiquer la soustraction dans certains pays européens, son utilisation peut donc être mal comprise.

Dans certains pays non anglophones , les deux points sont utilisés pour désigner la division :

Cette notation a été introduite par Gottfried Wilhelm Leibniz dans ses Acta eruditorum de 1684 . Leibniz n'aimait pas avoir des symboles séparés pour le rapport et la division. Cependant, dans l'usage anglais, les deux points se limitent à exprimer le concept connexe de ratios .

Depuis le 19ème siècle, les manuels américains ont utilisé ou pour désigner a divisé par b , en particulier lorsqu'il s'agit de la division longue . L'histoire de cette notation n'est pas tout à fait claire car elle a évolué au fil du temps.

L'informatique

Méthodes manuelles

La division est souvent introduite par la notion de "partage" d'un ensemble d'objets, par exemple un tas de sucettes, en un nombre de portions égales. Répartir les objets plusieurs à la fois dans chaque cycle de partage à chaque portion conduit à l'idée de « chunking » – une forme de division où l'on soustrait à plusieurs reprises des multiples du diviseur du dividende lui-même.

En permettant de soustraire plus de multiples que ce que le reste partiel permet à un stade donné, des méthodes plus flexibles, telles que la variante bidirectionnelle du découpage, peuvent également être développées.

Plus systématiquement et plus efficacement, deux nombres entiers peuvent être divisés avec un crayon et du papier avec la méthode de la division courte , si le diviseur est petit, ou de la division longue , si le diviseur est plus grand. Si le dividende a une partie fractionnaire (exprimée sous forme de fraction décimale ), on peut continuer la procédure au-delà de la place des unités aussi loin que souhaité. Si le diviseur a une partie fractionnaire, on peut reformuler le problème en déplaçant la décimale vers la droite dans les deux nombres jusqu'à ce que le diviseur n'ait plus de fraction, ce qui peut rendre le problème plus facile à résoudre (par exemple, 10/2,5 = 100/25 = 4 ).

La division peut être calculée avec un boulier .

Les tables de logarithmes peuvent être utilisées pour diviser deux nombres, en soustrayant les logarithmes des deux nombres, puis en recherchant l' antilogarithme du résultat.

La division peut être calculée avec une règle à calcul en alignant le diviseur sur l'échelle C avec le dividende sur l'échelle D. Le quotient se trouve sur l'échelle D où il est aligné avec l'index de gauche sur l'échelle C. L'utilisateur est toutefois responsable du suivi mental de la virgule décimale.

Par ordinateur

Les calculatrices et ordinateurs modernes calculent la division soit par des méthodes similaires à la division longue, soit par des méthodes plus rapides ; voir Algorithme de division .

En arithmétique modulaire (modulo un nombre premier) et pour les nombres réels , les nombres non nuls ont un inverse multiplicatif . Dans ces cas, une division par x peut être calculée comme le produit par l'inverse multiplicatif de x . Cette approche est souvent associée aux méthodes plus rapides de l'arithmétique informatique.

Division dans différents contextes

Division euclidienne

La division euclidienne est la formulation mathématique du résultat du processus habituel de division des nombres entiers. Il affirme que, étant donné deux entiers, a , le dividende , et b , le diviseur , tels que b 0, il existe des entiers uniques q , le quotient , et r , le reste, tels que a = bq + r et 0 ≤ r < | b |, où | b | désigne la valeur absolue de b .

d'entiers

Les entiers ne sont pas fermés par division. À part la division par zéro étant indéfinie, le quotient n'est pas un entier à moins que le dividende soit un multiple entier du diviseur. Par exemple, 26 ne peut pas être divisé par 11 pour donner un nombre entier. Un tel cas utilise l'une des cinq approches suivantes :

  1. Disons que 26 ne peut pas être divisé par 11 ; la division devient une fonction partielle .
  2. Donnez une réponse approximative sous forme de nombre " réel ". C'est l'approche habituellement adoptée en calcul numérique .
  3. Donnez la réponse sous forme de fraction représentant un nombre rationnel , donc le résultat de la division de 26 par 11 est (ou sous forme de nombre mixte , donc ) Habituellement, la fraction résultante doit être simplifiée : le résultat de la division de 52 par 22 est aussi . Cette simplification peut se faire en factorisant le plus grand commun diviseur .
  4. Donnez la réponse sous la forme d'un quotient entier et d'un reste , donc Pour faire la distinction avec le cas précédent, cette division, avec deux entiers comme résultat, est parfois appelée division euclidienne , car elle est à la base de l' algorithme euclidien .
  5. Donnez le quotient entier comme réponse, donc c'est la fonction plancher , aussi parfois appelée division entière à un niveau élémentaire.

La division d'entiers dans un programme informatique nécessite un soin particulier. Certains langages de programmation traitent la division entière comme dans le cas 5 ci-dessus, donc la réponse est un entier. D'autres langages, tels que MATLAB et tous les systèmes de calcul formel renvoient un nombre rationnel comme réponse, comme dans le cas 3 ci-dessus. Ces langages fournissent également des fonctions pour obtenir les résultats des autres cas, soit directement, soit à partir du résultat du cas 3.

Les noms et symboles utilisés pour la division entière incluent div, /, \ et %. Les définitions varient en ce qui concerne la division entière lorsque le dividende ou le diviseur est négatif : l' arrondi peut être vers zéro (appelé division T) ou vers −∞ (division F) ; des styles plus rares peuvent se produire – voir Opération Modulo pour les détails.

Les règles de divisibilité peuvent parfois être utilisées pour déterminer rapidement si un entier se divise exactement en un autre.

Des nombres rationnels

Le résultat de la division de deux nombres rationnels est un autre nombre rationnel lorsque le diviseur n'est pas 0. La division de deux nombres rationnels p / q et r / s peut être calculée comme

Les quatre quantités sont des nombres entiers et seul p peut être égal à 0. Cette définition garantit que la division est l'opération inverse de la multiplication .

De nombres réels

La division de deux nombres réels donne un autre nombre réel (lorsque le diviseur est différent de zéro). Il est défini tel que a / b = c si et seulement si a = cb et b 0.

Des nombres complexes

La division de deux nombres complexes (lorsque le diviseur est différent de zéro) donne un autre nombre complexe, qui se trouve en utilisant le conjugué du dénominateur :

Ce processus de multiplication et de division par est appelé « réalisation » ou (par analogie) rationalisation . Les quatre quantités p , q , r , s sont des nombres réels, et r et s peuvent ne pas être tous les deux nuls.

La division des nombres complexes exprimés sous forme polaire est plus simple que la définition ci-dessus :

Encore une fois, les quatre quantités p , q , r , s sont des nombres réels et r peut ne pas être égal à 0.

Des polynômes

On peut définir l'opération de division des polynômes en une variable sur un champ . Alors, comme dans le cas des entiers, on a un reste. Voir Division euclidienne des polynômes , et, pour le calcul écrit à la main, division longue polynomiale ou division synthétique .

De matrices

On peut définir une opération de division pour les matrices. La façon habituelle de le faire est de définir A / B = AB -1 , où B -1 désigne l' inverse de B , mais il est beaucoup plus courant d'écrire AB -1 explicitement pour éviter toute confusion. Une division par élément peut également être définie en termes de produit Hadamard .

Division gauche et droite

Parce que la multiplication matricielle n'est pas commutative , on peut également définir une division à gauche ou ce qu'on appelle une division par barre oblique inverse comme A \ B = A −1 B . Pour que cela soit bien défini, B -1 n'a pas besoin d'exister, cependant A -1 doit exister. Pour éviter toute confusion, la division telle que définie par A / B = AB -1 est parfois appelée division droite ou division par barre oblique dans ce contexte.

Notez qu'avec la division gauche et droite définie de cette façon, A / ( BC ) n'est en général pas la même chose que ( A / B ) / C , ni ( AB ) \ C la même chose que A \ ( B \ C ) . Cependant, il tient que A / ( BC ) = ( A / C ) / B et ( AB ) \ C = B \ ( A \ C ) .

Pseudo-inverse

Pour éviter des problèmes lorsque A -1 et/ou B -1 n'existent pas, la division peut également être définie comme une multiplication par le pseudoinverse . C'est-à-dire A / B = AB + et A \ B = A + B , où A + et B + désignent les pseudo-inverses de A et B .

Algèbre abstraite

En algèbre abstraite , étant donné un magma avec une opération binaire (qui pourrait nominalement être appelée multiplication), la division à gauche de b par a (écrit a \ b ) est typiquement définie comme la solution x à l'équation ax = b , si cette existe et est unique. De même, la division droite de b par a (notée b / a ) est la solution y de l'équation ya = b . La division dans ce sens ne nécessite pas que ∗ ait des propriétés particulières (telles que la commutativité, l'associativité ou un élément d'identité).

La "division" au sens de "annulation" peut se faire dans n'importe quel magma par un élément ayant la propriété d'annulation . Les exemples incluent les algèbres matricielles et les algèbres de quaternions . Un quasi-groupe est une structure dans laquelle la division est toujours possible, même sans élément d'identité et donc inverse. Dans un domaine intégral , où tous les éléments n'ont pas besoin d'avoir un inverse, la division par un élément annulation a peut toujours être effectuée sur des éléments de la forme ab ou ca par annulation à gauche ou à droite, respectivement. Si un anneau est fini et que tout élément non nul est annulatif, alors par une application du principe du pigeonnier , tout élément non nul de l'anneau est inversible, et la division par n'importe quel élément non nul est possible. Pour savoir quand les algèbres (au sens technique du terme) ont une opération de division, reportez-vous à la page sur les algèbres de division . En particulier, la périodicité de Bott peut être utilisée pour montrer que toute algèbre de division normée réelle doit être isomorphe aux nombres réels R , aux nombres complexes C , aux quaternions H , ou aux octonions O .

Calcul

La dérivée du quotient de deux fonctions est donnée par la règle du quotient :

Division par zéro

La division d'un nombre par zéro dans la plupart des systèmes mathématiques n'est pas définie, car zéro multiplié par un nombre fini donne toujours un produit de zéro. L'entrée d'une telle expression dans la plupart des calculatrices produit un message d'erreur. Cependant, dans certains mathématiques de niveau supérieur, la division par zéro est possible par l' anneau zéro et les algèbres telles que les roues . Dans ces algèbres, le sens de la division est différent des définitions traditionnelles.

Voir également

Remarques

Les références

Liens externes