Courbe du dragon - Dragon curve

Une courbe dragon est n'importe quel membre d'une famille de courbes fractales auto-similaires , qui peuvent être approximées par des méthodes récursives telles que les systèmes de Lindenmayer . La courbe du dragon est probablement le plus souvent considérée comme la forme générée par le pliage répété d'une bande de papier en deux, bien qu'il existe d'autres courbes appelées courbes de dragon qui sont générées différemment.

Dragon de l'autoroute

Le dragon Heighway (également connu sous le nom de dragon Harter-Heighway ou dragon Jurassic Park ) a été étudié pour la première fois par les physiciens de la NASA John Heighway, Bruce Banks et William Harter. Il a été décrit par Martin Gardner dans sa rubrique Scientific American Mathematical Games en 1967. Beaucoup de ses propriétés ont été publiées pour la première fois par Chandler Davis et Donald Knuth . Il est apparu sur les pages de titre de section du roman de Michael Crichton Jurassic Park .

Construction

Le dragon de l'autoroute peut être construit à partir d'un segment de ligne de base en remplaçant à plusieurs reprises chaque segment par deux segments à angle droit et avec une rotation de 45° alternativement à droite et à gauche :

Le dragon de l'autoroute est également l'ensemble limite du système de fonctions itéré suivant dans le plan complexe :

${\displaystyle f_{1}(z)={\frac {(1+i)z}{2}}}$

${\displaystyle f_{2}(z)=1-{\frac {(1-i)z}{2}}}$

avec l'ensemble initial de points . ${\displaystyle S_{0}=\{0,1\}}$

En utilisant des paires de nombres réels à la place, c'est la même chose que les deux fonctions consistant en

${\displaystyle f_{1}(x,y)={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}\cos 45^{\circ }&-\sin 45^{\circ }\\\sin 45^{\circ }&\cos 45^{\circ }\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle f_{2}(x,y)={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}\cos 135^{\circ }&-\sin 135^{\circ }\\\sin 135^{\circ }&\cos 135^{\circ }\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}1 \\0\end{pmatrix}}}$

[Dé]plier le dragon

La courbe du dragon de l'autoroute peut être construite en pliant une bande de papier , c'est ainsi qu'elle a été découverte à l'origine. Prenez une bande de papier et pliez-la en deux vers la droite. Pliez-le en deux à nouveau vers la droite. Si la bande était ouverte maintenant, dépliant chaque pli pour devenir un virage à 90 degrés, la séquence de virage serait RRL, c'est-à-dire la deuxième itération du dragon de Heighway. Pliez à nouveau la bande en deux vers la droite, et la séquence de virage de la bande dépliée est maintenant RRLRRLL - la troisième itération du dragon de l'autoroute. Continuez à plier la bande en deux vers la droite pour créer d'autres itérations du dragon de Heighway (en pratique, la bande devient trop épaisse pour se plier brusquement après quatre ou cinq itérations).

Les schémas de pliage de cette séquence de bandes de papier, en tant que séquences de plis droit (R) et gauche (L), sont :

• 1ère itération : R
• 2ème itération : R R L
• 3ème itération : R R L R R L L
• 4ème itération : R R L R R L L R R R L L R L L .

Chaque itération peut être trouvée en copiant l'itération précédente, puis un R, puis une deuxième copie de l'itération précédente dans l'ordre inverse avec les lettres L et R interverties.

Propriétés

• De nombreuses auto-similitudes peuvent être observées dans la courbe du dragon de l'autoroute. La plus évidente est la répétition du même motif incliné de 45° et avec un rapport de réduction de . Sur la base de ces auto-similitudes, nombre de ses longueurs sont de simples nombres rationnels.${\displaystyle \textstyle {\sqrt {2}}}$

• La courbe du dragon peut carreler l'avion. Un pavage possible remplace chaque bord d'un pavage carré par une courbe de dragon, en utilisant la définition récursive du dragon à partir d'un segment de ligne. La direction initiale pour étendre chaque segment peut être déterminée à partir d'une coloration en damier d'un carrelage carré, en étendant les segments verticaux en carreaux noirs et en carreaux blancs, et en étendant les segments horizontaux en carreaux blancs et en carreaux noirs.
• En tant que courbe de remplissage d'espace non auto-croisée , la courbe de dragon a une dimension fractale exactement 2. Pour une courbe de dragon avec une longueur de segment initiale 1, son aire est de 1/2, comme on peut le voir à partir de ses pavages du plan.
• La limite de l'ensemble couvert par la courbe du dragon a une longueur infinie, avec une dimension fractale
  $${\displaystyle 2\log _{2}\lambda \approx 1.523627086202492,}$$

  
  où
  $${\displaystyle \lambda ={\frac {1+(28-3{\sqrt {87}})^{1/3}+(28+3{\sqrt {87}})^{1/3}} {3}}\environ 1.69562076956}$$

  
  est la vraie solution de l'équation ${\displaystyle \lambda ^{3}-\lambda ^{2}-2=0.}$

Dragon Jumeau

Le twindragon (également connu sous le nom de dragon Davis-Knuth ) peut être construit en plaçant deux courbes de dragon de Heighway dos à dos. C'est aussi l'ensemble limite du système de fonction itéré suivant :

${\displaystyle f_{1}(z)={\frac {(1+i)z}{2}}}$

${\displaystyle f_{2}(z)=1-{\frac {(1+i)z}{2}}}$

où la forme initiale est définie par l'ensemble suivant . ${\displaystyle S_{0}=\{0,1,1-i\}}$

Il peut également être écrit sous la forme d'un système Lindenmayer - il suffit d'ajouter une autre section dans la chaîne initiale :

• angle 90°
• chaîne initiale FX+FX+
• règles de réécriture de chaîne
  • X ↦ X + YF
  • Y ↦ FX − Y .

Terdragon

Le terdragon peut s'écrire comme un système de Lindenmayer :

• angle 120°
• chaîne initiale F
• règles de réécriture de chaîne
  • F ↦ F + F-F .

C'est l'ensemble limite du système de fonctions itéré suivant :

${\displaystyle f_{1}(z)=\lambda z}$

${\displaystyle f_{2}(z)={\frac {i}{\sqrt {3}}}z+\lambda }$

${\displaystyle f_{3}(z)=\lambda z+\lambda ^{*}}$

${\displaystyle {\mbox{where }}\lambda ={\frac {1}{2}}-{\frac {i}{2{\sqrt {3}}}}{\text{ et }}\lambda ^{*}={\frac {1}{2}}+{\frac {i}{2{\sqrt {3}}}}.}$

Le dragon de Lévy

La courbe de Lévy C est parfois connue sous le nom de dragon de Lévy .

Courbe de Lévy C.

Variantes

Il est possible de changer l'angle de virage de 90° à d'autres angles. Le passage à 120° donne une structure de triangles, tandis que 60° donne la courbe suivante :

Une courbe dragon discrète peut être convertie en un polyomino dragon comme indiqué. Comme les courbes de dragon discrètes, les polyominos de dragon approchent la courbe de dragon fractale comme une limite.

Occurrences de la courbe du dragon dans les ensembles de solutions

Après avoir obtenu l'ensemble des solutions d'une équation différentielle linéaire, toute combinaison linéaire des solutions obéira également , en raison du principe de superposition , à l'équation d'origine. En d'autres termes, de nouvelles solutions sont obtenues en appliquant une fonction à l'ensemble des solutions existantes. Ceci est similaire à la façon dont un système de fonctions itéré produit de nouveaux points dans un ensemble, bien que tous les IFS ne soient pas des fonctions linéaires. Dans une veine conceptuellement similaire, un ensemble de polynômes de Littlewood peut être obtenu par de telles applications itérées d'un ensemble de fonctions.

Un polynôme de Littlewood est un polynôme : où tout . ${\displaystyle p(x)=\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}\,}$${\displaystyle a_{i}=\pm 1}$

Pour certains, nous définissons les fonctions suivantes : ${\style d'affichage |w|<1}$

${\style d'affichage f_{+}(z)=1+wz}$

${\style d'affichage f_{-}(z)=1-wz}$

En partant de z=0, nous pouvons générer tous les polynômes de Littlewood de degré d en utilisant ces fonctions de manière itérative d+1 fois. Par exemple:${\displaystyle f_{+}(f_{-}(f_{-}(0)))=1+(1-w)w=1+1w-1w^{2}}$

On peut voir que pour , la paire de fonctions ci-dessus est équivalente à la formulation IFS du dragon de Heighway. C'est-à-dire que le dragon de Heighway, itéré jusqu'à une certaine itération, décrit l'ensemble de tous les polynômes de Littlewood jusqu'à un certain degré, évalué au point . En effet, lorsque l'on trace un nombre suffisamment élevé de racines des polynômes de Littlewood, des structures similaires à la courbe du dragon apparaissent aux points proches de ces coordonnées. ${\style d'affichage w=(1+i)/2}$${\style d'affichage w=(1+i)/2}$

Voir également

• Liste des fractales par dimension de Hausdorff
• Système de base complexe

Les références

Liens externes

• Weisstein, Eric W. , "Dragon Curve" , MathWorld
• Knuth sur la courbe du dragon