e (constante mathématique) - e (mathematical constant)

Graphique de l'équation y = 1/ x . Ici, e est le nombre unique supérieur à 1 qui rend la zone ombrée égale à 1.

Le nombre e , également connu sous le nom de nombre d'Euler , est une constante mathématique approximativement égale à 2,71828, et peut être caractérisé de plusieurs manières. C'est la base du logarithme népérien . C'est la limite de (1 + 1/ n ) n lorsque n tend vers l'infini, une expression qui apparaît dans l'étude des intérêts composés . Il peut également être calculé comme la somme de la série infinie

C'est aussi l'unique nombre positif a tel que le graphique de la fonction y = a x a une pente de 1 à x = 0 .

La fonction exponentielle (naturelle) f ( x ) = e x est l'unique fonction f qui est égale à sa propre dérivée et satisfait l'équation f (0) = 1 ; par conséquent, on peut également définir e comme f (1) . Le logarithme népérien, ou logarithme en base e , est la fonction inverse de la fonction exponentielle naturelle. Le logarithme népérien d'un nombre k > 1 peut être défini directement comme l' aire sous la courbe y = 1/ x entre x = 1 et x = k , auquel cas e est la valeur de k pour laquelle cette aire est égale à un (voir image). Il existe diverses autres caractérisations .

e est parfois appelé nombre d'Euler , d'après le mathématicien suisse Leonhard Euler (à ne pas confondre avec γ , la constante d'Euler-Mascheroni , parfois appelée simplement la constante d'Euler ), ou la constante de Napier . Cependant, le choix d'Euler du symbole e aurait été retenu en son honneur. La constante a été découverte par le mathématicien suisse Jacob Bernoulli alors qu'il étudiait les intérêts composés.

Le nombre e est d'une importance éminente en mathématiques, aux côtés de 0, 1, π et i . Tous les cinq apparaissent dans une formulation de l'identité d' Euler et jouent des rôles importants et récurrents dans les mathématiques. Comme la constante π , e est irrationnelle (c'est-à-dire qu'elle ne peut pas être représentée comme un rapport d'entiers) et transcendantale (c'est-à-dire qu'elle n'est la racine d'aucun polynôme non nul avec des coefficients rationnels). A 50 décimales, la valeur de e est :

2,71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249 77572 47093 69995 ... (séquence A001113 dans le OEIS ).

Histoire

Les premières références à la constante ont été publiées en 1618 dans le tableau d'un appendice d'un ouvrage sur les logarithmes de John Napier . Cependant, cela ne contenait pas la constante elle-même, mais simplement une liste de logarithmes calculés à partir de la constante. On suppose que le tableau a été écrit par William Oughtred .

La découverte de la constante elle-même est attribuée à Jacob Bernoulli en 1683, qui tenta de trouver la valeur de l'expression suivante (qui est égale à e ) :

La première utilisation connue de la constante, représentée par la lettre b , était dans la correspondance de Gottfried Leibniz à Christiaan Huygens en 1690 et 1691. Leonhard Euler a introduit la lettre e comme base pour les logarithmes naturels, écrivant dans une lettre à Christian Goldbach le 25 Novembre 1731. Euler a commencé à utiliser la lettre e pour la constante en 1727 ou 1728, dans un article inédit sur les forces explosives dans les canons, tandis que la première apparition de e dans une publication était dans Euler's Mechanica (1736). Bien que certains chercheurs aient utilisé la lettre c au cours des années suivantes, la lettre e était plus courante et est finalement devenue la norme.

En mathématiques, la norme est de composer la constante comme " e ", en italique; la norme ISO 80000-2 :2019 recommande de composer des constantes dans un style droit, mais cela n'a pas été validé par la communauté scientifique.

Applications

Intérêts composés

L'effet de gagner 20 % d'intérêt annuel sur un investissement initial de 1 000 $ à diverses fréquences de composition

Jacob Bernoulli a découvert cette constante en 1683, alors qu'il étudiait une question sur les intérêts composés :

Un compte commence avec 1,00 $ et paie 100 % d'intérêts par an. Si les intérêts sont crédités une fois, à la fin de l'année, la valeur du compte à la fin de l'année sera de 2,00 $. Que se passe-t-il si les intérêts sont calculés et crédités plus fréquemment au cours de l'année ?

Si l'intérêt est crédité deux fois dans l'année, le taux d'intérêt pour chaque 6 mois sera de 50 %, donc le 1 $ initial est multiplié par 1,5 deux fois, ce qui donne 1,00 $ × 1,5 2 = 2,25 $ à la fin de l'année. La composition des rendements trimestriels 1,00 $ × 1,25 4 = 2,4414 $... , et la composition des rendements mensuels 1,00 $ × (1 + 1/12) 12 = 2,613035 $… S'il y a n intervalles de composition, l'intérêt pour chaque intervalle sera de 100 %/ n et le la valeur à la fin de l'année sera de 1,00 $ ×  (1 + 1/ n ) n .

Bernoulli a remarqué que cette séquence s'approche d'une limite (la force d'intérêt ) avec des n plus grands et, par conséquent, des intervalles de composition plus petits. La composition hebdomadaire ( n = 52 ) donne 2,692597 $..., tandis que la composition quotidienne ( n = 365 ) donne 2,714567 $... (environ deux cents de plus). La limite à mesure que n grandit est le nombre connu sous le nom de e . C'est-à-dire qu'avec la composition continue , la valeur du compte atteindra 2,718281828 $...

Plus généralement, un compte qui commence à 1 $ et offre un taux d'intérêt annuel de R produira, après t ans, e Rt dollars avec une composition continue.

(Notez ici que R est l'équivalent décimal du taux d'intérêt exprimé en pourcentage , donc pour 5% d'intérêt, R = 5/100 = 0,05 .)

Essais Bernoulli

Graphiques de probabilité P de ne pas observer d'événements indépendants chacun de probabilité 1/ n après n essais de Bernoulli, et 1 − P   vs n  ; on peut observer que lorsque n augmente, la probabilité qu'un événement 1/ n -chance n'apparaisse jamais après n essais converge rapidement vers 1/ e .

Le nombre e lui-même a également des applications en théorie des probabilités , d'une manière qui n'est évidemment pas liée à une croissance exponentielle. Supposons qu'un joueur joue à une machine à sous qui paie avec une probabilité de un sur n et la joue n fois. Alors, pour un grand n , la probabilité que le joueur perde chaque pari est d'environ 1/ e . Pour n = 20 , c'est déjà environ 1/2,79.

Il s'agit d'un exemple de procès Bernoulli . Chaque fois que le joueur joue aux machines à sous, il a une chance sur n de gagner. Jouer n fois est modélisé par la distribution binomiale , qui est étroitement liée au théorème binomial et au triangle de Pascal . La probabilité de gagner k fois sur n essais est :

En particulier, la probabilité de gagner zéro fois ( k = 0 ) est

La limite de l'expression ci-dessus, lorsque n tend vers l'infini, est précisément 1/ e .

Distribution normale standard

La distribution normale avec une moyenne nulle et un écart type unitaire est connue sous le nom de distribution normale standard , donnée par la fonction de densité de probabilité

La contrainte de variance unitaire (et donc aussi d'écart type unitaire) se traduit par la 1/2dans l'exposant, et la contrainte d'aire totale unitaire sous la courbe donne le facteur . [preuve] Cette fonction est symétrique autour de x = 0 , où elle atteint sa valeur maximale , et a des points d'inflexion à x = ±1 .

Dérangements

Une autre application de e , également découverte en partie par Jacob Bernoulli avec Pierre Remond de Montmort , est dans le problème des dérangements , également connu sous le nom de problème du chapeau : n invités sont invités à une fête, et à la porte, les invités tous vérifiez leurs chapeaux avec le majordome, qui à son tour place les chapeaux dans n boîtes, chacune étiquetée avec le nom d'un invité. Mais le majordome n'a pas demandé l'identité des invités, et il met donc les chapeaux dans des boîtes choisies au hasard. Le problème de de Montmort est de trouver la probabilité qu'aucun des chapeaux ne soit mis dans la bonne case. Cette probabilité, notée , est :

Comme le nombre n de clients tend vers l' infini, p n approche 1 / e . De plus, le nombre de façons dont les chapeaux peuvent être placés dans les cases afin qu'aucun des chapeaux ne soit dans la bonne case est n !/ e ( arrondi à l'entier le plus proche pour chaque n positif  ).

Problèmes de planification optimale

Un bâton de longueur L est divisé en n parties égales. La valeur de n qui maximise le produit des longueurs est alors soit

ou

Le résultat indiqué suit car la valeur maximale de se produit à ( problème de Steiner , discuté ci - dessous ). La quantité est une mesure d' informations glanées à partir d'un événement se produisant avec probabilité , de sorte qu'essentiellement la même division optimale apparaît dans les problèmes de planification optimale comme le problème de la secrétaire .

Asymptotique

Le nombre e apparaît naturellement en relation avec de nombreux problèmes impliquant l' asymptotique . Un exemple est la formule de Stirling pour les asymptote de la fonction factoriel , dans lequel les deux nombres e et tc apparaissent:

En conséquence,

En calcul

Les graphiques des fonctions xa x sont représentés pour a = 2 (en pointillé), a = e (en bleu) et a = 4 (en pointillés). Ils passent tous par le point (0,1) , mais la ligne rouge (qui a la pente 1 ) n'est tangente qu'à e x là.
La valeur de la fonction logarithme naturel pour l'argument e , c'est-à-dire ln e , est égale à 1.

La principale motivation pour introduire le nombre e , en particulier en calcul , est d'effectuer des calculs différentiel et intégral avec des fonctions exponentielles et des logarithmes . Une fonction exponentielle générale y = a x a une dérivée, donnée par une limite :

La limite entre parenthèses à droite est indépendante de la variable x . Sa valeur s'avère être le logarithme de a en base e . Ainsi, lorsque la valeur de a est fixée à e , cette limite est égale à 1 , et donc on arrive à l'identité simple suivante :

Par conséquent, la fonction exponentielle de base e est particulièrement adaptée au calcul. Le choix de e (par opposition à un autre nombre comme base de la fonction exponentielle) rend les calculs impliquant les dérivées beaucoup plus simples.

Une autre motivation vient de considérer la dérivée de la base - un logarithme (c'est-à-dire, log a x ), pour  x > 0 :

où la substitution u = h / x a été faite. Le logarithme en base a de e est 1, si a est égal à e . Donc symboliquement,

Le logarithme avec cette base spéciale s'appelle le logarithme népérien et est noté ln ; il se comporte bien en différenciation puisqu'il n'y a pas de limite indéterminée pour effectuer les calculs.

Ainsi, il existe deux manières de sélectionner de tels nombres spéciaux a . Une façon consiste à définir la dérivée de la fonction exponentielle a x égale à a x et à résoudre a . L'autre méthode consiste à définir la dérivée de la base a logarithme sur 1/ x et à résoudre a . Dans chaque cas, on arrive à un choix commode de base pour faire le calcul. Il s'avère que ces deux solutions pour a sont en fait les mêmes : le nombre e .

Caractérisations alternatives

Les cinq régions colorées sont de surface égale et définissent des unités d' angle hyperbolique le long de l' hyperbole

D'autres caractérisations de e sont également possibles : l'une est comme la limite d'une suite , une autre comme la somme d'une série infinie, et d'autres encore reposent sur le calcul intégral . Jusqu'à présent, les deux propriétés (équivalentes) suivantes ont été introduites :

  1. Le nombre e est l'unique nombre réel positif tel que .
  2. Le nombre e est l'unique nombre réel positif tel que .

Les quatre caractérisations suivantes peuvent être prouvées équivalentes :

  1. Le nombre e est la limite

    De la même manière:

  2. Le nombre e est la somme de la série infinie
    n ! est la factorielle de n .
  3. Le nombre e est l'unique nombre réel positif tel que
  4. Si f ( t ) est une fonction exponentielle , alors la quantité est une constante, parfois appelée constante de temps (c'est l'inverse de la constante de croissance exponentielle ou constante de décroissance ). La constante de temps est le temps qu'il faut à la fonction exponentielle pour augmenter d'un facteur e : .

Propriétés

Calcul

Comme dans la motivation, la fonction exponentielle e x est importante en partie parce que c'est l'unique fonction non triviale qui est sa propre dérivée (jusqu'à multiplication par une constante) :

et donc aussi sa propre primitive :

Inégalités

Les fonctions exponentielles y = 2 x et y = 4 x coupent le graphique de y = x + 1 , respectivement, à x = 1 et x = -1/2 . Le nombre e est l'unique base telle que y = e x ne se coupe qu'en x = 0 . On peut en déduire que e est compris entre 2 et 4.

Le nombre e est le nombre réel unique tel que

pour tout x positif .

On a aussi l'inégalité

pour tout réel x , avec égalité si et seulement si x = 0 . De plus, e est l'unique base de l'exponentielle pour laquelle l'inégalité a xx + 1 est vraie pour tout x . C'est un cas limite de l'inégalité de Bernoulli .

Fonctions de type exponentiel

Le maximum global de xx se produit à x = e .

Le problème de Steiner demande de trouver le maximum global pour la fonction

Ce maximum se produit précisément à x = e .

La valeur de ce maximum est de 1,4446 6786 1009 7661 3365... (précision à 20 décimales).

Pour preuve, l'inégalité , d'en haut, évaluée à et en simplifiant donne . Donc pour tout x positif .

De même, x = 1/ e est l'endroit où le minimum global se produit pour la fonction

défini pour x positif . Plus généralement, pour la fonction

le maximum global pour x positif se produit à x = 1/ e pour tout n < 0 ; et le minimum global se produit à x = e −1/ n pour tout n > 0 .

La tétration infinie

ou

converge si et seulement si e - exe 1 / e (soit environ entre 0,0660 et 1,4447), en raison d'un théorème de Leonhard Euler .

La théorie du nombre

Le nombre réel e est irrationnel . Euler l'a prouvé en montrant que son développement en fraction continue simple est infini. (Voir aussi la preuve de Fourier que e est irrationnel .)

En outre, par le théorème de Lindemann-Weierstrass , e est transcendantal , ce qui signifie qu'il n'est pas une solution d'une équation polynomiale non constante avec des coefficients rationnels. C'était le premier nombre à être prouvé transcendantal sans avoir été spécifiquement construit à cet effet (comparer avec le nombre de Liouville ) ; la preuve en fut donnée par Charles Hermite en 1873.

Il est conjecturé que e est normal , ce qui signifie que lorsque e est exprimé dans n'importe quelle base, les chiffres possibles dans cette base sont uniformément distribués (se produisent avec une probabilité égale dans n'importe quelle séquence de longueur donnée).

Nombres complexes

La fonction exponentielle e x peut s'écrire comme une série de Taylor

Parce que cette série est convergente pour chaque valeur complexe de x , elle est couramment utilisée pour étendre la définition de e x aux nombres complexes. Ceci, avec la série de Taylor pour sin et cos x , permet de dériver la formule d'Euler :

ce qui est valable pour tout complexe x . Le cas particulier avec x = π est l'identité d'Euler :

d'où il suit que, dans la branche principale du logarithme,

De plus, en utilisant les lois de l'exponentiation,

qui est la formule de de Moivre .

L'expression

est parfois appelé cis( x ) .

Les expressions de sin x et cos x en fonction de la fonction exponentielle peuvent être déduites :

Équations différentielles

La famille des fonctions

C est un nombre réel, est la solution de l' équation différentielle

Représentations

Le nombre e peut être représenté de diverses manières : comme une série infinie , un produit infini , une fraction continue ou une limite d'une séquence . Deux de ces représentations, souvent utilisées dans les cours d'introduction au calcul , sont la limite

ci-dessus, et la série

obtenu en évaluant à x = 1 la représentation en séries de puissance ci-dessus de e x .

La fraction continue est moins courante

qui a écrit ressemble

Cette fraction continue pour e converge trois fois plus vite :

De nombreuses autres séries, séquences, fractions continues et représentations de produits infinis de e ont été prouvées.

Représentations stochastiques

En plus des expressions analytiques exactes pour la représentation de e , il existe des techniques stochastiques pour estimer e . Une telle approche commence par une séquence infinie de variables aléatoires indépendantes X 1 , X 2 ..., tirées de la distribution uniforme sur [0, 1]. Soit V le plus petit nombre n tel que la somme des n premières observations dépasse 1 :

Alors la valeur attendue de V est e : E( V ) = e .

Chiffres connus

Le nombre de chiffres connus de e a considérablement augmenté au cours des dernières décennies. Cela est dû à la fois aux performances accrues des ordinateurs et aux améliorations algorithmiques.

Nombre de chiffres décimaux connus de e
Date Chiffres décimaux Calcul effectué par
1690 1 Jacob Bernoulli
1714 13 Roger Côtés
1748 23 Léonhard Euler
1853 137 William Shanks
1871 205 William Shanks
1884 346 J. Marcus Boorman
1949 2.010 John von Neumann (sur l' ENIAC )
1961 100 265 Daniel Shanks et John Wrench
1978 116 000 Steve Wozniak sur l' Apple II

Depuis environ 2010, la prolifération des ordinateurs de bureau modernes à haute vitesse a permis à la plupart des amateurs de calculer des milliards de chiffres de e dans des délais acceptables. Il a actuellement été calculé à 31 415 926 535 897 chiffres.

Dans la culture informatique

Lors de l'émergence de la culture Internet , les individus et les organisations ont parfois rendu hommage au nombre e .

Dans un premier exemple, l' informaticien Donald Knuth a laissé les numéros de version de son programme Metafont approcher e . Les versions sont 2, 2.7, 2.71, 2.718, etc.

Dans un autre cas, le dépôt de l' introduction en bourse de Google en 2004, plutôt qu'un montant d'argent rond typique, la société a annoncé son intention de lever 2 718 281 828 USD , soit un milliard de dollars arrondi au dollar le plus proche.

Google était également responsable d'un panneau d'affichage qui est apparu au cœur de la Silicon Valley , et plus tard à Cambridge, Massachusetts ; Seattle, Washington ; et Austin, Texas . Il disait "{premier nombre premier à 10 chiffres trouvé dans les chiffres consécutifs de e }.com". Le premier nombre premier à 10 chiffres de e est 7427466391, qui commence au 99e chiffre. La résolution de ce problème et la visite du site Web annoncé (aujourd'hui disparu) ont conduit à un problème encore plus difficile à résoudre, qui consistait à trouver le cinquième terme dans la séquence 7182818284, 8182845904, 8747135266, 7427466391. Il s'est avéré que la séquence se composait de 10- nombres de chiffres trouvés dans des chiffres consécutifs de e dont les chiffres sont additionnés à 49. Le cinquième terme de la séquence est 5966290435, qui commence au 127e chiffre. La résolution de ce deuxième problème a finalement conduit à une page Web Google Labs où le visiteur était invité à soumettre un curriculum vitae.

Remarques

Lectures complémentaires

Liens externes