Fraction égyptienne - Egyptian fraction

Une fraction égyptienne est une somme finie de fractions unitaires distinctes , telles que

${\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{16}}.}$

Autrement dit, chaque fraction de l'expression a un numérateur égal à 1 et un dénominateur qui est un entier positif , et tous les dénominateurs diffèrent les uns des autres. La valeur d'une expression de ce type est un nombre rationnel positif une/b; par exemple la fraction égyptienne ci-dessus s'élève à43/48. Tout nombre rationnel positif peut être représenté par une fraction égyptienne. Les sommes de ce type et les sommes similaires comprenant également2/3 et 3/4comme summands , ont été utilisés comme une notation sérieuse pour les nombres rationnels par les anciens Égyptiens, et ont continué à être utilisés par d'autres civilisations à l'époque médiévale. Dans la notation mathématique moderne, les fractions égyptiennes ont été remplacées par des fractions vulgaires et la notation décimale . Cependant, les fractions égyptiennes continuent d'être un objet d'étude dans la théorie moderne des nombres et les mathématiques récréatives , ainsi que dans les études historiques modernes des mathématiques anciennes .

Applications

Au-delà de leur utilisation historique, les fractions égyptiennes présentent des avantages pratiques par rapport aux autres représentations des nombres fractionnaires. Par exemple, les fractions égyptiennes peuvent aider à diviser la nourriture ou d'autres objets en parts égales. Par exemple, si l'on veut répartir 5 pizzas également entre 8 convives, la fraction égyptienne

${\displaystyle {\frac {5}{8}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{8}}}$

signifie que chaque convive reçoit une demi-pizza plus un autre huitième de pizza, par exemple en divisant 4 pizzas en 8 moitiés et la pizza restante en 8 huitièmes.

De même, bien que l'on puisse diviser 13 pizzas entre 12 convives en donnant à chaque convive une pizza et en divisant la pizza restante en 12 parties (peut-être en la détruisant), on pourrait noter que

${\displaystyle {\frac {13}{12}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}}$

et divisez 6 pizzas en moitiés, 4 en tiers et les 3 autres en quartiers, puis donnez à chaque convive une moitié, un tiers et un quart.

Les fractions égyptiennes peuvent apporter une solution aux énigmes de la combustion des cordes , dans lesquelles une durée donnée doit être mesurée en enflammant des cordes non uniformes qui brûlent après un temps unitaire. Toute fraction rationnelle d'une unité de temps peut être mesurée en développant la fraction en une somme de fractions unitaires, puis, pour chaque fraction unitaire , en brûlant une corde de manière à ce qu'elle ait toujours simultanément des points allumés où elle brûle. Pour cette application, il n'est pas nécessaire que les fractions unitaires soient distinctes les unes des autres. Cependant, cette solution peut nécessiter un nombre infini d'étapes de rallumage. ${\style d'affichage 1/x}$${\style d'affichage x}$

Histoire ancienne

La notation des fractions égyptiennes a été développée au Moyen Empire d'Égypte . Cinq premiers textes dans lesquels apparaissent des fractions égyptiennes étaient le rouleau de cuir mathématique égyptien , le papyrus mathématique de Moscou , le papyrus Reisner , le papyrus Kahun et la tablette en bois d'Akhmim . Un texte ultérieur, le Rhind Mathematical Papyrus , a introduit des méthodes améliorées d'écriture des fractions égyptiennes. Le papyrus de Rhind a été écrit par Ahmes et date de la Seconde Période Intermédiaire ; il comprend un tableau des développements de fractions égyptiennes pour les nombres rationnels2/m, ainsi que 84 problèmes de mots . Les solutions à chaque problème ont été écrites en sténographie, les réponses finales des 84 problèmes étant exprimées en notation de fraction égyptienne.2/mdes tableaux similaires à celui du papyrus Rhind apparaissent également sur certains des autres textes. Cependant, comme le montre le papyrus Kahun , les fractions vulgaires étaient également utilisées par les scribes dans leurs calculs.

Notation

Pour écrire les fractions unitaires utilisées dans leur notation de fraction égyptienne, en écriture hiéroglyphique, les Égyptiens ont placé le hiéroglyphe

( euh , "[un] parmi" ou éventuellement re , bouche) au-dessus d'un nombre pour représenter l' inverse de ce nombre. De même, en écriture hiératique, ils ont tracé une ligne sur la lettre représentant le nombre. Par exemple:

${\displaystyle ={\frac {1}{3}}}$

${\displaystyle ={\frac {1}{10}}}$

Les Égyptiens avaient des symboles spéciaux pour 1/2, 2/3, et 3/4 qui ont été utilisés pour réduire la taille des nombres supérieurs à 1/2lorsque ces nombres ont été convertis en une série de fractions égyptiennes. Le nombre restant après soustraction d'une de ces fractions spéciales a été écrit comme une somme de fractions unitaires distinctes selon la notation de fraction égyptienne habituelle.

${\displaystyle ={\frac {1}{2}}}$

${\displaystyle ={\frac {2}{3}}}$

${\displaystyle ={\frac {3}{4}}}$

Les Égyptiens ont également utilisé une notation alternative modifiée de l'Ancien Empire pour désigner un ensemble spécial de fractions de la forme 1/2 ^kilos(pour k = 1, 2, ..., 6) et des sommes de ces nombres, qui sont nécessairement des nombres rationnels dyadiques . Celles-ci ont été appelées "fractions d'Horus-Eye" d'après une théorie (maintenant discréditée) selon laquelle elles étaient basées sur les parties du symbole de l' œil d'Horus . Ils ont été utilisés au Moyen Empire en conjonction avec la notation ultérieure des fractions égyptiennes pour subdiviser un hekat , la principale mesure de volume égyptienne ancienne pour le grain, le pain et d'autres petites quantités de volume, comme décrit dans la tablette en bois d'Akhmim . S'il restait un reste après avoir exprimé une quantité en fractions Eye of Horus d'un hekat, le reste était écrit en utilisant la notation de fraction égyptienne habituelle en multiples d'un ro , une unité égale à1/320 d'un hekat.

Méthodes de calcul

Les historiens modernes des mathématiques ont étudié le papyrus Rhind et d'autres sources anciennes pour tenter de découvrir les méthodes que les Égyptiens utilisaient pour calculer les fractions égyptiennes. En particulier, l'étude dans ce domaine s'est concentrée sur la compréhension des tables de développements pour les nombres de la forme2/mdans le papyrus Rhind. Bien que ces expansions puissent généralement être décrites comme des identités algébriques, les méthodes utilisées par les Égyptiens peuvent ne pas correspondre directement à ces identités. En outre, les extensions du tableau ne correspondent à aucune identité unique ; au contraire, différentes identités correspondent aux développements pour les dénominateurs premiers et composites , et plus d'une identité correspond aux nombres de chaque type :

• Pour les petits dénominateurs premiers impairs p , le développement

${\displaystyle {\frac {2}{p}}={\frac {1}{\,{\frac {p+1}{2}}\,}}+{\frac {1}{p{\ frac {p+1}{2}}}}}$

a été utilisé.

• Pour les plus grands dénominateurs premiers, un développement de la forme

${\displaystyle {\frac {2}{p}}={\frac {1}{A}}+{\frac {2}A-p}{Ap}}}$

a été utilisé, où A est un nombre avec de nombreux diviseurs (comme un nombre pratique ) entrep/2et p . Le terme restant2 A − p/Ap a été élargi en représentant le nombre 2 A − p/Apcomme somme des diviseurs de A et formant une fractionré/Appour chacun de ces diviseurs d dans cette somme. A titre d'exemple, l'expansion d'Ahmès1/24 + 1/111 + 1/296 pour 2/37correspond à ce modèle avec A = 24 et2 A − p/Ap= 11 = 3 + 8 , comme1/24 + 1/111 + 1/296 = 1/24 + 3/24 × 37 + 8/24 × 37. Il peut y avoir de nombreux développements différents de ce type pour un p donné ; cependant, comme l'a observé KS Brown, l'expansion choisie par les Égyptiens était souvent celle qui faisait que le plus grand dénominateur était aussi petit que possible, parmi toutes les expansions correspondant à ce modèle.

• Pour les dénominateurs composites, factorisés comme p × q , on peut développer2/pq en utilisant l'identité

${\displaystyle {\frac {2}{pq}}={\frac {1}{aq}}+{\frac {1}{apq}}\quad {\text{where }}a={\frac { p+1}{2}}}$

Par exemple, l'application de cette méthode pour pq = 21 donne p = 3 , q = 7 et a =3 + 1/2= 2 , produisant l'expansion2/21 = 1/14 + 1/42du papyrus Rhind. Certains auteurs ont préféré écrire cette expansion sous la forme2/UNE × UNE/pq, où A = p + 1 ; en remplaçant le deuxième terme de ce produit parp/pq + 1/pq, en appliquant la loi de distribution au produit, et en simplifiant, conduit à une expression équivalente au premier développement décrit ici. Cette méthode semble avoir été utilisée pour de nombreux nombres composés dans le papyrus Rhind, mais il existe des exceptions, notamment2/35, 2/91, et 2/95.

• On peut aussi étendre 2/pq comme 1/pr + 1/qr, où r =p + q/2. Par exemple, Ahmes étend2/35 = 1/30 + 1/42, où p = 5 , q = 7 et r =5 + 7/2= 6 . Les scribes ultérieurs ont utilisé une forme plus générale de cette expansion,

${\displaystyle {\frac {n}{pq}}={\frac {1}{pr}}+{\frac {1}{qr}}\quad {\text{where }}r={\frac { p+q}{n}}}$

qui fonctionne lorsque p + q est un multiple de n .

• Pour certains autres dénominateurs composites, l'expansion pour 2/pq a la forme d'une expansion pour 2/qavec chaque dénominateur multiplié par p . Par exemple, 95 = 5 × 19 , et2/19 = 1/12 + 1/76 + 1/114(comme on peut le trouver en utilisant la méthode des nombres premiers avec A = 12 ), donc2/95 = 1/5 × 12 + 1/5 × 76 + 1/5 × 114 = 1/60 + 1/380 + 1/570. Cette expression peut être simplifiée une fois1/380 + 1/570 = 1/228, mais le papyrus Rhind utilise la forme non simplifiée.
• L'expansion finale (principale) du papyrus Rhind, 2/101, ne correspond à aucune de ces formes, mais utilise à la place une extension

${\displaystyle {\frac {2}{p}}={\frac {1}{p}}+{\frac {1}{2p}}+{\frac {1}{3p}}+{\frac {1}{6p}}}$

qui peut être appliqué quelle que soit la valeur de p . C'est-à-dire,2/101 = 1/101 + 1/202 + 1/303 + 1/606. Une extension connexe a également été utilisée dans le rouleau de cuir mathématique égyptien pour plusieurs cas.

Utilisation ultérieure

La notation de fraction égyptienne a continué à être utilisé à l' époque grecque et dans le Moyen - Age, en dépit des plaintes le plus tôt Ptolémée de Almageste de la gaucherie de la notation par rapport aux alternatives telles que la babylonienne notation de base 60 . Des problèmes connexes de décomposition en fractions unitaires ont également été étudiés dans l'Inde du IXe siècle par le mathématicien jaïn Mahāvīra . Un texte important des mathématiques européennes médiévales, le Liber Abaci (1202) de Léonard de Pise (plus communément connu sous le nom de Fibonacci), donne un aperçu de l'utilisation des fractions égyptiennes au Moyen Âge et présente des sujets qui continuent d'être importants dans l'histoire moderne. étude mathématique de ces séries.

Le sujet principal du Liber Abaci est les calculs impliquant la notation des fractions décimales et vulgaires, qui ont finalement remplacé les fractions égyptiennes. Fibonacci lui-même a utilisé une notation complexe pour les fractions impliquant une combinaison d'une notation de base mixte avec des sommes de fractions. De nombreux calculs tout au long du livre de Fibonacci impliquent des nombres représentés sous forme de fractions égyptiennes, et une section de ce livre fournit une liste de méthodes de conversion de fractions vulgaires en fractions égyptiennes. Si le nombre n'est pas déjà une fraction unitaire, la première méthode de cette liste consiste à tenter de diviser le numérateur en une somme de diviseurs du dénominateur ; cela est possible chaque fois que le dénominateur est un nombre pratique , et Liber Abaci inclut des tables de développements de ce type pour les nombres pratiques 6, 8, 12, 20, 24, 60 et 100.

Les méthodes suivantes impliquent des identités algébriques telles que

${\displaystyle {\frac {a}{ab-1}}={\frac {1}{b}}+{\frac {1}{b(ab-1)}}}$

Par exemple, Fibonacci représente la fraction 8/11 en divisant le numérateur en une somme de deux nombres, dont chacun divise un plus le dénominateur : 8/11 = 6/11 + 2/11. Fibonacci applique l'identité algébrique ci-dessus à chacune de ces deux parties, produisant l'expansion8/11 = 1/2 + 1/22 + 1/6 + 1/66. Fibonacci décrit des méthodes similaires pour les dénominateurs qui sont deux ou trois de moins qu'un nombre avec de nombreux facteurs.

Dans le cas rare où ces autres méthodes échouent toutes, Fibonacci suggère un algorithme "gourmand" pour calculer les fractions égyptiennes, dans lequel on choisit à plusieurs reprises la fraction unitaire avec le plus petit dénominateur qui n'est pas plus grand que la fraction restante à développer : c'est-à-dire, en notation plus moderne, on remplace une fractionX/oui par l'agrandissement

${\displaystyle {\frac {x}{y}}={\frac {1}{\,\left\lceil {\frac {y}{x}}\right\rceil \,}}+{\frac { (-y)\,{\bmod {\,}}x}{y\left\lceil {\frac {y}{x}}\right\rceil }}}$

où ⌈ ⌉ représente la fonction plafond ; puisque (− y ) mod x < x , cette méthode donne un développement fini.

Fibonacci suggère de passer à une autre méthode après la première expansion de ce type, mais il donne également des exemples dans lesquels cette expansion avide a été itérée jusqu'à ce qu'une expansion complète de la fraction égyptienne soit construite : 4/13 = 1/4 + 1/18 + 1/468 et 17/29 = 1/2 + 1/12 + 1/348.

Par rapport aux expansions égyptiennes antiques ou à des méthodes plus modernes, cette méthode peut produire des expansions assez longues, avec de grands dénominateurs, et Fibonacci lui-même a noté la maladresse des expansions produites par cette méthode. Par exemple, la méthode gloutonne s'étend

${\displaystyle {\frac {5}{121}}={\frac {1}{25}}+{\frac {1}{757}}+{\frac {1}{763\,309}}+ {\frac {1}{873\,960\,180\,913}}+{\frac {1}{1\,527\,612\,795\,642\,093\,418\,846\ ,225}}}$

tandis que d'autres méthodes conduisent à une expansion plus courte

${\displaystyle {\frac {5}{121}}={\frac {1}{33}}+{\frac {1}{121}}+{\frac {1}{363}}}$

La séquence de Sylvester 2, 3, 7, 43, 1807, ... peut être considérée comme générée par un développement infini glouton de ce type pour le nombre 1, où à chaque étape on choisit le dénominateur ⌊oui/X⌋ + 1 au lieu de ⌈oui/X⌉ , et parfois l'algorithme glouton de Fibonacci est attribué à James Joseph Sylvester .

Après sa description de l'algorithme glouton, Fibonacci suggère encore une autre méthode, en développant une fraction une/ben recherchant un nombre c ayant plusieurs diviseurs, avecb/2< c < b , remplaçantune/b par ca/avant JC, et en développant ac comme une somme de diviseurs de bc , similaire à la méthode proposée par Hultsch et Bruins pour expliquer certaines des expansions dans le papyrus Rhind.

Théorie moderne des nombres

Bien que les fractions égyptiennes ne soient plus utilisées dans la plupart des applications pratiques des mathématiques, les théoriciens modernes des nombres ont continué à étudier de nombreux problèmes différents qui leur sont liés. Ceux-ci incluent des problèmes de limitation de la longueur ou du dénominateur maximum dans les représentations de fraction égyptienne, la recherche d'expansions de certaines formes spéciales ou dans lesquelles les dénominateurs sont tous d'un type particulier, la fin de diverses méthodes d'expansion de fraction égyptienne et la démonstration que des expansions existent pour tout ensemble suffisamment dense de nombres suffisamment lisses .

• L'une des premières publications de Paul Erdős a prouvé qu'il n'est pas possible pour une progression harmonique de former une représentation de fraction égyptienne d'un entier . La raison en est que, nécessairement, au moins un dénominateur de la progression sera divisible par un nombre premier qui ne divise aucun autre dénominateur. La dernière publication d'Erdős, près de 20 ans après sa mort, prouve que chaque entier a une représentation dans laquelle tous les dénominateurs sont des produits de trois nombres premiers.
• La conjecture d'Erdős-Graham en théorie combinatoire des nombres stipule que, si les nombres entiers supérieurs à 1 sont partitionnés en un nombre fini de sous-ensembles, alors l'un des sous-ensembles a un sous-ensemble fini de lui-même dont les réciproques s'additionnent à un. Autrement dit, pour chaque r > 0 et chaque r -coloration des entiers supérieurs à un, il existe un sous-ensemble monochromatique fini S de ces entiers tel que

${\displaystyle \sum _{n\in S}{\frac {1}{n}}=1}$

La conjecture a été prouvée en 2003 par Ernest S. Croot, III .

• Le problème de Znám et les nombres pseudo- parfaits primaires sont étroitement liés à l'existence de fractions égyptiennes de la forme

${\displaystyle \sum {\frac {1}{x_{i}}}+\prod {\frac {1}{x_{i}}}=1}$

Par exemple, le nombre pseudo-parfait primaire 1806 est le produit des nombres premiers 2, 3, 7 et 43, et donne lieu à la fraction égyptienne 1 =1/2 + 1/3 + 1/7 + 1/43 + 1/1806.

• Les fractions égyptiennes sont normalement définies comme exigeant que tous les dénominateurs soient distincts, mais cette exigence peut être assouplie pour permettre des dénominateurs répétés. Cependant, cette forme détendue des fractions égyptiennes ne permet à aucun nombre d'être représenté en utilisant moins de fractions, car toute expansion avec des fractions répétées peut être convertie en une fraction égyptienne de longueur égale ou inférieure par l'application répétée du remplacement.

${\displaystyle {\frac {1}{k}}+{\frac {1}{k}}={\frac {2}{k+1}}+{\frac {2}{k(k+1 )}}}$

si k est impair, ou simplement en remplaçant1/k + 1/k par 2/ksi k est pair. Ce résultat a été prouvé pour la première fois par Takenouchi (1921) .

• Graham et Jewett ont prouvé qu'il est également possible de convertir des expansions avec des dénominateurs répétés en fractions égyptiennes (plus longues), via le remplacement

${\displaystyle {\frac {1}{k}}+{\frac {1}{k}}={\frac {1}{k}}+{\frac {1}{k+1}}+{ \frac {1}{k(k+1)}}.}$

Cette méthode peut conduire à de longs développements avec de grands dénominateurs, tels que

${\displaystyle {\frac {4}{5}}={\frac {1}{5}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{30}}+{\frac {1}{31}}+{\frac {1}{32}}+{\frac {1}{42} }+{\frac {1}{43}}+{\frac {1}{56}}+{\frac {1}{930}}+{\frac {1}{931}}+{\frac { 1}{992}}+{\frac {1}{1806}}+{\frac {1}{865\,830}}}$

Botts (1967) avait initialement utilisé cette technique de remplacement pour montrer que tout nombre rationnel a des représentations de fraction égyptienne avec des dénominateurs minimum arbitrairement grands.

• Toute fraction X/oui a une représentation de fraction égyptienne dans laquelle le dénominateur maximum est limité par

${\displaystyle O\left(y\log y\left(\log \log y\right)^{4}\left(\log \log \log y\right)^{2}\right)}$

et une représentation avec au plus

${\displaystyle O\left({\sqrt {\log y}}\right)}$

termes. Le nombre de termes doit parfois être au moins proportionnel à log log y ; par exemple, cela est vrai pour les fractions de la séquence1/2, 2/3, 6/7, 42/43, 1806/1807, ... dont les dénominateurs forment la suite de Sylvester . Il a été conjecturé que les termes O (log log y ) sont toujours suffisants. Il est également possible de trouver des représentations dans lesquelles à la fois le dénominateur maximum et le nombre de termes sont petits.

• Graham (1964) a caractérisé les nombres qui peuvent être représentés par des fractions égyptiennes dans lesquelles tous les dénominateurs sont des puissances n . En particulier, un nombre rationnel q peut être représenté comme une fraction égyptienne à dénominateurs carrés si et seulement si q se trouve dans l'un des deux intervalles semi-ouverts

${\displaystyle \left[0,{\frac {\pi ^{2}}{6}}-1\right)\cup \left[1,{\frac {\pi ^{2}}{6}} \droite)}$

• Martin (1999) a montré que tout nombre rationnel a des développements très denses, en utilisant une fraction constante des dénominateurs jusqu'à N pour tout N suffisamment grand .
• Le développement d'Engel , parfois appelé produit égyptien , est une forme de développement de fraction égyptienne dans lequel chaque dénominateur est un multiple du précédent :

${\displaystyle x={\frac {1}{a_{1}}}+{\frac {1}{a_{1}a_{2}}}+{\frac {1}{a_{1}a_{ 2}a_{3}}}+\cdots }$

De plus, la séquence de multiplicateurs a _i doit être non décroissante. Tout nombre rationnel a un développement d'Engel fini, tandis que les nombres irrationnels ont un développement d'Engel infini.

• Anshel & Goldfeld (1991) étudient les nombres qui ont plusieurs représentations de fractions égyptiennes distinctes avec le même nombre de termes et le même produit de dénominateurs ; par exemple, l'un des exemples qu'ils fournissent est

${\displaystyle {\frac {5}{12}}={\frac {1}{4}}+{\frac {1}{10}}+{\frac {1}{15}}={\frac {1}{5}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{20}}}$

Contrairement aux anciens Égyptiens, ils permettent de répéter les dénominateurs dans ces expansions. Ils appliquent leurs résultats pour ce problème à la caractérisation des produits libres des groupes abéliens par un petit nombre de paramètres numériques : le rang du sous - groupe de commutateurs , le nombre de termes dans le produit libre et le produit des ordres des facteurs.

• Le nombre de différentes représentations de fraction égyptienne à n termes du nombre un est limité en haut et en bas par des fonctions exponentielles doubles de n .

Problèmes ouverts

Certains problèmes notables restent non résolus en ce qui concerne les fractions égyptiennes, malgré les efforts considérables des mathématiciens.

• La conjecture d'Erdős-Straus concerne la longueur de l'expansion la plus courte pour une fraction de la forme4/m. fait une extension

${\displaystyle {\frac {4}{n}}={\frac {1}{x}}+{\frac {1}{y}}+{\frac {1}{z}}}$

exister pour tout n ? On sait que c'est vrai pour tout n < 10 ¹⁷ , et pour tout sauf une fraction infiniment petite des valeurs possibles de n , mais la vérité générale de la conjecture reste inconnue.

• On ne sait pas s'il existe une expansion gloutonne impaire pour chaque fraction avec un dénominateur impair. Si la méthode gloutonne de Fibonacci est modifiée pour qu'elle choisisse toujours le plus petit dénominateur impair possible , dans quelles conditions cet algorithme modifié produit-il un développement fini ? Une condition nécessaire évidente est que la fraction de départX/ouiont un dénominateur impair y , et il est conjecturé mais pas connu que c'est aussi une condition suffisante. On sait que chaqueX/ouiavec y impair a une expansion en fractions unitaires impaires distinctes, construites en utilisant une méthode différente de celle de l'algorithme glouton.
• Il est possible d'utiliser des algorithmes de recherche par force brute pour trouver la représentation en fraction égyptienne d'un nombre donné avec le moins de termes possible ou en minimisant le plus grand dénominateur ; cependant, de tels algorithmes peuvent être assez inefficaces. L'existence d' algorithmes en temps polynomial pour ces problèmes, ou plus généralement la complexité de calcul de tels problèmes, reste inconnue.

Guy (2004) décrit ces problèmes plus en détail et énumère de nombreux problèmes ouverts supplémentaires.

Voir également

• Liste des sommes des réciproques

Remarques

Les références

Liens externes

• Brown, Kevin, fractions d'unité égyptienne.
• Eppstein, David , fractions égyptiennes.
• Knott, Ron, fractions égyptiennes.
• Weisstein, Eric W. , " Fraction égyptienne " , MathWorld
• Giroux, André, fractions égyptienneset Zeleny, Enrique, Algorithmes pour les fractions égyptiennes, The Wolfram Demonstrations Project , basé sur des programmes de David Eppstein .