Entier d'Eisenstein - Eisenstein integer
En mathématiques , les entiers d'Eisenstein (du nom de Gotthold Eisenstein ), parfois aussi appelés entiers eulériens (d'après Leonhard Euler ), sont des nombres complexes de la forme
où a et b sont des nombres entiers et
est une racine cubique primitive (donc non réelle) de l'unité . Les entiers d'Eisenstein forment un réseau triangulaire dans le plan complexe , contrairement aux entiers gaussiens , qui forment un réseau carré dans le plan complexe. Les entiers d'Eisenstein sont un ensemble dénombrable infini .
Propriétés
Les entiers d'Eisenstein forment un anneau commutatif d' entiers algébriques dans le champ des nombres algébriques — le troisième champ cyclotomique . Pour voir que les entiers d'Eisenstein sont des entiers algébriques notons que chaque z = a + bω est une racine du polynôme monique
En particulier, co satisfait à l'équation
Le produit de deux entiers d'Eisenstein a + bω et c + dω est donné explicitement par
La norme d'un entier d'Eisenstein est juste le carré de son module et est donnée par
qui est clairement un entier positif ordinaire (rationnel).
En outre, le conjugué complexe de co satisfait
Le groupe d'unités de cet anneau est le groupe cyclique formé par les racines sixièmes de l'unité dans le plan complexe : les entiers d'Eisenstein de norme 1.
nombres premiers d'Eisenstein
Si x et y sont des entiers d'Eisenstein, on dit que x divise y s'il existe un entier d'Eisenstein z tel que y = zx . Un entier d'Eisenstein non unitaire x est dit premier d'Eisenstein si ses seuls diviseurs non unitaires sont de la forme ux , où u est l'une des six unités.
Il existe deux types de nombres premiers d'Eisenstein. Premièrement, un nombre premier ordinaire (ou premier rationnel ) qui est congru à 2 mod 3 est aussi un nombre premier d'Eisenstein. Deuxièmement, 3 et tout premier rationnel congru à 1 mod 3 est égal à la norme x 2 − xy + y 2 d'un entier d'Eisentein x + ωy . Ainsi, un tel nombre premier peut être factorisé comme ( x + ωy )( x + ω 2 y ) , et ces facteurs sont des nombres premiers d'Eisenstein : ce sont précisément les entiers d'Eisenstein dont la norme est un nombre premier rationnel.
Domaine euclidien
L'anneau des entiers d'Eisenstein forme un domaine euclidien dont la norme N est donnée par le module carré, comme ci-dessus :
Un algorithme de division , appliqué à n'importe quel dividende et diviseur , donne un quotient et un reste plus petit que le diviseur, satisfaisant :
Voici tous les entiers d'Eisenstein. Cet algorithme implique l' algorithme d'Euclide , qui prouve le lemme d'Euclide et la factorisation unique des entiers d'Eisenstein en nombres premiers d'Eisenstein.
Un algorithme de division est le suivant. Effectuez d'abord la division dans le corps des nombres complexes et écrivez le quotient en fonction de ω :
pour le rationnel . Obtenez ensuite le quotient entier d'Eisenstein en arrondissant les coefficients rationnels à l'entier le plus proche :
Ici peut désigner l'une des fonctions standard d' arrondi à entier.
La raison pour laquelle cela satisfait , alors que la procédure analogue échoue pour la plupart des autres anneaux d' entiers quadratiques , est la suivante. Un domaine fondamental pour l'idéal , agissant par translations sur le plan complexe, est le losange 60°-120° à sommets . Tout entier d'Eisenstein α se trouve à l'intérieur d'une des translations de ce parallélogramme, et le quotient est l'un de ses sommets. Le reste est la distance carrée de α à ce sommet, mais la distance maximale possible dans notre algorithme est seulement , donc . (La taille de ρ pourrait être légèrement diminuée en prenant pour être le coin le plus proche.)
Quotient de C par les entiers d'Eisenstein
Le quotient du plan complexe C par le réseau contenant tous les entiers d'Eisenstein est un tore complexe de dimension réelle 2. C'est l'un des deux tores avec une symétrie maximale parmi tous ces tores complexes. Ce tore peut être obtenu en identifiant chacune des trois paires d'arêtes opposées d'un hexagone régulier. (L'autre tore à symétrie maximale est le quotient du plan complexe par le réseau additif des entiers gaussiens , et peut être obtenu en identifiant chacune des deux paires de côtés opposés d'un domaine fondamental carré, tel que [0,1] × [ 0,1] .)
Voir également
- Entier gaussien
- Champ cyclotomique
- Géométrie systolique
- Constante d'ermite
- Réciprocité cubique
- L'inégalité du tore de Loewner
- quaternion de Hurwitz
- Entier quadratique
- Fonctions elliptiques de Dixon