Couche Ekman - Ekman layer

La couche d'Ekman est la couche dans un fluide où l'écoulement est le résultat d'un équilibre entre gradient de pression, Coriolis et forces de traînée turbulente. Dans l'image ci-dessus, le vent soufflant vers le nord crée une contrainte de surface et une spirale d'Ekman résultante se trouve en dessous dans la colonne d'eau.

La couche d'Ekman est la couche dans un fluide où il existe un équilibre de force entre la force du gradient de pression , la force de Coriolis et la traînée turbulente . Il a été décrit pour la première fois par Vagn Walfrid Ekman . Les couches d'Ekman se trouvent à la fois dans l'atmosphère et dans l'océan.

Il existe deux types de couches Ekman. Le premier type se produit à la surface de l'océan et est forcé par les vents de surface, qui agissent comme un frein à la surface de l'océan. Le deuxième type se produit au fond de l'atmosphère et de l'océan, où les forces de friction sont associées à l'écoulement sur des surfaces rugueuses.

Histoire

Ekman a développé la théorie de la couche d'Ekman après que Fridtjof Nansen a observé que la glace dérive à un angle de 20° à 40° à droite de la direction du vent dominant lors d'une expédition arctique à bord du Fram . Nansen a demandé à son collègue, Vilhelm Bjerknes de mettre un de ses étudiants sur l'étude du problème. Bjerknes a fait appel à Ekman, qui a présenté ses résultats en 1902 comme thèse de doctorat .

Formulation mathématique

La formulation mathématique de la couche d'Ekman commence par supposer un fluide stratifié neutre, un équilibre entre les forces de gradient de pression, de Coriolis et de traînée turbulente.

${\displaystyle {\begin{aligned}-fv&=-{\frac {1}{\rho _{o}}}{\frac {\partial p}{\partial x}}+K_{m}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}},\\[5pt]fu&=-{\frac {1}{\rho _{o}}}{\frac {\partial p }{\partial y}}+K_{m}{\frac {\partial ^{2}v}{\partial z^{2}}},\\[5pt]0&=-{\frac {1}{ \rho _{o}}}{\frac {\partial p}{\partial z}},\end{aligned}}}$

où et sont les vitesses dans les directions et , respectivement, est le paramètre de Coriolis local , et est la viscosité de Foucault diffusive, qui peut être dérivée en utilisant la théorie de la longueur de mélange . A noter qu'il s'agit d'une pression modifiée : nous avons incorporé l' hydrostatique de la pression, pour tenir compte de la pesanteur. ${\style d'affichage \ u}$${\style d'affichage \ v}$${\style d'affichage \ x}$${\style d'affichage \ y}$${\style d'affichage \ f}$${\style d'affichage \ K_{m}}$${\style d'affichage p}$

Il existe de nombreuses régions où une couche d'Ekman est théoriquement plausible ; ils comprennent le fond de l'atmosphère, près de la surface de la terre et de l'océan, le fond de l'océan, près du fond marin et au sommet de l'océan, près de l'interface air-eau. Différentes conditions aux limites sont appropriées pour chacune de ces différentes situations. Chacune de ces situations peut être expliquée par les conditions aux limites appliquées au système résultant d'équations différentielles ordinaires. Les cas séparés des couches limites supérieure et inférieure sont illustrés ci-dessous.

Couche d'Ekman à la surface de l'océan (ou libre)

Nous considérerons les conditions aux limites de la couche d'Ekman dans la partie supérieure de l'océan :

${\displaystyle {\text{at }}z=0:\quad A{\frac {\partial u}{\partial z}}=\tau ^{x}\quad {\text{and}}\quad A {\frac {\partial v}{\partial z}}=\tau ^{y},}$

où et sont les composantes de la contrainte de surface, , du champ de vent ou de la couche de glace au sommet de l'océan, et est la viscosité dynamique. ${\displaystyle \ \tau ^{x}}$${\displaystyle \ \tau ^{y}}$${\style d'affichage \ \tau }$${\displaystyle \ A\equiv \rho K_{m}}$

Pour la condition aux limites de l'autre côté, comme , où et sont les flux géostrophiques dans les directions et . ${\displaystyle \ z\to -\infty :u\to u_{g},v\to v_{g}}$${\style d'affichage \ u_{g}}$${\style d'affichage \ v_{g}}$${\style d'affichage \ x}$${\style d'affichage \ y}$

Solution

Trois vues de la couche Ekman poussée par le vent à la surface de l'océan dans l'hémisphère nord. La vitesse géostrophique est nulle dans cet exemple.

Ces équations différentielles peuvent être résolues pour trouver:

${\displaystyle {\begin{aligned}u&=u_{g}+{\frac {\sqrt {2}}{\rho _{o}fd}}e^{z/d}\left[\tau ^{ x}\cos(z/d-\pi /4)-\tau ^{y}\sin(z/d-\pi /4)\right],\\[5pt]v&=v_{g}+{ \frac {\sqrt {2}}{\rho _{o}fd}}e^{z/d}\left[\tau ^{x}\sin(z/d-\pi /4)+\tau ^{y}\cos(z/d-\pi /4)\right],\\[5pt]d&={\sqrt {2K_{m}/|f|}}.\end{aligned}}}$

La valeur est appelée profondeur de la couche d'Ekman et donne une indication de la profondeur de pénétration du mélange turbulent induit par le vent dans l'océan. A noter qu'elle varie sur deux paramètres : la diffusivité turbulente , et la latitude, telle qu'encapsulée par . Pour un m /s typique , et à 45° de latitude ( s ), alors est d'environ 45 mètres. Cette prédiction de profondeur d'Ekman ne concorde pas toujours précisément avec les observations. ${\style d'affichage d}$${\displaystyle K_{m}}$${\style d'affichage f}$${\displaystyle K_{m}=0.1}$${\style d'affichage ^{2}}$${\displaystyle f=10^{-4}}$${\style d'affichage ^{-1}}$${\style d'affichage d}$

Cette variation de vitesse horizontale avec la profondeur ( ) est appelée la spirale d'Ekman , schématisée ci-dessus et à droite. ${\style d'affichage -z}$

En appliquant l'équation de continuité, nous pouvons avoir la vitesse verticale comme suit

${\displaystyle w={\frac {1}{f\rho _{o}}}\left[-\left({\frac {\partial \tau ^{x}}{\partial x}}+{\ frac {\partial \tau ^{y}}{\partial y}}\right)e^{z/d}\sin(z/d)+\left({\frac {\partial \tau ^{y} }{\partial x}}-{\frac {\partial \tau ^{x}}{\partial y}}\right)(1-e^{z/d}\cos(z/d))\right ].}$

Notez que lorsqu'il est intégré verticalement, le transport de volume associé à la spirale d'Ekman est à droite de la direction du vent dans l'hémisphère nord.

Couche d'Ekman au fond de l'océan et de l'atmosphère

Le développement traditionnel des couches d'Ekman délimitées en dessous par une surface utilise deux conditions aux limites :

• Une condition antidérapante en surface ;
• Les vitesses d'Ekman se rapprochent des vitesses géostrophiques vers l'infini.${\style d'affichage z}$

Observations expérimentales de la couche d'Ekman

Il y a beaucoup de difficultés associées à l'observation de la couche d'Ekman pour deux raisons principales : la théorie est trop simpliste car elle suppose une viscosité turbulente constante, qu'Ekman lui-même a anticipée, disant

Il est évident que ne peut généralement pas être considéré comme une constante lorsque la densité de l'eau n'est pas uniforme dans la région considérée${\displaystyle \ \left[\nu \right]}$

et parce qu'il est difficile de concevoir des instruments suffisamment sensibles pour observer le profil de vitesse dans l'océan.

Démonstrations en laboratoire

La couche inférieure d'Ekman peut être facilement observée dans un réservoir d'eau cylindrique en rotation en laissant tomber le colorant et en modifiant légèrement la vitesse de rotation. [1] Les couches superficielles d'Ekman peuvent également être observées dans les réservoirs rotatifs. [2]

Dans l'atmosphère

Dans l'atmosphère, la solution d'Ekman surestime généralement l'amplitude du champ de vent horizontal car elle ne tient pas compte du cisaillement de la vitesse dans la couche de surface . La division de la couche limite planétaire en couche de surface et couche Ekman donne généralement des résultats plus précis.

Dans l'océan

La couche d'Ekman, avec sa caractéristique distinctive la spirale d'Ekman, est rarement observée dans l'océan. La couche d'Ekman près de la surface de l'océan ne s'étend qu'à environ 10 à 20 mètres de profondeur, et une instrumentation suffisamment sensible pour observer un profil de vitesse à une profondeur aussi faible n'est disponible que depuis 1980 environ. De plus, les vagues de vent modifient le flux près de la surface. , et faire des observations près de la surface plutôt difficiles.

Instrumentation

Les observations de la couche d'Ekman n'ont été possibles que depuis le développement d'ancrages de surface robustes et de courantomètres sensibles. Ekman lui-même a développé un courantomètre pour observer la spirale qui porte son nom, mais n'a pas réussi. Le compteur de courant à mesure vectorielle et le profileur de courant Doppler acoustique sont tous deux utilisés pour mesurer le courant.

Observations

Les premières observations documentées d'une spirale de type Ekman dans l'océan ont été faites dans l'océan Arctique à partir d'une banquise à la dérive en 1958. Les observations plus récentes incluent (liste non exhaustive) :

• L' expérience des couches mixtes de 1980
• Dans la mer des Sargasses au cours de l'étude à long terme de l'océan supérieur de 1982
• Dans le courant de Californie au cours de l'expérience du courant de frontière est de 1993
• Dans la région du passage Drake de l'océan Austral
• Dans le Pacifique tropical oriental, à 2°N, 140°W, en utilisant 5 courantomètres entre 5 et 25 mètres de profondeur. Cette étude a noté que le cisaillement géostrophique associé aux ondes de stabilité tropicales modifiait la spirale d'Ekman par rapport à ce qui est attendu avec une densité horizontalement uniforme.
• Au nord du plateau de Kerguelen lors de l'expérience SOFINE 2008

Commun à plusieurs de ces observations, les spirales étaient "comprimées", affichant des estimations plus importantes de la viscosité turbulente en considérant le taux de rotation avec la profondeur que la viscosité turbulente dérivée de l'examen du taux de décroissance de la vitesse.

Voir également

• Spirale d'Ekman  – Structure des courants ou des vents
• Transport Ekman  - Transport net d'eau de surface perpendiculaire à la direction du vent
• Paradoxe de la feuille de thé

Les références

Liens externes

• Démonstration du laboratoire de la couche inférieure d'Ekman
• Démonstration en laboratoire de la couche Ekman de surface