Moment magnétique de l'électron - Electron magnetic moment

En physique atomique , le moment magnétique des électrons , ou plus précisément le moment dipolaire magnétique des électrons , est le moment magnétique d'un électron causé par ses propriétés intrinsèques de spin et de charge électrique . La valeur du moment magnétique des électrons est d'environ-9,284 764 × 10 ^-24  J / T . Le moment magnétique des électrons a été mesuré avec une précision de 7,6 parties en 10 ¹³ .

Moment magnétique d'un électron

L'électron est une particule chargée de charge −1 e , où e dans ce contexte est l' unité de charge élémentaire . Son moment cinétique provient de deux types de rotation : le spin et le mouvement orbital . D'après l'électrodynamique classique , un corps en rotation chargé électriquement crée un dipôle magnétique avec des pôles magnétiques de même grandeur mais de polarité opposée . Cette analogie est vraie, puisqu'un électron se comporte en effet comme un minuscule barreau magnétique . Une conséquence est qu'un champ magnétique externe exerce un couple sur le moment magnétique de l'électron en fonction de son orientation par rapport au champ.

Si l'électron est visualisé comme un classique particules chargées en rotation autour d' un axe de moment cinétique L , son moment dipolaire magnétique μ est donnée par:

${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}={\frac {-e}{~2\,m_{\text{e}}~}}\,\mathbf {L} \,,}$

où m _e est la masse au repos de l' électron . Notez que le moment angulaire L dans cette équation peut être le moment angulaire de spin, le moment angulaire orbital ou le moment angulaire total. Il s'avère que le résultat classique est décalé d'un facteur proportionnel au moment magnétique de spin . En conséquence, le résultat classique est corrigé en le multipliant avec une dimension facteur de correction g , connu sous le nom g -factor :

${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}=g\,{\frac {(-e)}{~2\,m_{\text{e}}~}}\,\mathbf {L} \,. }$

Il est habituel d'exprimer le moment magnétique en termes de la constante de Planck réduite ħ et le magnéton de Bohr μ _B :

${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}=-g\,\mu _{\text{B}}\,{\frac {~\mathbf {L} ~}{\hbar }}\,.}$

Depuis le moment magnétique est quantifié en unités de μ _B , de manière correspondante la quantité de mouvement angulaire est quantifié en unités de ħ .

Définition formelle

Les notions classiques telles que le centre de charge et la masse sont cependant difficiles à préciser pour une particule élémentaire quantique. En pratique la définition utilisée par les expérimentateurs vient des facteurs de forme apparaissant dans l'élément de matrice ${\displaystyle F_{i}(q^{2})}$

${\displaystyle \langle p_{f}|j^{\mu }|p_{i}\rangle ={\bar {u}}(p_{f})\left\{F_{1}(q^{2 })\gamma ^{\mu }+{\frac {~i\sigma ^{\mu \nu }~}{~2\,m_{\rm {e}}~}}q_{\nu }F_{ 2}(q^{2})+i\epsilon ^{\mu \nu \rho \sigma }\sigma _{\rho \sigma }q_{\nu }F_{3}(q^{2})+ {\frac {1}{~2\,m_{\rm {e}}~}}\left(q^{\mu }-{\frac {q^{2}}{2m}}\gamma ^{ \mu }\right)\gamma _{5}F_{4}(q^{2})\right\}u(p_{i})}$

de l'opérateur de courant électromagnétique entre deux états sur coque. Voici et sont la solution à 4 spins de l' équation de Dirac normalisée de sorte que , et est le transfert de quantité de mouvement du courant à l'électron. Le facteur de forme est la charge de l'électron, est son moment dipolaire magnétique statique et fournit la définition formelle du moment dipolaire électrique de l' électron . Le facteur de forme restant serait, s'il n'était pas nul, le moment anapolaire . ${\style d'affichage u(p_{i})}$${\displaystyle {\bar {u}}(p_{f})}$${\displaystyle {\bar {u}}u=2m_{\rm {e}}}$${\displaystyle q^{\mu }=p_{f}^{\mu }-p_{i}^{\mu }}$${\style d'affichage q^{2}=0}$${\style d'affichage F_{1}(0)=-e}$${\displaystyle \mu =[\,F_{1}(0)+F_{2}(0)\,]/[\,2\,m_{\rm {e}}\,]}$${\displaystyle -F_{3}(0)/[\,2\,m_{\rm {e}}\,]}$${\style d'affichage F_{4}(q^{2})}$

Moment dipolaire magnétique de spin

Le moment magnétique de spin est intrinsèque pour un électron. Il est

${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}_{\text{s}}=-g_{\rm {s}}\,\mu _{\text{B}}\,{\frac {~\mathbf {S} ~}{\hbar }}\,.}$

Ici, S est le moment angulaire de spin électronique. Le facteur g de spin est d'environ deux : . Le moment magnétique d'un électron est environ le double de ce qu'il devrait être en mécanique classique. Le facteur deux implique que l'électron semble être deux fois plus efficace pour produire un moment magnétique que le corps chargé classique correspondant. ${\displaystyle g_{\rm {s}}\environ 2}$

Le moment dipolaire magnétique de spin est d' environ un μ _B parce que et l'électron est un spin- une / deux particules ( S = ħ / 2 ): ${\displaystyle g_{\rm {s}}\environ 2}$

${\displaystyle \mu _{\rm {s}}\approx 2\,{\frac {e\hbar }{~2\,m_{\text{e}}\,c~}}{\frac {\ ,\left({\frac {\hbar }{2}}\right)\,}{\hbar }}=\mu _{\text{B}}\,.}$

La composante z du moment magnétique électronique est

${\displaystyle ({\boldsymbol {\mu }}_{\text{s}})_{z}=-g_{\text{s}}\,\mu _{\text{B}}\,m_ {\les textes}}\,,}$

où m _s est le nombre quantique de spin . Notez que μ est un négatif constant multiplié par la rotation , de sorte que le moment magnétique est antiparallèle au moment angulaire de spin.

Le facteur g de spin g _s = 2 provient de l' équation de Dirac , une équation fondamentale reliant le spin de l'électron à ses propriétés électromagnétiques. La réduction de l'équation de Dirac pour un électron dans un champ magnétique à sa limite non relativiste donne l'équation de Schrödinger avec un terme de correction, qui tient compte de l'interaction du moment magnétique intrinsèque de l'électron avec le champ magnétique donnant l'énergie correcte.

Pour le spin électronique, la valeur la plus précise du facteur g de spin a été déterminée expérimentalement comme ayant la valeur

2,002 319 304 361 82 (52)  .

Notez qu'il est seulement deux millièmes plus grand que la valeur de l'équation de Dirac. La petite correction est connue sous le nom de moment dipolaire magnétique anormal de l'électron; il résulte de l'interaction de l'électron avec des photons virtuels en électrodynamique quantique . En fait, un triomphe célèbre de la théorie de l'électrodynamique quantique est la prédiction précise du facteur g des électrons. La valeur la plus précise pour le moment magnétique électronique est

-9,284 764 620 (57) × 10 ^-24  J/T  .

Moment dipolaire magnétique orbital

La révolution d'un électron autour d'un axe à travers un autre objet, tel que le noyau, donne naissance au moment dipolaire magnétique orbital. Supposons que le moment cinétique du mouvement orbital soit L . Alors le moment dipolaire magnétique orbital est

${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}_{L}=-g_{\text{L}}\,\mu _{\text{B}}\,{\frac {~\mathbf {L} ~ }{\hbar }}\,.}$

Ici g _L est le facteur g de l' orbitale électronique et μ _B est le magnéton de Bohr . La valeur de g _L est exactement égale à un, par un argument de mécanique quantique analogue à la dérivation du rapport gyromagnétique classique .

Moment dipolaire magnétique total

Le moment dipolaire magnétique total résultant à la fois du moment angulaire de spin et du moment angulaire orbital d'un électron est lié au moment angulaire total J par une équation similaire :

${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}_{\text{J}}=-g_{\text{J}}\,\mu _{\text{B}}\,{\frac {~\mathbf {J} ~}{\hbar }}\,.}$

Le g -facteur g _J est connu sous le nom de Landé g -facteur , qui peut être relié à g _L et g _S par la mécanique quantique. Voir Landé g -factor pour plus de détails.

Exemple : atome d'hydrogène

Pour un atome d' hydrogène un atome, un électron occupant l' orbitale atomique Ψ _{n, ℓ, m}  , le moment de dipôle magnétique est donnée par

${\displaystyle \mu _{\text{L}}=-g_{\text{L}}{\frac {\mu _{\text{B}}}{\hbar }}\langle \Psi _{n ,\ell ,m}|L|\Psi _{n,\ell ,m}\rangle =-\mu _{\text{B}}{\sqrt {\ell (\ell +1)}}.}$

Ici , L est l'orbitale moment angulaire , n , ℓ et m sont les principaux , azimutales et magnétique nombres quantiques respectivement. Le z composante du moment de dipôle magnétique orbital pour un électron avec un nombre quantique magnétique m _ℓ est donnée par

${\displaystyle ({\boldsymbol {\mu }}_{\text{L}})_{z}=-\mu _{\text{B}}m_{\ell }.}$

Histoire

Le moment magnétique des électrons est intrinsèquement lié au spin des électrons et a été émis pour la première fois lors des premiers modèles de l'atome au début du XXe siècle. Le premier à introduire l'idée du spin des électrons fut Arthur Compton lors de ses recherches en 1921 sur les substances ferromagnétiques avec les rayons X. Dans l'article de Compton, il écrit : « Peut-être la vision la plus naturelle, et certainement la plus généralement acceptée de la nature de l'aimant élémentaire, est que la révolution des électrons en orbite à l'intérieur de l'atome donne à l'atome dans son ensemble les propriétés d'un petit aimant permanent. La même année, Otto Stern a proposé une expérience réalisée plus tard, appelée expérience Stern-Gerlach, dans laquelle des atomes d'argent dans un champ magnétique étaient déviés dans des directions de distribution opposées. Cette période d'avant 1925 a marqué l' ancienne théorie quantique construite sur le modèle de Bohr-Sommerfeld de l'atome avec ses orbites électroniques elliptiques classiques. Au cours de la période entre 1916 et 1925, de nombreux progrès ont été réalisés concernant l'arrangement des électrons dans le tableau périodique . Afin d'expliquer l' effet Zeeman dans l'atome de Bohr, Sommerfeld a proposé que les électrons soient basés sur trois « nombres quantiques », n, k et m, qui décrivent la taille de l'orbite, la forme de l'orbite et la direction dans laquelle pointait l'orbite. Irving Langmuir avait expliqué dans son article de 1919 concernant les électrons dans leurs coquilles, « Rydberg a souligné que ces nombres sont obtenus à partir de la série . Le facteur deux suggère une double symétrie fondamentale pour tous les atomes stables. Cette configuration a été adoptée par Edmund Stoner , en octobre 1924 dans son article 'La distribution des électrons parmi les niveaux atomiques' publié dans le Philosophical Magazine. Wolfgang Pauli a émis l'hypothèse que cela nécessitait un quatrième nombre quantique avec une valeur à deux. ${\style d'affichage N=2(1+2^{2}+2^{2}+3^{2}+3^{2}+4^{2})}$${\style d'affichage 2n^{2}}$

Spin électronique dans les théories de Pauli et Dirac

A partir de là, la charge de l'électron est e < 0  . La nécessité d'introduire un spin demi-intégral remonte expérimentalement aux résultats de l' expérience de Stern-Gerlach . Un faisceau d'atomes traverse un puissant champ magnétique non uniforme, qui se divise ensuite en N parties en fonction du moment angulaire intrinsèque des atomes. Il a été constaté que pour les atomes d' argent , le faisceau était divisé en deux - l'état fondamental ne pouvait donc pas être intégral, car même si le moment angulaire intrinsèque des atomes était aussi petit que possible, 1, le faisceau serait divisé en 3 parties , correspondant aux atomes avec L _z = -1, 0 et +1. La conclusion est que les atomes d'argent ont un moment angulaire intrinsèque net de 1 / deux . Pauli a élaboré une théorie qui a expliqué cette division en introduisant une fonction d'onde à deux composantes et un terme de correction correspondant dans l' hamiltonien , représentant un couplage semi-classique de cette fonction d'onde à un champ magnétique appliqué, ainsi :

${\displaystyle H={\frac {1}{2m}}\left[{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \left(\mathbf {p} -{\frac {e}{c}}\mathbf { A} \right)\right]^{2}+e\phi .}$

Ici , A est le potentiel vecteur magnétique et φ le potentiel électrique , à la fois représentant le champ électromagnétique , et σ = ( σ _x , σ _y , σ _z ) sont les matrices de Pauli . Lors de la mise au carré du premier terme, une interaction résiduelle avec le champ magnétique est trouvée, ainsi que l'hamiltonien classique habituel d'une particule chargée interagissant avec un champ appliqué :

${\displaystyle H={\frac {1}{2m}}\left(\mathbf {p} -{\frac {e}{c}}\mathbf {A} \right)^{2}+e\phi -{\frac {e\hbar }{2mc}}{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {B} .}$

Cet hamiltonien est maintenant une matrice 2 × 2, donc l'équation de Schrödinger basée sur elle doit utiliser une fonction d'onde à deux composantes. Pauli avait introduit les matrices sigma 2 × 2 en tant que pure phénoménologie — Dirac avait maintenant un argument théorique qui impliquait que le spin était en quelque sorte la conséquence de l'incorporation de la relativité dans la mécanique quantique . En introduisant le potentiel électromagnétique externe dans l'équation de Dirac d'une manière similaire, connue sous le nom de couplage minimal , il prend la forme (en unités naturelles ħ = c = 1)

${\displaystyle \left[-i\gamma ^{\mu }\left(\partial _{\mu }+ieA_{\mu }\right)+m\right]\psi =0\,}$

où sont les matrices gamma (dites matrices de Dirac ) et i est l' unité imaginaire . Une seconde application de l' opérateur de Dirac va maintenant reproduire le terme de Pauli exactement comme précédemment, car les matrices spatiales de Dirac multipliées par i , ont les mêmes propriétés de quadrature et de commutation que les matrices de Pauli. De plus, la valeur du rapport gyromagnétique de l'électron, placé devant le nouveau terme de Pauli, s'explique à partir des premiers principes. Ce fut une réalisation majeure de l'équation de Dirac et a donné aux physiciens une grande confiance dans son exactitude globale. La théorie de Pauli peut être considérée comme la limite de basse énergie de la théorie de Dirac de la manière suivante. L'équation est d'abord écrite sous forme d'équations couplées pour 2 spineurs avec les unités restituées : ${\displaystyle \scriptstyle \gamma ^{\mu }}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}(mc^{2}-E+e\phi )&c\sigma \cdot \left(\mathbf {p} -{\frac {e}{c}}\mathbf {A } \right)\\-c{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \left(\mathbf {p} -{\frac {e}{c}}\mathbf {A} \right)&\left(mc ^{2}+Ee\phi \right)\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\psi _{+}\\\psi _{-}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix} 0\\0\end{pmatrix}}.}$

donc

${\displaystyle {\begin{aligned}(Ee\phi )\psi _{+}-c{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \left(\mathbf {p} -{\frac {e}{c} }\mathbf {A} \right)\psi _{-}&=mc^{2}\psi _{+}\\-(Ee\phi )\psi _{-}+c{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \left(\mathbf {p} -{\frac {e}{c}}\mathbf {A} \right)\psi _{+}&=mc^{2}\psi _{-} \end{aligné}}}$

En supposant que le champ est faible et le mouvement de l'électron non relativiste, nous avons l'énergie totale de l'électron approximativement égale à son énergie au repos , et la quantité de mouvement se réduisant à la valeur classique,

${\displaystyle {\begin{aligned}Ee\phi &\approx mc^{2}\\p&\approx mv\end{aligned}}}$

et ainsi la deuxième équation peut s'écrire

${\displaystyle \psi _{-}\approx {\frac {1}{2mc}}{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \left(\mathbf {p} -{\frac {e}{c}} \mathbf {A} \right)\psi _{+}}$

qui est d'ordre v / c - donc à des énergies et des vitesses typiques, les composantes inférieures de la spinoriel Dirac dans la représentation standard sont bien supprimées par rapport aux composants de haut. La substitution de cette expression dans la première équation donne après quelques réarrangements

${\displaystyle \left(E-mc^{2}\right)\psi _{+}={\frac {1}{2m}}\left[{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \left(\ mathbf {p} -{\frac {e}{c}}\mathbf {A} \right)\right]^{2}\psi _{+}+e\phi \psi _{+}}$

L'opérateur de gauche représente l'énergie de la particule réduite par son énergie au repos, qui n'est que l'énergie classique, nous récupérons donc la théorie de Pauli si nous identifions son 2-spinor avec les composantes supérieures du spineur de Dirac dans l'approximation non relativiste. Une autre approximation donne l' équation de Schrödinger comme limite de la théorie de Pauli. Ainsi, l'équation de Schrödinger peut être considérée comme l'approximation loin d'être relativiste de l'équation de Dirac lorsqu'on peut négliger le spin et ne travailler qu'à de faibles énergies et vitesses. Ce fut également un grand triomphe pour la nouvelle équation, car elle remontait le mystérieux i qui y apparaît et la nécessité d'une fonction d'onde complexe, jusqu'à la géométrie de l'espace-temps à travers l'algèbre de Dirac. Il met également en évidence pourquoi l'équation de Schrödinger, bien que superficiellement sous la forme d'une équation de diffusion, représente en réalité la propagation des ondes.

Il convient de souligner fortement que cette séparation du spineur de Dirac en grandes et petites composantes dépend explicitement d'une approximation à basse énergie. L'ensemble du spineur de Dirac représente un tout irréductible , et les composants que nous venons de négliger pour aboutir à la théorie de Pauli apporteront de nouveaux phénomènes dans le régime relativiste - l' antimatière et l'idée de création et d'annihilation des particules.

Dans un cas général (si une certaine fonction linéaire du champ électromagnétique ne s'annule pas de manière identique), trois des quatre composantes de la fonction spineuse dans l'équation de Dirac peuvent être algébriquement éliminées, ce qui donne une équation aux dérivées partielles du quatrième ordre équivalente pour une seule composante. . De plus, cette composante restante peut être rendue réelle par une transformation de jauge.

La mesure

L'existence du moment magnétique anormal de l'électron a été détectée expérimentalement par la méthode de résonance magnétique . Cela permet la détermination de la division hyperfine des niveaux d'énergie de la couche électronique dans les atomes de protium et de deutérium en utilisant la fréquence de résonance mesurée pour plusieurs transitions.

Le moment magnétique de l'électron a été mesuré à l'aide d'un cyclotron quantique à un électron et d' une spectroscopie quantique de non-démolition . La fréquence de spin de l'électron est déterminée par le facteur g .

${\displaystyle \nu _{s}={\frac {g}{2}}\nu _{c}}$

${\displaystyle {\frac {g}{2}}={\frac {{\bar {\nu }}_{c}+{\bar {\nu }}_{a}}{{\bar {\ nu }}_{c}}}}$

Voir également

• Spin (physique)
• Précipitation d'électrons
• magnéton de Bohr
• Moment magnétique nucléaire
• Moment magnétique des neutrons
• Moment magnétique du proton
• Moment dipolaire magnétique anormal
• Moment dipolaire électrique de l'électron
• Structure fine
• Structure hyperfine

Les références

Bibliographie

• Sergueï Vonsovski (1975). Magnétisme des particules élémentaires . Éditeurs Mir.
• Sin Itiro Tomonaga (1997). L'histoire de Spin . Presse de l'Université de Chicago.