Arithmétique élémentaire - Elementary arithmetic

Les symboles arithmétiques élémentaires de base.

L'arithmétique élémentaire est la partie simplifiée de l' arithmétique qui comprend les opérations d' addition , de soustraction , de multiplication et de division . Elle ne doit pas être confondue avec l'arithmétique des fonctions élémentaires .

L'arithmétique élémentaire commence par les nombres naturels et les symboles écrits ( chiffres ) qui les représentent. Le processus de combinaison d'une paire de ces nombres avec les quatre opérations de base repose traditionnellement sur des résultats mémorisés pour de petites valeurs de nombres, y compris le contenu d'une table de multiplication pour faciliter la multiplication et la division.

L'arithmétique élémentaire comprend également les fractions et les nombres négatifs , qui peuvent être représentés sur une droite numérique .

Les chiffres

Les chiffres sont l'ensemble des symboles utilisés pour représenter les nombres. Dans un système numérique particulier , un seul chiffre représente un montant différent de tout autre chiffre, bien que les symboles du même système numérique puissent varier d'une culture à l'autre.

Dans l'usage moderne, les chiffres arabes sont l'ensemble de symboles le plus courant, et la forme la plus fréquemment utilisée de ces chiffres est le style occidental. Chaque chiffre, s'il est utilisé comme numéro autonome, correspond aux montants suivants :
0 , zéro . Utilisé en l'absence d'objets à compter. Par exemple, une façon différente de dire "il n'y a pas de bâtons ici", c'est de dire "le nombre de bâtons ici est 0".
1 , un . Appliqué à un seul élément. Par exemple, voici un bâton : I
2 , deux . Appliqué à une paire d'articles. Voici deux bâtons : II
3 , trois . Appliqué à trois articles. Voici trois bâtons : III
4 , quatre . Appliqué à quatre articles. Voici quatre bâtons : III I
5 , cinq . Appliqué à cinq articles. Voici cinq bâtons : III II
6 , six . Appliqué à six articles. Voici six bâtons : III III
7 , sept . Appliqué à sept articles. Voici sept bâtons : III III I
8 , huit . Appliqué à huit articles. Voici huit bâtons : III III II
9 , neuf . Appliqué à neuf articles. Voici neuf bâtons : III III III

Tout système numérique définit la valeur de tous les nombres qui contiennent plus d'un chiffre, le plus souvent en ajoutant la valeur des chiffres adjacents. Le système de numération hindou-arabe comprend une notation positionnelle pour déterminer la valeur de tout chiffre. Dans ce type de système, l'augmentation de valeur pour un chiffre supplémentaire comprend une ou plusieurs multiplications avec la valeur de base et le résultat est ajouté à la valeur d'un chiffre adjacent. Avec les chiffres arabes, la valeur de base de dix produit une valeur de vingt et un (égale à 2×10 + 1 ) pour le chiffre "21". Une multiplication supplémentaire avec la valeur de base se produit pour chaque chiffre supplémentaire, de sorte que le chiffre "201" représente une valeur de deux cent un (égale à 2×10×10 + 0×10 + 1 ).

Le niveau d'étude élémentaire comprend généralement la compréhension de la valeur des nombres entiers individuels en utilisant des chiffres arabes avec un maximum de sept chiffres et l'exécution des quatre opérations de base en utilisant des chiffres arabes avec un maximum de quatre chiffres chacun.

Une addition

+ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 dix
2 2 3 4 5 6 7 8 9 dix 11
3 3 4 5 6 7 8 9 dix 11 12
4 4 5 6 7 8 9 dix 11 12 13
5 5 6 7 8 9 dix 11 12 13 14
6 6 7 8 9 dix 11 12 13 14 15
7 7 8 9 dix 11 12 13 14 15 16
8 8 9 dix 11 12 13 14 15 16 17
9 9 dix 11 12 13 14 15 16 17 18

Lorsque deux nombres sont additionnés, le résultat est appelé somme . Les deux nombres additionnés sont appelés addends .

Que signifie additionner deux nombres naturels ?

Supposons que vous ayez deux sacs, un sac contenant cinq pommes et un second sac contenant trois pommes. En saisissant un troisième sac vide, déplacez toutes les pommes des premier et deuxième sacs dans le troisième sac. Le troisième sac contient maintenant huit pommes. Cela illustre la combinaison de trois pommes et cinq pommes est huit pommes; ou plus généralement : « trois plus cinq font huit » ou « trois plus cinq égalent huit » ou « huit est la somme de trois et cinq ». Les nombres sont abstraits, et l'addition d'un groupe de trois choses à un groupe de cinq choses donnera un groupe de huit choses. L'addition est un regroupement : deux ensembles d'objets qui ont été comptés séparément sont mis dans un seul groupe et comptés ensemble : le compte du nouveau groupe est la « somme » des comptes séparés des deux groupes d'origine.

Cette opération de combinaison n'est qu'une des nombreuses significations possibles que peut avoir l'opération mathématique d'addition. D'autres significations pour l'addition incluent :

  • en comparant ("Tom a 5 pommes. Jane a 3 pommes de plus que Tom. Combien de pommes Jane a-t-elle ?"),
  • rejoindre ("Tom a 5 pommes. Jane lui donne 3 pommes de plus. Combien de pommes Tom a-t-il maintenant ?"),
  • mesurant ("Le bureau de Tom mesure 3 pieds de large. Celui de Jane mesure également 3 pieds de large. Quelle sera la largeur de leurs bureaux une fois assemblés ?"),
  • et parfois même se séparant ("Tom avait des pommes. Il en a donné 3 à Jane. Maintenant il en a 5. Avec combien en a-t-il commencé ?").

Symboliquement, l'addition est représentée par le " signe plus " : +. Ainsi, l'énoncé "trois plus cinq égale huit" peut s'écrire symboliquement sous la forme 3 + 5 = 8 . L'ordre dans lequel deux nombres sont ajoutés n'a pas d'importance, donc 3 + 5 = 5 + 3 = 8 . C'est la propriété commutative de l'addition.

Pour additionner une paire de chiffres à l'aide du tableau, recherchez l'intersection de la ligne du premier chiffre avec la colonne du deuxième chiffre : la ligne et la colonne se coupent au niveau d'un carré contenant la somme des deux chiffres. Certaines paires de chiffres totalisent des nombres à deux chiffres, le chiffre des dizaines étant toujours un 1. Dans l'algorithme d'addition, le chiffre des dizaines de la somme d'une paire de chiffres est appelé « chiffre de retenue ».

Algorithme d'addition

Pour plus de simplicité, ne considérez que les nombres à trois chiffres ou moins. Pour ajouter une paire de nombres (écrits en chiffres arabes), écrivez le deuxième nombre sous le premier, de sorte que les chiffres s'alignent en colonnes : la colonne la plus à droite contiendra le chiffre des unités du deuxième nombre sous le chiffre des unités du premier numéro. Cette colonne la plus à droite est la colonne des uns. La colonne immédiatement à sa gauche est la colonne des dizaines. La colonne des dizaines aura le chiffre des dizaines du deuxième nombre (s'il en a un) sous le chiffre des dizaines du premier nombre (s'il en a un). La colonne immédiatement à gauche de la colonne des dizaines est la colonne des centaines. La colonne des centaines alignera le chiffre des centaines du deuxième nombre (s'il y en a un) sous le chiffre des centaines du premier nombre (s'il y en a un).

Une fois que le deuxième nombre a été écrit sous le premier afin que les chiffres s'alignent dans leurs colonnes correctes, tracez une ligne sous le deuxième nombre (en bas). Commencez par la colonne des uns : la colonne des uns doit contenir une paire de chiffres : le chiffre des uns du premier nombre et, en dessous, le chiffre des uns du deuxième nombre. Trouvez la somme de ces deux chiffres : écrivez cette somme sous la ligne et dans la colonne des uns. Si la somme a deux chiffres, écrivez seulement le chiffre un de la somme. Écrivez le « chiffre de retenue » au-dessus du chiffre du haut de la colonne suivante : dans ce cas, la colonne suivante est la colonne des dizaines, alors écrivez un 1 au-dessus du chiffre des dizaines du premier nombre.

Si le premier et le deuxième nombre n'ont chacun qu'un seul chiffre, leur somme est indiquée dans la table d'addition et l'algorithme d'addition est inutile.

Vient ensuite la colonne des dizaines. La colonne des dizaines peut contenir deux chiffres : le chiffre des dizaines du premier nombre et le chiffre des dizaines du deuxième nombre. Si l'un des nombres a un chiffre des dizaines manquant, le chiffre des dizaines de ce nombre peut être considéré comme un 0. Additionnez les chiffres des dizaines des deux nombres. Ensuite, s'il y a un chiffre de retenue, ajoutez-le à cette somme. Si la somme était de 18, l'ajout du chiffre de retenue donnera 19. Si la somme des chiffres des dizaines (plus le chiffre de retenue, s'il y en a un) est inférieure à dix, écrivez-la dans la colonne des dizaines sous la ligne. Si la somme a deux chiffres, écrivez son dernier chiffre dans la colonne des dizaines sous la ligne et reportez son premier chiffre (qui devrait être un 1) à la colonne suivante : dans ce cas, la colonne des centaines.

Si aucun des deux nombres n'a de chiffre de centaines, s'il n'y a pas de chiffre de retenue, l'algorithme d'addition est terminé. S'il y a un chiffre de retenue (reporté de la colonne des dizaines), écrivez-le dans la colonne des centaines sous la ligne et l'algorithme est terminé. Lorsque l'algorithme se termine, le nombre sous la ligne est la somme des deux nombres.

Si au moins un des nombres a un chiffre des centaines, alors si l'un des nombres a un chiffre des centaines manquant, écrivez un chiffre 0 à sa place. Ajoutez les deux chiffres des centaines, et à leur somme ajoutez le chiffre de retenue s'il y en a un. Ensuite, écrivez la somme de la colonne des centaines sous la ligne, également dans la colonne des centaines. Si la somme a deux chiffres, notez le dernier chiffre de la somme dans la colonne des centaines et écrivez le chiffre de retenue à sa gauche : sur la colonne des milliers.

Exemple

Pour trouver la somme des nombres 653 et 274, écrivez le deuxième nombre sous le premier, avec les chiffres alignés en colonnes, comme suit :

6 5 3
2 7 4

Tracez ensuite une ligne sous le deuxième nombre et mettez un signe plus. L'ajout commence par la colonne des uns. Le chiffre des uns du premier nombre est 3 et du deuxième nombre est 4. La somme de trois et quatre est sept, alors écrivez un 7 dans la colonne des uns sous la ligne :

6 5 3
+ 2 7 4
7

Ensuite, la colonne des dizaines. Le chiffre des dizaines du premier nombre est 5, et le chiffre des dizaines du deuxième nombre est 7. 5 plus 7 est 12, qui a deux chiffres, alors écrivez son dernier chiffre, 2, dans la colonne des dizaines sous la ligne , et écrivez le chiffre de retenue sur la colonne des centaines au-dessus du premier nombre :

1
6 5 3
+ 2 7 4
2 7

Ensuite, la colonne des centaines. Le chiffre des centaines du premier nombre est 6, tandis que le chiffre des centaines du deuxième nombre est 2. La somme de six et deux est huit, mais il y a un chiffre de retenue, qui ajouté à huit est égal à neuf. Écrivez le 9 sous la ligne dans la colonne des centaines :

1
6 5 3
+ 2 7 4
9 2 7

Aucun chiffre (et aucune colonne) n'a été laissé non ajouté, donc l'algorithme se termine, donnant comme résultat l'équation suivante :

653 + 274 = 927

Succession et taille

Le résultat de l'addition de un à un nombre est le successeur de ce nombre. Exemples :
le successeur de zéro est un,
le successeur de un est deux,
le successeur de deux est trois,
le successeur de dix est onze.
Chaque nombre naturel a un successeur.

Le prédécesseur du successeur d'un nombre est le nombre lui-même. Par exemple, cinq est le successeur de quatre donc quatre est le prédécesseur de cinq. Tout nombre naturel sauf zéro a un prédécesseur.

Si un nombre est le successeur d'un autre nombre, alors le premier nombre est dit supérieur à l'autre nombre. Si un nombre est supérieur à un autre nombre et si l'autre nombre est supérieur à un troisième nombre, alors le premier nombre est également supérieur au troisième nombre. Exemple : cinq est supérieur à quatre et quatre est supérieur à trois, donc cinq est supérieur à trois. Mais six est supérieur à cinq, donc six est également supérieur à trois. Mais sept est plus grand que six, donc sept est aussi plus grand que trois... donc huit est plus grand que trois... donc neuf est plus grand que trois, etc.

Si deux nombres naturels non nuls sont additionnés, alors leur somme est supérieure à l'un ou l'autre. Exemple : trois plus cinq égalent huit, donc huit est supérieur à trois ( 8 > 3 ) et huit est supérieur à cinq ( 8 > 5 ). Le symbole pour "supérieur à" est >.

Si un nombre est supérieur à un autre, alors l'autre est inférieur au premier. Exemples : trois est inférieur à huit ( 3 < 8 ) et cinq est inférieur à huit ( 5 < 8 ). Le symbole pour "inférieur à" est <. Un nombre ne peut pas être à la fois supérieur et inférieur à un autre nombre. Un nombre ne peut pas non plus être à la fois supérieur et égal à un autre nombre. Étant donné une paire de nombres naturels, un et un seul des cas suivants doit être vrai :

  • le premier nombre est supérieur au second,
  • le premier nombre est égal au second,
  • le premier nombre est inférieur au second.

Compte

Compter un groupe d'objets signifie attribuer un nombre naturel à chacun des objets, comme s'il s'agissait d'une étiquette pour cet objet, de sorte qu'un nombre naturel n'est jamais attribué à un objet à moins que son prédécesseur n'ait déjà été attribué à un autre objet, à l'exception que zéro n'est attribué à aucun objet : le plus petit nombre naturel à attribuer est un, et le plus grand nombre naturel attribué dépend de la taille du groupe. C'est ce qu'on appelle le compte et il est égal au nombre d'objets dans ce groupe. Le comptage peut également être considéré comme le processus de décompte à l'aide de marques de décompte.

Le processus de comptage d' un groupe est le suivant :

  1. Soit "le compte" égal à zéro. « Le compte » est une quantité variable qui, bien que commençant par une valeur de zéro, verra bientôt sa valeur modifiée plusieurs fois.
  2. Trouvez au moins un objet dans le groupe qui n'a pas été étiqueté avec un nombre naturel. Si aucun objet de ce type ne peut être trouvé (s'ils ont tous été étiquetés), alors le comptage est terminé. Sinon, choisissez l'un des objets sans étiquette.
  3. Augmentez le nombre de un. C'est-à-dire remplacer la valeur du compte par son successeur.
  4. Attribuez la nouvelle valeur du nombre, en tant qu'étiquette, à l'objet non étiqueté choisi à l'étape 2.
  5. Revenez à l'étape 2.

Lorsque le comptage est terminé, la dernière valeur du comptage sera le comptage final. Ce compte est égal au nombre d'objets dans le groupe.

Souvent, lors du comptage d'objets, on ne garde pas trace de quelle étiquette numérique correspond à quel objet : on ne garde une trace que du sous-groupe d'objets qui ont déjà été étiquetés, afin de pouvoir identifier les objets non étiquetés nécessaires à l'étape 2. Cependant , si l'on compte des personnes, alors on peut demander aux personnes qui sont comptées de garder une trace du numéro qui leur a été attribué. Une fois le décompte terminé, il est possible de demander au groupe de personnes de se ranger en ligne, par ordre croissant d'étiquette numérique. Ce que les personnes feraient pendant le processus d'alignement serait quelque chose comme ceci : chaque paire de personnes qui ne sont pas sûres de leur position dans la ligne se demande quel est leur nombre : la personne dont le nombre est le plus petit doit se tenir sur le côté gauche et celui avec le plus grand nombre à droite de l'autre personne. Ainsi, des paires de personnes comparent leurs nombres et leurs positions, et commutent leurs positions si nécessaire, et par la répétition de telles commutations conditionnelles, elles deviennent ordonnées.

En mathématiques supérieures, le processus de comptage peut également être comparé à la construction d'une correspondance bijective (ou bijection) entre les éléments d'un ensemble et l'ensemble {1, ..., n} (où n est un entier naturel). Une fois cette correspondance établie, le premier ensemble est alors dit de taille n.

Soustraction

La soustraction est l'opération mathématique qui décrit une quantité réduite. Le résultat de cette opération est la différence entre deux nombres, le minuend et le subtrahend . Comme pour l'addition, la soustraction peut avoir plusieurs interprétations, telles que :

  • séparation ("Tom a 8 pommes. Il donne 3 pommes. Combien lui en reste-t-il ?")
  • comparer ("Tom a 8 pommes. Jane a 3 pommes de moins que Tom. Combien Jane a-t-elle ?")
  • combiner ("Tom a 8 pommes. Trois des pommes sont vertes et les autres sont rouges. Combien sont rouges ?")
  • et parfois en rejoignant ("Tom avait des pommes. Jane lui a donné 3 pommes de plus, donc maintenant il a 8 pommes. Avec combien en a-t-il commencé ?").

Comme pour l'addition, il existe d'autres interprétations possibles, telles que mouvement .

Symboliquement, le signe moins ("−") représente l'opération de soustraction. Ainsi, l'énoncé "cinq moins trois égale deux" s'écrit également 5 − 3 = 2 . En arithmétique élémentaire, la soustraction utilise des nombres positifs plus petits pour toutes les valeurs afin de produire des solutions plus simples.

Contrairement à l'addition, la soustraction n'est pas commutative, donc l'ordre des nombres dans l'opération peut changer le résultat. Par conséquent, chaque numéro est pourvu d'un nom distinctif différent. Le premier nombre (5 dans l'exemple précédent) est formellement défini comme le minuend et le deuxième nombre (3 dans l'exemple précédent) comme le subtrahend . La valeur du minuend est plus grande que la valeur du subtrahend de sorte que le résultat est un nombre positif, mais une valeur plus petite du minuend entraînera des nombres négatifs .

Il existe plusieurs méthodes pour effectuer une soustraction. La méthode qui aux États-Unis est appelée mathématiques traditionnelles enseigne aux élèves du primaire à soustraire à l'aide de méthodes adaptées au calcul manuel. La méthode particulière utilisée varie d'un pays à l'autre, et au sein d'un pays, différentes méthodes sont à la mode à différents moments. Les mathématiques réformées se distinguent généralement par l'absence de préférence pour une technique spécifique, remplacée par le fait de guider les élèves de 2e année à inventer leurs propres méthodes de calcul, comme l'utilisation des propriétés des nombres négatifs dans le cas de TERC .

Les écoles américaines enseignent actuellement une méthode de soustraction utilisant l'emprunt et un système de marquage appelé béquilles. Bien qu'une méthode d'emprunt ait été connue et publiée dans des manuels auparavant, les béquilles sont apparemment l'invention de William A. Browell, qui les a utilisées dans une étude en novembre 1937 [1] . Ce système s'est répandu rapidement, déplaçant les autres méthodes de soustraction en usage en Amérique à cette époque.

Les étudiants de certains pays européens apprennent, et certains Américains plus âgés, une méthode de soustraction appelée méthode autrichienne, également connue sous le nom de méthode des additions. Il n'y a pas d'emprunt dans cette méthode. Il existe aussi des béquilles (marquages ​​pour aider la mémoire) qui [probablement] varient selon les pays.

Dans la méthode d'emprunt, une soustraction telle que 86 − 39 accomplira la soustraction à une place de 9 à 6 en empruntant un 10 à 80 et en l'ajoutant au 6. Le problème se transforme ainsi en (70 + 16) − 39 , efficacement. Ceci est indiqué en barrant le 8, en écrivant un petit 7 au-dessus et un petit 1 au-dessus du 6. Ces marques sont appelées béquilles . Le 9 est ensuite soustrait de 16, laissant 7, et le 30 de 70, laissant 40, ou 47 comme résultat.

Dans la méthode des additions, un 10 est emprunté pour transformer le 6 en 16, en préparation de la soustraction de 9, tout comme dans la méthode de l'emprunt. Cependant, le 10 n'est pas pris en réduisant le minuend, mais on augmente le subtrahend. Effectivement, le problème se transforme en (80 + 16) − (39 + 10) . En règle générale, une béquille de petite taille est marquée juste en dessous du chiffre de soustraction à titre de rappel. Ensuite, les opérations se déroulent : 9 de 16 est 7 ; et 40 (c'est-à-dire 30 + 10 ) de 80 est 40, ou 47 comme résultat.

La méthode des additions semble être enseignée en deux variantes, qui ne diffèrent que par la psychologie. En continuant l'exemple de 86 − 39 , la première variation tente de soustraire 9 de 6, puis 9 de 16, en empruntant un 10 en marquant près du chiffre de la soustraction dans la colonne suivante. La deuxième variante tente de trouver un chiffre qui, ajouté à 9, donne 6, et reconnaissant que ce n'est pas possible, donne 16, et portant le 10 des 16 comme un marquage près du même chiffre que dans la première méthode. Les marquages ​​sont les mêmes ; c'est juste une question de préférence quant à la façon dont on explique son apparence.

Dernière mise en garde, la méthode d'emprunt se complique un peu dans des cas tels que 100 − 87 , où un emprunt ne peut pas être effectué immédiatement et doit être obtenu en parcourant plusieurs colonnes. Dans ce cas, le minuend est effectivement réécrit sous la forme 90 + 10 , en prenant un 100 parmi les centaines, en en faisant dix 10, et en l'empruntant immédiatement jusqu'à neuf 10 dans la colonne des dizaines et enfin en plaçant un 10 dans la colonne des unités.

Multiplication

× 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
2 0 2 4 6 8 dix 12 14 16 18
3 0 3 6 9 12 15 18 21 24 27
4 0 4 8 12 16 20 24 28 32 36
5 0 5 dix 15 20 25 30 35 40 45
6 0 6 12 18 24 30 36 42 48 54
7 0 7 14 21 28 35 42 49 56 63
8 0 8 16 24 32 40 48 56 64 72
9 0 9 18 27 36 45 54 63 72 81

Lorsque deux nombres sont multipliés ensemble, le résultat est appelé un produit . Les deux nombres multipliés ensemble sont appelés facteurs , le multiplicande et le multiplicateur étant également utilisés.

Que signifie multiplier deux nombres naturels ?

Supposons qu'il y ait cinq sacs rouges, chacun contenant trois pommes. Maintenant, en saisissant un sac vert vide, déplacez toutes les pommes des cinq sacs rouges dans le sac vert. Maintenant, le sac vert aura quinze pommes.
Ainsi, le produit de cinq et trois est quinze.
Cela peut également être déclaré comme « cinq fois trois égale quinze » ou « cinq fois trois égale quinze » ou « quinze est le produit de cinq et trois ». La multiplication peut être vue comme une forme d' addition répétée : le premier facteur indique combien de fois le deuxième facteur apparaît dans l'addition répétée ; la somme finale étant le produit.

Symboliquement, la multiplication est représentée par le signe de multiplication : ×. Ainsi, la déclaration "cinq fois trois égale quinze" peut être écrite symboliquement comme

Dans certains pays, et en arithmétique plus avancée, d'autres signes de multiplication sont utilisés, par exemple 5 3 . Dans certaines situations, notamment en algèbre , où les nombres peuvent être symbolisés par des lettres, le symbole de multiplication peut être omis ; par exemple xy signifie x × y . L'ordre dans lequel deux nombres sont multipliés n'a pas d'importance, de sorte que, par exemple, trois fois quatre égale quatre fois trois. C'est la propriété commutative de la multiplication.

Pour multiplier une paire de chiffres à l'aide du tableau, trouvez l'intersection de la ligne du premier chiffre avec la colonne du deuxième chiffre : la ligne et la colonne se coupent au niveau d'un carré contenant le produit des deux chiffres. La plupart des paires de chiffres produisent des nombres à deux chiffres. Dans l'algorithme de multiplication, le chiffre des dizaines du produit d'une paire de chiffres est appelé " chiffre de retenue ".

Algorithme de multiplication pour un facteur à un chiffre

Considérons une multiplication où l'un des facteurs a plusieurs chiffres, tandis que l'autre facteur n'a qu'un seul chiffre. Notez le facteur à plusieurs chiffres, puis écrivez le facteur à un chiffre sous le chiffre le plus à droite du facteur à plusieurs chiffres. Tracez une ligne horizontale sous le facteur à un chiffre. Désormais, le facteur à plusieurs chiffres sera appelé multiplicande , et le facteur à un chiffre sera appelé multiplicateur .

Supposons pour simplifier que le multiplicande a trois chiffres. Le chiffre le plus à gauche est le chiffre des centaines, le chiffre du milieu est le chiffre des dizaines et le chiffre le plus à droite est le chiffre des unités. Le multiplicateur n'a qu'un chiffre un. Les chiffres du multiplicande et du multiplicateur forment une colonne : la colonne des uns.

Commencez par la colonne des uns : la colonne des uns doit contenir une paire de chiffres : le chiffre des uns du multiplicande et, en dessous, le chiffre des uns du multiplicateur. Trouvez le produit de ces deux chiffres : écrivez ce produit sous la ligne et dans la colonne des uns. Si le produit a deux chiffres, écrivez uniquement le chiffre un du produit. Écrivez le "chiffre de retenue" en exposant du chiffre non encore écrit dans la colonne suivante et sous la ligne : dans ce cas, la colonne suivante est la colonne des dizaines, alors écrivez le chiffre de retenue en exposant des dizaines encore non écrites -chiffre du produit (sous la ligne).

Si le premier et le deuxième nombre n'ont chacun qu'un seul chiffre, alors leur produit est donné dans la table de multiplication - rendant ainsi l'algorithme de multiplication inutile.

Vient ensuite la colonne des dizaines. La colonne des dizaines ne contient jusqu'à présent qu'un seul chiffre : le chiffre des dizaines du multiplicande (bien qu'il puisse contenir un chiffre de retenue sous la ligne). Trouvez le produit du multiplicateur et des chiffres des dizaines du multiplicande. Ensuite, s'il y a un chiffre de retenue (en exposant, sous la ligne et dans la colonne des dizaines), ajoutez-le à ce produit. Si la somme résultante est inférieure à dix, écrivez-la dans la colonne des dizaines sous la ligne. Si la somme a deux chiffres, écrivez son dernier chiffre dans la colonne des dizaines sous la ligne et reportez son premier chiffre à la colonne suivante : dans ce cas, la colonne des centaines.

Si le multiplicande n'a pas de chiffre des centaines, s'il n'y a pas de chiffre de retenue, l'algorithme de multiplication est terminé. S'il y a un chiffre de retenue (reporté de la colonne des dizaines), écrivez-le dans la colonne des centaines sous la ligne et l'algorithme est terminé. Lorsque l'algorithme se termine, le nombre sous la ligne est le produit des deux nombres.

Si le multiplicande a un chiffre des centaines, trouvez le produit du multiplicateur et le chiffre des centaines du multiplicande, et à ce produit ajoutez le chiffre de retenue s'il y en a un. Ensuite, écrivez la somme résultante de la colonne des centaines sous la ligne, également dans la colonne des centaines. Si la somme a deux chiffres, notez le dernier chiffre de la somme dans la colonne des centaines et écrivez le chiffre de retenue à sa gauche : sur la colonne des milliers.

Exemple

Pour trouver le produit des nombres 3 et 729, écrivez le multiplicateur à un chiffre sous le multiplicande à plusieurs chiffres, avec le multiplicateur sous le chiffre un du multiplicande, comme suit :

7 2 9
3

Ensuite, tracez une ligne sous le multiplicateur et mettez un symbole de multiplication. La multiplication commence par la colonne des uns. Le chiffre des uns du multiplicande est 9 et le multiplicateur est 3. Le produit de 3 et 9 est 27, donc écrivez un 7 dans la colonne des uns sous la ligne, et écrivez le chiffre de report 2 en exposant du encore - chiffres des dizaines non écrits du produit sous la ligne :

7 2 9
× 3
2 7

Ensuite, la colonne des dizaines. Le chiffre des dizaines du multiplicande est 2, le multiplicateur est 3 et trois fois deux font six. Ajoutez le chiffre de retenue, 2, au produit, 6, pour obtenir 8. Huit n'a qu'un seul chiffre : pas de chiffre de retenue, alors écrivez dans la colonne des dizaines sous la ligne. Vous pouvez effacer les deux maintenant.

7 2 9
× 3
8 7

Ensuite, la colonne des centaines. Le chiffre des centaines du multiplicande est 7, tandis que le multiplicateur est 3. Le produit de 3 et 7 est 21, et il n'y a pas de chiffre de report précédent (reporté de la colonne des dizaines). Le produit 21 a deux chiffres : écrire son dernier chiffre dans la colonne des centaines sous la ligne, puis reporter son premier chiffre sur la colonne des milliers. Étant donné que le multiplicande n'a pas de chiffre des milliers, écrivez ce chiffre de report dans la colonne des milliers sous la ligne (pas en exposant) :

7 2 9
× 3
2 1 8 7

Aucun chiffre du multiplicande n'a été laissé non multiplié, donc l'algorithme se termine, donnant comme résultat l'équation suivante :

Algorithme de multiplication pour les facteurs à plusieurs chiffres

Étant donné une paire de facteurs, chacun ayant deux chiffres ou plus, écrivez les deux facteurs, l'un sous l'autre, de sorte que les chiffres s'alignent en colonnes.

Pour plus de simplicité, considérons une paire de nombres à trois chiffres. Écrivez le dernier chiffre du deuxième nombre sous le dernier chiffre du premier nombre, formant la colonne des uns. Immédiatement à gauche de la colonne des unités se trouvera la colonne des dizaines : le haut de cette colonne aura le deuxième chiffre du premier nombre, et en dessous ce sera le deuxième chiffre du deuxième nombre. Immédiatement à gauche de la colonne des dizaines se trouvera la colonne des centaines : le haut de cette colonne aura le premier chiffre du premier nombre et en dessous ce sera le premier chiffre du deuxième nombre. Après avoir noté les deux facteurs, tracez une ligne sous le deuxième facteur.

La multiplication comprendra deux parties. La première partie consistera en plusieurs multiplications impliquant des multiplicateurs à un chiffre. Le fonctionnement de chacune de ces multiplications était déjà décrit dans l'algorithme de multiplication précédent, donc cet algorithme ne décrira pas chacune individuellement, mais décrira seulement comment les plusieurs multiplications avec des multiplicateurs à un chiffre doivent être coordonnées. La deuxième partie additionnera tous les sous-produits de la première partie, et la somme résultante sera le produit.

Première partie . Appelons le premier facteur le multiplicande. Que chaque chiffre du deuxième facteur soit appelé un multiplicateur. Appelons le chiffre des uns du deuxième facteur le "multiplicateur de uns". Appelons le chiffre des dizaines du deuxième facteur le "multiplicateur des dizaines". Soit le chiffre des centaines du deuxième facteur appelé le "multiplicateur de centaines".

Commencez par la colonne des uns. Trouvez le produit du multiplicateur de uns et du multiplicande et notez-le dans une rangée sous la ligne, en alignant les chiffres du produit dans les colonnes définies précédemment. Si le produit a quatre chiffres, le premier chiffre sera le début de la colonne des milliers. Que ce produit soit appelé le « un-rang ».

Puis la colonne des dizaines. Trouvez le produit du multiplicateur des dizaines et du multiplicande et notez-le sur une ligne - appelez-le "ligne des dizaines" - sous la ligne des unités, mais décalé d'une colonne vers la gauche . C'est-à-dire que le chiffre des unités de la ligne des dizaines sera dans la colonne des dizaines de la ligne des unités ; le chiffre des dizaines de la ligne des dizaines sera sous le chiffre des centaines de la ligne des unités ; le chiffre des centaines de la ligne des dizaines sera sous le chiffre des milliers de la ligne des unités. Si la ligne des dizaines a quatre chiffres, le premier chiffre sera le début de la colonne des dizaines.

Ensuite, la colonne des centaines. Trouvez le produit du multiplicateur de centaines et du multiplicande et notez-le sur une ligne - appelez-le la "ligne des centaines" - sous la ligne des dizaines, mais en déplaçant une colonne de plus vers la gauche. C'est-à-dire que le chiffre des unités de la ligne des centaines sera dans la colonne des centaines ; le chiffre des dizaines de la ligne des centaines sera dans la colonne des milliers ; le chiffre des centaines de la ligne des centaines sera dans la colonne des dizaines de milliers. Si la ligne des centaines a quatre chiffres, le premier chiffre sera le début de la colonne des centaines de milliers.

Après avoir descendu les lignes des unités, des dizaines et des centaines, tracez une ligne horizontale sous la ligne des centaines. Les multiplications sont terminées.

Deuxième partie . Maintenant, la multiplication a une paire de lignes. Le premier sous la paire de facteurs, et le second sous les trois rangées de sous-produits. Sous la deuxième ligne, il y aura six colonnes, qui de droite à gauche sont les suivantes : colonne des unités, colonne des dizaines, colonne des centaines, colonne des milliers, colonne des dix mille et colonne des cent mille.

Entre la première et la deuxième ligne, la colonne des uns contiendra un seul chiffre, situé dans la ligne des uns : c'est le chiffre des uns de la ligne des uns. Copiez ce chiffre en le réécrivant dans la colonne des unités sous la deuxième ligne.

Entre la première et la deuxième ligne, la colonne des dizaines contiendra une paire de chiffres situés dans la ligne des unités et la ligne des dizaines : le chiffre des dizaines de la ligne des unités et le chiffre des unités de la ligne des dizaines. Additionnez ces chiffres et si la somme n'a qu'un chiffre, écrivez ce chiffre dans la colonne des dizaines sous la deuxième ligne. Si la somme a deux chiffres, le premier chiffre est un chiffre de retenue : écrivez le dernier chiffre dans la colonne des dizaines sous la deuxième ligne et reportez le premier chiffre à la colonne des centaines, en l'écrivant en exposant jusqu'au -des centaines de chiffres non écrits sous la deuxième ligne.

Entre la première et la deuxième ligne, la colonne des centaines contiendra trois chiffres : le chiffre des centaines de la ligne des unités, le chiffre des dizaines de la ligne des dizaines et le chiffre des unités de la ligne des centaines. Trouvez la somme de ces trois chiffres, puis s'il existe un chiffre de retenue de la colonne des dizaines (écrit en exposant sous la deuxième ligne de la colonne des centaines), ajoutez également ce chiffre de retenue. Si la somme résultante a un chiffre, notez-la sous la deuxième ligne de la colonne des centaines ; s'il a deux chiffres, écrivez le dernier chiffre sous la ligne dans la colonne des centaines et reportez le premier chiffre à la colonne des milliers, en l'écrivant en exposant sur le chiffre des milliers non encore écrit sous la ligne.

Entre la première et la deuxième ligne, la colonne des milliers contiendra deux ou trois chiffres : le chiffre des centaines de la ligne des dizaines, le chiffre des dizaines de la ligne des centaines et (éventuellement) le chiffre des milliers des unités -ligne. Trouvez la somme de ces chiffres, puis s'il existe un chiffre de retenue de la colonne des centaines (écrit en exposant sous la deuxième ligne de la colonne des milliers), ajoutez également ce chiffre de retenue. Si la somme résultante a un chiffre, notez-la sous la deuxième ligne de la colonne des milliers ; s'il a deux chiffres, écrivez le dernier chiffre sous la ligne dans la colonne des milliers et reportez le premier chiffre à la colonne des dix mille, en l'écrivant en exposant sur le chiffre des dix mille non encore écrit sous la ligne.

Entre la première et la deuxième ligne, la colonne des dizaines contiendra un ou deux chiffres : le chiffre des centaines de la colonne des centaines et (éventuellement) le chiffre des milliers de la colonne des dizaines. Trouvez la somme de ces chiffres (si celui de la ligne des dizaines manque, pensez-y comme un 0), et s'il y a un chiffre de retenue de la colonne des milliers (écrit en exposant sous la deuxième ligne de la ligne des dizaines). milliers de colonnes), puis ajoutez également ce chiffre de report. Si la somme résultante a un chiffre, notez-la sous la deuxième ligne de la colonne des dix mille ; s'il a deux chiffres, écrivez le dernier chiffre sous la ligne dans la colonne des dix mille et transférez le premier chiffre dans la colonne des cent mille, en l'écrivant en exposant jusqu'au chiffre des cent mille non encore écrit sous la ligne. Cependant, si la ligne des centaines n'a pas de chiffre des milliers, n'écrivez pas ce chiffre de report en exposant, mais en taille normale, à la position du chiffre des centaines de milliers sous la deuxième ligne, et l'algorithme de multiplication est terminé. .

Si la ligne des centaines a un chiffre des milliers, ajoutez-y le chiffre de retenue de la ligne précédente (s'il n'y a pas de chiffre de retenue, considérez-le comme un 0) et écrivez la somme à un chiffre dans la centaine -colonne des milliers sous la deuxième ligne.

Le nombre sous la deuxième ligne est le produit recherché du couple de facteurs au-dessus de la première ligne.

Exemple

Soit notre objectif de trouver le produit de 789 et 345. Écrivez le 345 sous le 789 en trois colonnes, et tracez une ligne horizontale en dessous :

7 8 9
3 4 5

Première partie . Commencez par la colonne des uns. Le multiplicande est 789 et le multiplicateur uns est 5. Effectuez la multiplication d'une ligne sous la ligne :

7 8 9
× 3 4 5
3 9 4 4 4 5

Puis la colonne des dizaines. Le multiplicande est 789 et le multiplicateur des dizaines est 4. Effectuez la multiplication dans la ligne des dizaines, sous le sous-produit précédent dans la ligne des unités, mais décalé d'une colonne vers la gauche :

7 8 9
× 3 4 5
3 9 4 4 4 5
3 1 3 5 3 6

Ensuite, la colonne des centaines. Le multiplicande est à nouveau 789 et le multiplicateur de centaines est 3. Effectuez la multiplication dans la ligne des centaines, sous le sous-produit précédent dans la ligne des dizaines, mais décalé d'une (plus) colonne vers la gauche. Tracez ensuite une ligne horizontale sous la ligne des centaines :

7 8 9
× 3 4 5
3 9 4 4 4 5
3 1 3 5 3 6
+ 2 3 2 6 2 7

Deuxième partie. Ajoutez maintenant les sous-produits entre les première et deuxième lignes, mais en ignorant les chiffres de retenue en exposant situés entre les première et deuxième lignes.

7 8 9
× 3 4 5
3 9 4 4 4 5
3 1 3 5 3 6
+ 2 3 2 6 2 7      
2 7 1 2 2 2 1 0 5

La réponse est

.

Division

En mathématiques , surtout en arithmétique élémentaire , la division est une opération arithmétique qui est l'inverse de la multiplication .

Concrètement, étant donné un nombre a et un nombre b non nul , si un autre nombre c fois b est égal à a , c'est :

alors a divisé par b est égal à c . C'est-à-dire:

Par exemple,

puisque

.

Dans l'expression ci-dessus, a est appelé le dividende , b le diviseur et c le quotient . La division par zéro - où le diviseur est zéro - n'est généralement pas définie en arithmétique élémentaire.

Notation des divisions

La division est le plus souvent représentée en plaçant le dividende sur le diviseur avec une ligne horizontale, également appelée vinculum , entre eux. Par exemple, a divisé par b s'écrit :

Cela peut être lu à haute voix comme " a divisé par b " ou " a sur b ". Une façon d'exprimer la division sur une seule ligne consiste à écrire le dividende , puis une barre oblique , puis le diviseur , comme suit :

C'est la manière habituelle de spécifier la division dans la plupart des langages de programmation informatique , car elle peut facilement être saisie sous forme d'une simple séquence de caractères.

Une variation manuscrite ou typographique - qui est à mi-chemin entre ces deux formes - utilise un solidus (barre oblique de fraction) mais élève le dividende et abaisse le diviseur, comme suit :

a / b

N'importe laquelle de ces formes peut être utilisée pour afficher une fraction . Une fraction commune est une expression de division où le dividende et le diviseur sont des entiers (bien que généralement appelés numérateur et dénominateur ), et il n'y a aucune implication que la division doive être évaluée davantage.

Une façon plus simple de montrer la division est d'utiliser l' obelus (ou signe de division) de cette manière :

Cette forme est peu fréquente, sauf en arithmétique de base. L'obelus est également utilisé seul pour représenter l'opération de division elle-même, par exemple, comme une étiquette sur une touche d'une calculatrice .

Dans certaines cultures non anglophones , " a divisé par b " s'écrit a  : b . Cependant, dans l'usage anglais, les deux points se limitent à exprimer le concept connexe de ratios (alors " a est à b ").

Avec une connaissance des tables de multiplication , deux nombres entiers peuvent être divisés sur papier en utilisant la méthode de la division longue . Une version abrégée de la division longue, division courte , peut également être utilisée pour les diviseurs plus petits.

Une méthode moins systématique - mais qui conduit à une compréhension plus holistique de la division en général - implique le concept de fractionnement . En permettant de soustraire plus de multiples du reste partiel à chaque étape, des méthodes plus libres peuvent également être développées.

Alternativement, si le dividende a une partie fractionnaire (exprimée sous forme de fraction décimale ), on peut continuer l'algorithme au-delà de la place des uns aussi loin que souhaité. Si le diviseur a une partie fractionnaire décimale, on peut reformuler le problème en déplaçant la décimale vers la droite dans les deux nombres jusqu'à ce que le diviseur n'ait plus de fraction.

Pour diviser par une fraction, on peut simplement multiplier par l'inverse (en inversant la position des parties supérieure et inférieure) de cette fraction, par exemple :

Normes éducatives

Les normes locales définissent généralement les méthodes et le contenu pédagogiques inclus dans le niveau d'enseignement élémentaire. Aux États-Unis et au Canada, les sujets controversés incluent la quantité d'utilisation de la calculatrice par rapport au calcul manuel et le débat plus large entre les mathématiques traditionnelles et les mathématiques réformées .

Aux États-Unis, les normes NCTM de 1989 ont conduit à des programmes d'études qui ont minimisé ou omis une grande partie de ce qui était considéré comme l'arithmétique élémentaire à l'école primaire, et l'ont remplacé par un accent sur des sujets traditionnellement étudiés au collège tels que l'algèbre, les statistiques et la résolution de problèmes. , et des méthodes de calcul non standard peu familières à la plupart des adultes.

Outils

L' abaque est l'un des premiers appareils mécaniques permettant d'effectuer des calculs élémentaires, qui est encore utilisé dans de nombreuses régions d'Asie. Les outils de calcul modernes qui effectuent des opérations arithmétiques élémentaires comprennent les caisses enregistreuses , les calculatrices électroniques et les ordinateurs .

Voir également

Les références

Liens externes