Les inégalités de Newton - Newton's inequalities

En mathématiques , les inégalités de Newton portent le nom d' Isaac Newton . Supposons a ₁ ,  a ₂ , ...,  a _n sont des nombres réels et notons le k ième polynôme symétrique élémentaire dans a ₁ ,  a ₂ , ...,  a _n . Alors les moyennes symétriques élémentaires , données par ${\ displaystyle e_ {k}}$

${\ displaystyle S_ {k} = {\ frac {e_ {k}} {\ binom {n} {k}}},}$

satisfaire l' inégalité

${\ displaystyle S_ {k-1} S_ {k + 1} \ leq S_ {k} ^ {2}.}$

Si tous les nombres a _i sont non nuls, alors l'égalité est valable si et seulement si tous les nombres a _i sont égaux.

On peut voir que S ₁ est la moyenne arithmétique et S _n est la n- ième puissance de la moyenne géométrique .

Voir également

• L'inégalité de Maclaurin

Les références

• Hardy, GH; Littlewood, JE; Pólya, G. (1952). Inégalités . La presse de l'Universite de Cambridge. ISBN   978-0521358804 .

• Newton, Isaac (1707). Arithmetica universalis: sive de compositione et resolutione arithmetica liber .
• DS Bernstein Matrix Mathematics: Théorie, faits et formules (2009 Princeton) p. 55
• Maclaurin, C. (1729). "Une deuxième lettre à Martin Folks, Esq .; concernant les racines des équations, avec la démonstration d'autres règles en algèbre" (PDF) . Transactions philosophiques . 36 (407–416): 59–96. doi : 10.1098 / rstl.1729.0011 .
• Whiteley, JN (1969). "Sur l'inégalité de Newton pour les polynômes réels". Le mensuel mathématique américain . The American Mathematical Monthly, vol. 76, n ° 8. 76 (8): 905–909. doi : 10.2307 / 2317943 . JSTOR   2317943 .
• Niculescu, Constantin (2000). "Un nouveau regard sur les inégalités de Newton" . Journal des inégalités en mathématiques pures et appliquées . 1 (2). Article 17.