Intégrale elliptique - Elliptic integral

Dans le calcul intégral , une intégrale elliptique est l'une des nombreuses fonctions connexes définies comme la valeur de certaines intégrales. À l'origine, ils sont apparus en rapport avec le problème de trouver la longueur d'arc d'une ellipse et ont été étudiés pour la première fois par Giulio Fagnano et Leonhard Euler ( c.  1750 ). Les mathématiques modernes définissent une « intégrale elliptique » comme toute fonction f qui peut être exprimée sous la forme

R est une fonction rationnelle de ses deux arguments, P est un polynôme de degré 3 ou 4 sans racines répétées, et c est une constante.

En général, les intégrales sous cette forme ne peuvent pas être exprimées en termes de fonctions élémentaires . Les exceptions à cette règle générale sont lorsque P a des racines répétées, ou lorsque R ( x , y ) ne contient pas de puissances impaires de y . Cependant, avec la formule de réduction appropriée , chaque intégrale elliptique peut être amenée sous une forme qui implique des intégrales sur des fonctions rationnelles et les trois formes canoniques de Legendre (c'est-à-dire les intégrales elliptiques de première, deuxième et troisième sortes).

Outre la forme de Legendre donnée ci-dessous, les intégrales elliptiques peuvent également être exprimées sous la forme symétrique de Carlson . Un aperçu supplémentaire de la théorie de l'intégrale elliptique peut être obtenu grâce à l'étude de la cartographie de Schwarz-Christoffel . Historiquement, les fonctions elliptiques ont été découvertes comme des fonctions inverses d'intégrales elliptiques.

Notation des arguments

Les intégrales elliptiques incomplètes sont des fonctions de deux arguments ; les intégrales elliptiques complètes sont des fonctions d'un seul argument. Ces arguments sont exprimés de diverses manières différentes mais équivalentes (elles donnent la même intégrale elliptique). La plupart des textes adhèrent à un schéma de nommage canonique, en utilisant les conventions de nommage suivantes.

Pour exprimer un argument :

Chacune des trois quantités ci-dessus est complètement déterminée par l'une des autres (étant donné qu'elles sont non négatives). Ainsi, ils peuvent être utilisés de manière interchangeable.

L'autre argument peut également être exprimée sous la forme φ , l' amplitude , ou en tant que x ou u , où x = sin φ = sn u et sn est l' une des fonctions elliptiques jacobiennes .

La spécification de la valeur de l'une de ces quantités détermine les autres. Notez que u dépend aussi de m . Certaines relations supplémentaires impliquant u incluent

Cette dernière est parfois appelée amplitude delta et s'écrit Δ( φ ) = dn u . Parfois, la littérature fait également référence au paramètre complémentaire , au module complémentaire ou à l' angle modulaire complémentaire . Celles-ci sont précisées dans l'article sur les trimestres .

Intégrale elliptique incomplète du premier genre

L' intégrale elliptique incomplète du premier type F est définie comme

C'est la forme trigonométrique de l'intégrale ; en remplaçant t = sin θ et x = sin φ , on obtient la forme normale Legendre:

De manière équivalente, en termes d'amplitude et d'angle modulaire on a :

Dans cette notation, l'utilisation d'une barre verticale comme délimiteur indique que l'argument qui la suit est le "paramètre" (tel que défini ci-dessus), tandis que la barre oblique inverse indique qu'il s'agit de l'angle modulaire. L'utilisation d'un point-virgule implique que l'argument qui le précède est le sinus de l'amplitude :

Cette utilisation potentiellement confuse de différents délimiteurs d'arguments est traditionnelle dans les intégrales elliptiques et une grande partie de la notation est compatible avec celle utilisée dans le livre de référence par Abramowitz et Stegun et celle utilisée dans les tables intégrales par Gradshteyn et Ryzhik .

Avec x = sn( u , k ) on a :

ainsi, les fonctions elliptiques jacobiennes sont inverses des intégrales elliptiques.

L'intégrale elliptique incomplète du premier type a le théorème d'addition suivant :

Le module elliptique peut être transformé de cette façon :

Variantes de notation

Il existe encore d'autres conventions pour la notation des intégrales elliptiques employées dans la littérature. La notation des arguments échangés, F ( k , φ ) , est souvent rencontrée; et de même E ( k , φ ) pour l'intégrale de la seconde espèce. Abramowitz et Stegun substituent l'intégrale de la première espèce, F ( φ , k ) , à l'argument φ dans leur définition des intégrales des deuxième et troisième espèces, à moins que cet argument ne soit suivi d'une barre verticale : c'est-à-dire E ( F ( φ , k ) | k 2 ) pour E ( φ | k 2 ) . De plus, leurs intégrales complètes emploient le paramètre k 2 comme argument à la place du module k , c'est-à-dire K ( k 2 ) plutôt que K ( k ) . Et l'intégrale du troisième type défini par Gradshteyn et Ryjik , Π ( φ , n , k ) , met l'amplitude φ première et non pas « caractéristique » n .

Il faut donc faire attention à la notation lors de l'utilisation de ces fonctions, car diverses références et progiciels réputés utilisent des conventions différentes dans les définitions des fonctions elliptiques. Par exemple, certaines références, et Wolfram de Mathematica logiciels et Wolfram Alpha , définissent l'intégrale elliptique complète du premier type en fonction du paramètre m , au lieu du module elliptique k .

Intégrale elliptique incomplète de deuxième espèce

L' intégrale elliptique incomplète de seconde espèce E sous forme trigonométrique est

Substituant t = sin θ et x = sin φ , on obtient la forme normale Legendre:

De manière équivalente, en termes d'amplitude et d'angle modulaire :

Les relations avec les fonctions elliptiques de Jacobi comprennent

L' arc méridien longueur de l' équateur à la latitude φ est écrit en termes de E :

a est le demi-grand axe , et e est l' excentricité .

L'intégrale elliptique incomplète du deuxième type a le théorème d'addition suivant :

Le module elliptique peut être transformé de cette façon :

Intégrale elliptique incomplète du troisième type

L' intégrale elliptique incomplète du troisième type Π est

ou alors

Le nombre n est appelé la caractéristique et peut prendre n'importe quelle valeur, indépendamment des autres arguments. Notez cependant que la valeur (1; π/2| m ) est infini, pour tout m .

Une relation avec les fonctions elliptiques jacobiennes est

La longueur de l'arc méridien de l'équateur à la latitude φ est également liée à un cas particulier de Π :

Intégrale elliptique complète du premier type

Tracé de l'intégrale elliptique complète du premier type K ( k )

Intégrales elliptiques sont dits être « complète » lorsque l'amplitude φ =π/2et donc x = 1 . L' intégrale elliptique complète du premier type K peut ainsi être définie comme

ou de manière plus compacte en termes d'intégrale incomplète du premier type comme

Il peut être exprimé comme une série de puissances

P n est le polynôme de Legendre , ce qui équivaut à

n !! désigne la factorielle double . En termes de fonction hypergéométrique de Gauss , l' intégrale elliptique complète du premier type peut être exprimée par

L'intégrale elliptique complète du premier type est parfois appelée quart de période . Il peut être calculé très efficacement en termes de moyenne arithmétique-géométrique :

Voir Carlson (2010 , 19.8) pour plus de détails.

Par conséquent, le module peut être transformé de cette façon :

Cette expression est valable pour tout n ∈ ℕ et 0 k ≤ 1 :

Relation avec la fonction thêta de Jacobi

La relation avec la fonction thêta de Jacobi est donnée par

où le nome q est

Expressions asymptotiques

Cette approximation a une précision relative meilleure que 3 × 10 −4 pour k <1/2. Conserver uniquement les deux premiers termes est correct à une précision de 0,01 pour k <1/2.

Équation différentielle

L'équation différentielle pour l'intégrale elliptique du premier type est

Une deuxième solution de cette équation est . Cette solution satisfait la relation

Fraction continue

Un développement en fraction continue est :

où le nome est q = q ( k ) .

Intégrale elliptique complète du deuxième type

Tracé de l'intégrale elliptique complète du deuxième type

L' intégrale elliptique complète du second type E est définie comme

ou de façon plus compacte en termes de l'intégrale incomplète du deuxième type E ( de φ , k ) en tant que

Pour une ellipse dont le demi grand axe d' un axe et demi-petit b et de l' excentricité e = 1 - b 2 / a 2 , l'intégrale elliptique complète du second type E ( e ) est égale à un quart de la circonférence c de l'ellipse mesurée en unités du demi-grand axe a . Autrement dit:

L'intégrale elliptique complète du second type peut être exprimée comme une série entière

ce qui équivaut à

En termes de fonction hypergéométrique de Gauss , l' intégrale elliptique complète du second type peut être exprimée par

Le module peut être transformé de cette façon :

Calcul

Comme l'intégrale du premier type, l'intégrale elliptique complète du second type peut être calculée très efficacement en utilisant la moyenne arithmétique-géométrique ( Carlson 2010 , 19.8).

Définir des séquences et , où , et les relations de récurrence , tenir. De plus, définissez . Par définition,

.

Aussi, . Puis

En pratique, la moyenne arithmétique-géométrique serait simplement calculée jusqu'à une certaine limite. Cette formule converge quadratiquement pour tout . Pour accélérer encore le calcul, la relation peut être utilisée.

Équation dérivée et différentielle

Une deuxième solution de cette équation est E ( 1 - k 2 ) - K ( 1 - k 2 ) .

Intégrale elliptique complète du troisième type

Tracé de l'intégrale elliptique complète du troisième type avec plusieurs valeurs fixes de

L' intégrale elliptique complète du troisième type Π peut être défini comme

Notez que parfois l'intégrale elliptique du troisième type est définie avec un signe inverse pour la caractéristique n ,

Tout comme les intégrales elliptiques complètes du premier et du deuxième type, l'intégrale elliptique complète du troisième type peut être calculée très efficacement en utilisant la moyenne arithmétique-géométrique ( Carlson 2010 , 19.8).

Dérivés partiels

Relations fonctionnelles

Relation de Legendre :

Voir également

Les références

Liens externes