Intégrale elliptique - Elliptic integral
Dans le calcul intégral , une intégrale elliptique est l'une des nombreuses fonctions connexes définies comme la valeur de certaines intégrales. À l'origine, ils sont apparus en rapport avec le problème de trouver la longueur d'arc d'une ellipse et ont été étudiés pour la première fois par Giulio Fagnano et Leonhard Euler ( c. 1750 ). Les mathématiques modernes définissent une « intégrale elliptique » comme toute fonction f qui peut être exprimée sous la forme
où R est une fonction rationnelle de ses deux arguments, P est un polynôme de degré 3 ou 4 sans racines répétées, et c est une constante.
En général, les intégrales sous cette forme ne peuvent pas être exprimées en termes de fonctions élémentaires . Les exceptions à cette règle générale sont lorsque P a des racines répétées, ou lorsque R ( x , y ) ne contient pas de puissances impaires de y . Cependant, avec la formule de réduction appropriée , chaque intégrale elliptique peut être amenée sous une forme qui implique des intégrales sur des fonctions rationnelles et les trois formes canoniques de Legendre (c'est-à-dire les intégrales elliptiques de première, deuxième et troisième sortes).
Outre la forme de Legendre donnée ci-dessous, les intégrales elliptiques peuvent également être exprimées sous la forme symétrique de Carlson . Un aperçu supplémentaire de la théorie de l'intégrale elliptique peut être obtenu grâce à l'étude de la cartographie de Schwarz-Christoffel . Historiquement, les fonctions elliptiques ont été découvertes comme des fonctions inverses d'intégrales elliptiques.
Notation des arguments
Les intégrales elliptiques incomplètes sont des fonctions de deux arguments ; les intégrales elliptiques complètes sont des fonctions d'un seul argument. Ces arguments sont exprimés de diverses manières différentes mais équivalentes (elles donnent la même intégrale elliptique). La plupart des textes adhèrent à un schéma de nommage canonique, en utilisant les conventions de nommage suivantes.
Pour exprimer un argument :
- α , l' angle modulaire
- k = sin α , le module elliptique ou excentricité
- m = k 2 = sin 2 α , le paramètre
Chacune des trois quantités ci-dessus est complètement déterminée par l'une des autres (étant donné qu'elles sont non négatives). Ainsi, ils peuvent être utilisés de manière interchangeable.
L'autre argument peut également être exprimée sous la forme φ , l' amplitude , ou en tant que x ou u , où x = sin φ = sn u et sn est l' une des fonctions elliptiques jacobiennes .
La spécification de la valeur de l'une de ces quantités détermine les autres. Notez que u dépend aussi de m . Certaines relations supplémentaires impliquant u incluent
Cette dernière est parfois appelée amplitude delta et s'écrit Δ( φ ) = dn u . Parfois, la littérature fait également référence au paramètre complémentaire , au module complémentaire ou à l' angle modulaire complémentaire . Celles-ci sont précisées dans l'article sur les trimestres .
Intégrale elliptique incomplète du premier genre
L' intégrale elliptique incomplète du premier type F est définie comme
C'est la forme trigonométrique de l'intégrale ; en remplaçant t = sin θ et x = sin φ , on obtient la forme normale Legendre:
De manière équivalente, en termes d'amplitude et d'angle modulaire on a :
Dans cette notation, l'utilisation d'une barre verticale comme délimiteur indique que l'argument qui la suit est le "paramètre" (tel que défini ci-dessus), tandis que la barre oblique inverse indique qu'il s'agit de l'angle modulaire. L'utilisation d'un point-virgule implique que l'argument qui le précède est le sinus de l'amplitude :
Cette utilisation potentiellement confuse de différents délimiteurs d'arguments est traditionnelle dans les intégrales elliptiques et une grande partie de la notation est compatible avec celle utilisée dans le livre de référence par Abramowitz et Stegun et celle utilisée dans les tables intégrales par Gradshteyn et Ryzhik .
Avec x = sn( u , k ) on a :
ainsi, les fonctions elliptiques jacobiennes sont inverses des intégrales elliptiques.
L'intégrale elliptique incomplète du premier type a le théorème d'addition suivant :
Le module elliptique peut être transformé de cette façon :
Variantes de notation
Il existe encore d'autres conventions pour la notation des intégrales elliptiques employées dans la littérature. La notation des arguments échangés, F ( k , φ ) , est souvent rencontrée; et de même E ( k , φ ) pour l'intégrale de la seconde espèce. Abramowitz et Stegun substituent l'intégrale de la première espèce, F ( φ , k ) , à l'argument φ dans leur définition des intégrales des deuxième et troisième espèces, à moins que cet argument ne soit suivi d'une barre verticale : c'est-à-dire E ( F ( φ , k ) | k 2 ) pour E ( φ | k 2 ) . De plus, leurs intégrales complètes emploient le paramètre k 2 comme argument à la place du module k , c'est-à-dire K ( k 2 ) plutôt que K ( k ) . Et l'intégrale du troisième type défini par Gradshteyn et Ryjik , Π ( φ , n , k ) , met l'amplitude φ première et non pas « caractéristique » n .
Il faut donc faire attention à la notation lors de l'utilisation de ces fonctions, car diverses références et progiciels réputés utilisent des conventions différentes dans les définitions des fonctions elliptiques. Par exemple, certaines références, et Wolfram de Mathematica logiciels et Wolfram Alpha , définissent l'intégrale elliptique complète du premier type en fonction du paramètre m , au lieu du module elliptique k .
Intégrale elliptique incomplète de deuxième espèce
L' intégrale elliptique incomplète de seconde espèce E sous forme trigonométrique est
Substituant t = sin θ et x = sin φ , on obtient la forme normale Legendre:
De manière équivalente, en termes d'amplitude et d'angle modulaire :
Les relations avec les fonctions elliptiques de Jacobi comprennent
L' arc méridien longueur de l' équateur à la latitude φ est écrit en termes de E :
où a est le demi-grand axe , et e est l' excentricité .
L'intégrale elliptique incomplète du deuxième type a le théorème d'addition suivant :
Le module elliptique peut être transformé de cette façon :
Intégrale elliptique incomplète du troisième type
L' intégrale elliptique incomplète du troisième type Π est
ou alors
Le nombre n est appelé la caractéristique et peut prendre n'importe quelle valeur, indépendamment des autres arguments. Notez cependant que la valeur (1; π/2| m ) est infini, pour tout m .
Une relation avec les fonctions elliptiques jacobiennes est
La longueur de l'arc méridien de l'équateur à la latitude φ est également liée à un cas particulier de Π :
Intégrale elliptique complète du premier type
Intégrales elliptiques sont dits être « complète » lorsque l'amplitude φ =π/2et donc x = 1 . L' intégrale elliptique complète du premier type K peut ainsi être définie comme
ou de manière plus compacte en termes d'intégrale incomplète du premier type comme
Il peut être exprimé comme une série de puissances
où P n est le polynôme de Legendre , ce qui équivaut à
où n !! désigne la factorielle double . En termes de fonction hypergéométrique de Gauss , l' intégrale elliptique complète du premier type peut être exprimée par
L'intégrale elliptique complète du premier type est parfois appelée quart de période . Il peut être calculé très efficacement en termes de moyenne arithmétique-géométrique :
Voir Carlson (2010 , 19.8) pour plus de détails.
Par conséquent, le module peut être transformé de cette façon :
Cette expression est valable pour tout n ∈ ℕ et 0 k ≤ 1 :
Relation avec la fonction thêta de Jacobi
La relation avec la fonction thêta de Jacobi est donnée par
où le nome q est
Expressions asymptotiques
Cette approximation a une précision relative meilleure que 3 × 10 −4 pour k <1/2. Conserver uniquement les deux premiers termes est correct à une précision de 0,01 pour k <1/2.
Équation différentielle
L'équation différentielle pour l'intégrale elliptique du premier type est
Une deuxième solution de cette équation est . Cette solution satisfait la relation
Fraction continue
Un développement en fraction continue est :
où le nome est q = q ( k ) .
Intégrale elliptique complète du deuxième type
L' intégrale elliptique complète du second type E est définie comme
ou de façon plus compacte en termes de l'intégrale incomplète du deuxième type E ( de φ , k ) en tant que
Pour une ellipse dont le demi grand axe d' un axe et demi-petit b et de l' excentricité e = √ 1 - b 2 / a 2 , l'intégrale elliptique complète du second type E ( e ) est égale à un quart de la circonférence c de l'ellipse mesurée en unités du demi-grand axe a . Autrement dit:
L'intégrale elliptique complète du second type peut être exprimée comme une série entière
ce qui équivaut à
En termes de fonction hypergéométrique de Gauss , l' intégrale elliptique complète du second type peut être exprimée par
Le module peut être transformé de cette façon :
Calcul
Comme l'intégrale du premier type, l'intégrale elliptique complète du second type peut être calculée très efficacement en utilisant la moyenne arithmétique-géométrique ( Carlson 2010 , 19.8).
Définir des séquences et , où , et les relations de récurrence , tenir. De plus, définissez . Par définition,
- .
Aussi, . Puis
En pratique, la moyenne arithmétique-géométrique serait simplement calculée jusqu'à une certaine limite. Cette formule converge quadratiquement pour tout . Pour accélérer encore le calcul, la relation peut être utilisée.
Équation dérivée et différentielle
Une deuxième solution de cette équation est E ( √ 1 - k 2 ) - K ( √ 1 - k 2 ) .
Intégrale elliptique complète du troisième type
L' intégrale elliptique complète du troisième type Π peut être défini comme
Notez que parfois l'intégrale elliptique du troisième type est définie avec un signe inverse pour la caractéristique n ,
Tout comme les intégrales elliptiques complètes du premier et du deuxième type, l'intégrale elliptique complète du troisième type peut être calculée très efficacement en utilisant la moyenne arithmétique-géométrique ( Carlson 2010 , 19.8).
Dérivés partiels
Relations fonctionnelles
Voir également
Les références
- Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene Ann , éd. (1983) [juin 1964]. "Chapitre 17" . Manuel des fonctions mathématiques avec formules, graphiques et tableaux mathématiques . Série de Mathématiques Appliquées. 55 (Neuvième réimpression avec des corrections supplémentaires de la dixième impression originale avec des corrections (décembre 1972); première éd.). Washington DC; New York : Département du commerce des États-Unis, Bureau national des normes ; Publications de Douvres. p. 587. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN 64-60036 . MR 0167642 . LCCN 65-12253 .
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- Carlson, C.-B. (1995). "Calcul numérique des intégrales elliptiques réelles ou complexes". Algorithmes numériques . 10 (1) : 13-26. arXiv : math/9409227 . Bibcode : 1995NuAlg..10 ... 13C . doi : 10.1007/BF02198293 .
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- Appuyez sur, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT ; Flannery, BP (2007), "Section 6.12. Intégraux elliptiques et fonctions elliptiques jacobiennes" , Recettes numériques : L'art de l'informatique scientifique (3e éd.), New York : Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8
Liens externes
- "Elliptic intégrale" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
- Eric W. Weisstein, "Elliptique Intégral" (Mathworld)
- Code Matlab pour l'évaluation des intégrales elliptiques par projet elliptique
- Approximations rationnelles pour les intégrales elliptiques complètes (Exstrom Laboratories)
- Une brève histoire des théorèmes d'addition intégrale elliptique