Orbite elliptique - Elliptic orbit
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Astrodynamique |
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En astrodynamique ou en mécanique céleste , une orbite elliptique ou orbite elliptique est une orbite de Kepler avec une excentricité inférieure à 1 ; cela inclut le cas particulier d'une orbite circulaire , d'excentricité égale à 0. Au sens strict, il s'agit d'une orbite de Kepler d'excentricité supérieure à 0 et inférieure à 1 (excluant donc l'orbite circulaire). Dans un sens plus large, il s'agit d'une orbite de Kepler à énergie négative . Cela inclut l'orbite elliptique radiale, avec une excentricité égale à 1.
Dans un problème gravitationnel à deux corps avec une énergie négative , les deux corps suivent des orbites elliptiques similaires avec la même période orbitale autour de leur barycentre commun . De plus, la position relative d'un corps par rapport à l'autre suit une orbite elliptique.
Des exemples d'orbites elliptiques incluent : l' orbite de transfert Hohmann , l' orbite Molniya et l' orbite toundra .
Rapidité
Sous des hypothèses standard, la vitesse orbitale ( ) d'un corps se déplaçant le long d'une orbite elliptique peut être calculée à partir de l' équation vis-viva comme suit :
où:
- est le paramètre gravitationnel standard ,
- est la distance entre les corps en orbite.
- est la longueur du demi-grand axe .
L'équation de vitesse pour une trajectoire hyperbolique a soit + , soit c'est la même chose avec la convention que dans ce cas a est négatif.
Période orbitale
Sous des hypothèses standard, la période orbitale ( ) d'un corps voyageant le long d'une orbite elliptique peut être calculée comme suit :
où:
- est le paramètre gravitationnel standard ,
- est la longueur du demi-grand axe .
Conclusion :
- La période orbitale est égale à celle d'une orbite circulaire dont le rayon orbital est égal au demi-grand axe ( ),
- Pour un demi-grand axe donné la période orbitale ne dépend pas de l'excentricité (Voir aussi : troisième loi de Kepler ).
Énergie
Selon les hypothèses standard, l' énergie orbitale spécifique ( ) d'une orbite elliptique est négative et l'équation de conservation de l'énergie orbitale (l'équation Vis-viva ) pour cette orbite peut prendre la forme :
où:
- est la vitesse orbitale du corps en orbite,
- est la distance entre le corps en orbite et le corps central ,
- est la longueur du demi-grand axe ,
- est le paramètre gravitationnel standard .
Conclusion :
- Pour un demi-grand axe donné, l'énergie orbitale spécifique est indépendante de l'excentricité.
En utilisant le théorème du viriel on trouve :
- la moyenne temporelle de l'énergie potentielle spécifique est égale à −2ε
- la moyenne temporelle de r -1 est a -1
- la moyenne temporelle de l'énergie cinétique spécifique est égale à
Énergie en termes de demi grand axe
Il peut être utile de connaître l'énergie en termes de demi-grand axe (et les masses impliquées). L'énergie totale de l'orbite est donnée par
- ,
où a est le demi-grand axe.
Dérivation
La gravité étant une force centrale, le moment cinétique est constant :
Aux approches les plus proches et les plus éloignées, le moment cinétique est perpendiculaire à la distance de la masse en orbite, donc :
- .
L'énergie totale de l'orbite est donnée par
- .
Nous pouvons remplacer v et obtenir
- .
Cela est vrai pour r étant la distance la plus proche / la plus éloignée, nous obtenons donc deux équations simultanées que nous résolvons pour E :
Depuis et , où epsilon est l'excentricité de l'orbite, nous avons finalement le résultat indiqué.
Angle de trajectoire de vol
L'angle de trajectoire de vol est l'angle entre le vecteur vitesse du corps en orbite (= le vecteur tangent à l'orbite instantanée) et l'horizontale locale. Sous les hypothèses standard de conservation du moment cinétique, l'angle de la trajectoire de vol satisfait l'équation :
où:
- est le moment cinétique relatif spécifique de l'orbite,
- est la vitesse orbitale du corps en orbite,
- est la distance radiale du corps en orbite au corps central ,
- est l'angle de la trajectoire de vol
est l'angle entre le vecteur vitesse orbitale et le demi-grand axe. est la vraie anomalie locale. , donc,
où est l'excentricité.
Le moment cinétique est lié au produit vectoriel vectoriel de la position et de la vitesse, qui est proportionnel au sinus de l'angle entre ces deux vecteurs. Ici est défini comme l'angle qui diffère de 90 degrés de celui-ci, de sorte que le cosinus apparaît à la place du sinus.
Équation du mouvement
De la position initiale et de la vitesse
Une équation d'orbite définit la trajectoire d'un corps en orbite autour du corps central par rapport à , sans spécifier la position en fonction du temps. Si l'excentricité est inférieure à 1, l'équation du mouvement décrit une orbite elliptique. Parce que l'équation de Kepler n'a pas de solution générale de forme fermée pour l' anomalie excentrique (E) en termes d'anomalie moyenne (M), les équations du mouvement en fonction du temps n'ont pas non plus de solution de forme fermée (bien que des solutions numériques existent pour les deux) .
Cependant, des équations de trajectoire indépendantes du temps de forme fermée d'une orbite elliptique par rapport à un corps central peuvent être déterminées à partir d'une position initiale ( ) et d'une vitesse ( ).
Dans ce cas, il est pratique d'utiliser les hypothèses suivantes qui diffèrent quelque peu des hypothèses standard ci-dessus :
- La position du corps central est à l'origine et est le foyer principal ( ) de l'ellipse (alternativement, le centre de masse peut être utilisé à la place si le corps en orbite a une masse importante)
- La masse du corps central (m1) est connue
- La position initiale ( ) et la vitesse ( ) du corps en orbite sont connues
- L'ellipse se situe dans le plan XY
La quatrième hypothèse peut être faite sans perte de généralité car trois points (ou vecteurs) quelconques doivent se trouver dans un plan commun. Dans ces hypothèses, le deuxième foyer (parfois appelé foyer « vide ») doit également se trouver dans le plan XY : .
Utiliser des vecteurs
L'équation générale d'une ellipse sous ces hypothèses utilisant des vecteurs est :
où:
- est la longueur du demi-grand axe .
- est le deuxième foyer (« vide »).
- est n'importe quelle valeur (x,y) satisfaisant l'équation.
La longueur du demi-grand axe (a) peut être calculée comme suit :
où est le paramètre gravitationnel standard .
Le foyer vide ( ) peut être trouvé en déterminant d'abord le vecteur d'excentricité :
Où est le moment cinétique spécifique du corps en orbite :
Puis
Utilisation des coordonnées XY
Cela peut être fait en coordonnées cartésiennes en utilisant la procédure suivante :
L'équation générale d'une ellipse sous les hypothèses ci-dessus est :
Étant donné:
- les coordonnées de la position initiale
- les coordonnées de vitesse initiales
et
- le paramètre gravitationnel
Puis:
- moment angulaire spécifique
- distance initiale de F1 (à l'origine)
- la longueur du demi-grand axe
- les coordonnées du vecteur d'excentricité
Enfin, les coordonnées de focus vides
Maintenant, les valeurs de résultat fx, fy et a peuvent être appliquées à l'équation d'ellipse générale ci-dessus.
Paramètres orbitaux
L'état d'un corps en orbite à un moment donné est défini par la position et la vitesse du corps en orbite par rapport au corps central, qui peuvent être représentées par les coordonnées cartésiennes tridimensionnelles (position du corps en orbite représentée par x, y et z) et les composantes cartésiennes similaires de la vitesse du corps en orbite. Cet ensemble de six variables, ainsi que le temps, sont appelés vecteurs d'état orbitaux . Étant donné les masses des deux corps, ils déterminent l'orbite complète. Les deux cas les plus généraux avec ces 6 degrés de liberté sont l'orbite elliptique et l'orbite hyperbolique. Les cas particuliers avec moins de degrés de liberté sont l'orbite circulaire et parabolique.
Parce qu'au moins six variables sont absolument nécessaires pour représenter complètement une orbite elliptique avec cet ensemble de paramètres, alors six variables sont nécessaires pour représenter une orbite avec n'importe quel ensemble de paramètres. Un autre ensemble de six paramètres qui sont couramment utilisés sont les éléments orbitaux .
Système solaire
Dans le système solaire , les planètes , les astéroïdes , la plupart des comètes et certains débris spatiaux ont des orbites approximativement elliptiques autour du Soleil. Strictement parlant, les deux corps tournent autour du même foyer de l'ellipse, le plus proche du corps le plus massif, mais lorsqu'un corps est significativement plus massif, comme le soleil par rapport à la terre, le foyer peut être contenu dans le plus grand corps de masse, et donc on dit que le plus petit tourne autour de lui. Le tableau suivant du périhélie et de l'aphélie des planètes , des planètes naines et de la comète de Halley démontre la variation de l'excentricité de leurs orbites elliptiques. Pour des distances similaires du soleil, des barres plus larges indiquent une plus grande excentricité. Notez l'excentricité presque nulle de la Terre et de Vénus par rapport à l'énorme excentricité de la comète de Halley et d'Eris.
Trajectoire elliptique radiale
Une trajectoire radiale peut être un segment de droite double , qui est une ellipse dégénérée d'axe semi-mineur = 0 et d'excentricité = 1. Bien que l'excentricité soit de 1, ce n'est pas une orbite parabolique. La plupart des propriétés et formules des orbites elliptiques s'appliquent. Cependant, l'orbite ne peut pas être fermée. C'est une orbite ouverte correspondant à la partie de l'ellipse dégénérée à partir du moment où les corps se touchent et s'éloignent l'un de l'autre jusqu'à ce qu'ils se touchent à nouveau. Dans le cas des masses ponctuelles, une orbite complète est possible, commençant et finissant par une singularité. Les vitesses au début et à la fin sont infinies dans des directions opposées et l'énergie potentielle est égale à moins l'infini.
La trajectoire elliptique radiale est la solution d'un problème à deux corps avec à un certain instant une vitesse nulle, comme dans le cas de la chute d' un objet (en négligeant la résistance de l'air).
Histoire
Les Babyloniens furent les premiers à se rendre compte que le mouvement du Soleil le long de l' écliptique n'était pas uniforme, bien qu'ils ignoraient pourquoi ; on sait aujourd'hui que cela est dû au déplacement de la Terre sur une orbite elliptique autour du Soleil, la Terre se déplaçant plus rapidement lorsqu'elle est plus proche du Soleil au périhélie et se déplaçant plus lentement lorsqu'elle est plus éloignée à l' aphélie .
Au 17ème siècle, Johannes Kepler a découvert que les orbites le long desquelles les planètes se déplacent autour du Soleil sont des ellipses avec le Soleil à un foyer, et l'a décrit dans sa première loi du mouvement planétaire . Plus tard, Isaac Newton a expliqué cela comme un corollaire de sa loi de la gravitation universelle .
Voir également
- Abside
- Énergie caractéristique
- Ellipse
- Liste des orbites
- Excentricité orbitale
- Équation de l'orbite
- Trajectoire parabolique
Les références
Sources
- D'Eliseo, Maurizio M. (2007). « L'équation orbitale du premier ordre ». Journal américain de physique . 75 (4) : 352-355. Bibcode : 2007AmJPh..75..352D . doi : 10.1119/1.2432126 .
- D'Eliseo, Maurizio M.; Mironov, Sergueï V. (2009). "L'ellipse gravitationnelle". Journal de physique mathématique . 50 (2) : 022901. arXiv : 0802.2435 . Bibcode : 2009JMP .... 50a2901M . doi : 10.1063/1.3078419 .
- Curtis, Howard D. (2019). Mécanique orbitale pour les étudiants en génie (4e éd.). Butterworth-Heinemann . ISBN 978-0-08-102133-0.
Liens externes
- Applet Java animant l'orbite d'un satellite dans une orbite Kepler elliptique autour de la Terre avec n'importe quelle valeur pour le demi-grand axe et l'excentricité.
- Comparaison photographique Apogee - Perigee Lunar
- Comparaison photographique Aphelion - Perihelion Solar
- http://www.castor2.ca