Endomorphisme - Endomorphism

La projection orthogonale sur une ligne, m , est un opérateur linéaire sur le plan. Ceci est un exemple d'endomorphisme qui n'est pas un automorphisme .

En mathématiques , un endomorphisme est un morphisme d'un objet mathématique à lui-même. Un endomorphisme qui est aussi un isomorphisme est un automorphisme . Par exemple, un endomorphisme d'un espace vectoriel V est une carte linéaire f : V V , et un endomorphisme d'un groupe G est un groupe morphisme f : G G . En général, on peut parler d'endomorphismes dans n'importe quelle catégorie . Dans la catégorie des ensembles , les endomorphismes sont des fonctions d'un ensemble S à lui-même.

En tout état de catégorie, la composition de tous les deux endomorphismes de X est de nouveau un endomorphisme de X . Il s'ensuit que l'ensemble de tous les endomorphismes de X forme un monoïde , le monoïde de transformation complète , et noté End ( X ) (ou End C ( X ) pour souligner la catégorie C ).

Automorphismes

Un endomorphisme inversible de X est appelé un automorphisme . L'ensemble de tous les automorphismes est un sous - ensemble de End ( X ) avec une structure de groupe , appelé le groupe d'automorphisme de X et noté Aut ( X ) . Dans le diagramme suivant, les flèches indiquent une implication:

Automorphisme Isomorphisme
Endomorphisme (Homo) morphisme

Anneaux d'endomorphisme

Deux endomorphismes quelconques d'un groupe abélien , A , peuvent être additionnés par la règle ( f + g ) ( a ) = f ( a ) + g ( a ) . Sous cet ajout, et la multiplication étant définie comme composition de fonction, les endomorphismes d'un groupe abélien forment un anneau (l' anneau d'endomorphisme ). Par exemple, l'ensemble des endomorphismes de n est l'anneau de toutes les n × n matrices avec des entrées entières . Les endomorphismes d'un espace vectoriel ou d'un module forment également un anneau, de même que les endomorphismes de tout objet dans une catégorie pré - additive . Les endomorphismes d'un groupe non-labélien génèrent une structure algébrique connue sous le nom de quasi-anneau . Chaque anneau avec un est l'anneau d'endomorphisme de son module régulier , de même qu'un sous-anneau d'un anneau d'endomorphisme d'un groupe abélien; cependant, il existe des anneaux qui ne sont l'anneau d'endomorphisme d'aucun groupe abélien.

Théorie de l'opérateur

Dans toute catégorie concrète , notamment pour les espaces vectoriels , les endomorphismes sont des cartes d'un ensemble en lui-même, et peuvent être interprétés comme des opérateurs unaires sur cet ensemble, agissant sur les éléments, et permettant de définir la notion d' orbites d'éléments, etc.

En fonction de la structure supplémentaire définie pour la catégorie en question ( topologie , métrique , ...), ces opérateurs peuvent avoir des propriétés comme la continuité , la délimitation , etc. Plus de détails devraient être trouvés dans l'article sur la théorie des opérateurs .

Fin des fonctions

Une endofonction est une fonction dont le domaine est égal à son codomaine . Une endofonction homomorphe est un endomorphisme.

Soit S un ensemble arbitraire. Parmi endofunctions sur S on trouve les permutations de S et des fonctions constantes associant à chaque x dans S un même élément c dans S . Toute permutation de S a le codomaine égal à son domaine et est bijective et inversible. Si S a plus d'un élément, une fonction constante sur S a une image qui est un sous-ensemble propre de son codomaine, et n'est donc pas bijective (et donc non inversible). La fonction associant à chaque entier naturel n l'étage de n / 2 a son image égale à son codomaine et n'est pas inversible.

Les endofonctions finies sont équivalentes aux pseudo-forêts dirigées . Pour les ensembles de taille n, il y a n n fonctions d' extrémité sur l'ensemble.

Des exemples particuliers d'endofonctions bijectives sont les involutions ; c'est-à-dire que les fonctions coïncident avec leurs inverses.

Voir également

Remarques

  1. Jacobson (2009), p. 162, théorème 3.2.

Les références

  • Jacobson, Nathan (2009), Basic algèbre , 1 (2e éd.), Dover, ISBN   978-0-486-47189-1

Liens externes