Anneau d'endomorphisme - Endomorphism ring

En mathématiques , les endomorphismes d'un groupe abélien X forment un anneau. Cet anneau est appelé anneau d'endomorphisme X , noté End( X ); l'ensemble de tous les homomorphismes de X en lui-même. L'addition d'endomorphismes se produit naturellement de manière ponctuelle et la multiplication via la composition d'endomorphismes . En utilisant ces opérations, l'ensemble des endomorphismes d'un groupe abélien forme un anneau (unitaire) , avec l'application zéro comme identité additive et l'application identité comme${\textstyle 0:x\mapsto 0}$ ${\textstyle 1:x\mapsto x}$identité multiplicative .

Les fonctions impliquées sont restreintes à ce qui est défini comme un homomorphisme dans le contexte, qui dépend de la catégorie de l'objet considéré. L'anneau d'endomorphisme code par conséquent plusieurs propriétés internes de l'objet. Comme l'objet résultant est souvent une algèbre sur un anneau R, cela peut aussi être appelé algèbre d'endomorphisme .

Un groupe abélien est la même chose qu'un module sur l'anneau des entiers , qui est l' anneau initial . De la même manière, si R est un anneau commutatif , les monoïdes d'endomorphisme de ses modules forment des algèbres sur R par les mêmes axiomes et dérivation. En particulier, si R est un corps F , ses modules M sont des espaces vectoriels V et leurs anneaux d'endomorphisme sont des algèbres sur le corps F .

La description

Soit ( A , +) un groupe abélien et on considère les homomorphismes de groupe de A dans A . Ensuite, l'addition de deux de ces homomorphismes peut être définie de manière ponctuelle pour produire un autre homomorphisme de groupe. Explicitement, étant donné deux de ces homomorphismes f et g , la somme de f et g est l'homomorphisme . Sous cette opération End( A ) est un groupe abélien. Avec l'opération supplémentaire de composition des homomorphismes, End( A ) est un anneau à identité multiplicative. Cette composition est explicitement . L'identité multiplicative est l'homomorphisme d'identité sur A . ${\textstyle [f+g](x):=f(x)+g(x)}$${\textstyle (fg)(x):=f(g(x))}$

Si l'ensemble A ne forme pas un groupe abélien , alors la construction ci-dessus n'est pas nécessairement additive , car alors la somme de deux homomorphismes n'a pas besoin d'être un homomorphisme. Cet ensemble d'endomorphismes est un exemple canonique d'un quasi-anneau qui n'est pas un anneau.

Propriétés

• Les anneaux d'endomorphisme ont toujours des identités additives et multiplicatives , respectivement la carte zéro et la carte identité .
• Les anneaux d'endomorphisme sont associatifs , mais généralement non commutatifs .
• Si un module est simple , alors son anneau d'endomorphisme est un anneau de division (ceci est parfois appelé lemme de Schur ).
• Un module est indécomposable si et seulement si son anneau d'endomorphisme ne contient aucun élément idempotent non trivial . Si le module est un module injectif , alors l'indécomposabilité équivaut à ce que l'anneau d'endomorphisme soit un anneau local .
• Pour un module semi - simple , l'anneau d'endomorphisme est un anneau régulier de von Neumann .
• L'anneau d'endomorphisme d'un module unisérial droit non nul a un ou deux idéaux droits maximaux. Si le module est artinien, noethérien, projectif ou injectif, alors l'anneau d'endomorphisme a un unique idéal maximal, de sorte qu'il s'agit d'un anneau local.
• L'anneau d'endomorphisme d'un module uniforme artinien est un anneau local.
• L'anneau d'endomorphisme d'un module de longueur de composition finie est un anneau semi - primaire .
• L'anneau d'endomorphisme d'un module continu ou d'un module discret est un anneau propre .
• Si un module R est de génération finie et projectif (c'est-à-dire un progénérateur ), alors l'anneau d'endomorphisme du module et R partagent toutes les propriétés invariantes de Morita. Un résultat fondamental de la théorie de Morita est que tous les anneaux équivalents à R apparaissent comme des anneaux d'endomorphisme de progénérateurs.

Exemples

• Dans la catégorie des modules R, l'anneau d'endomorphisme d'un module R M n'utilisera que les homomorphismes du module R , qui sont généralement un sous-ensemble approprié des homomorphismes du groupe abélien. Lorsque M est un module projectif de type fini , l'anneau d'endomorphisme est au centre de l' équivalence Morita des catégories de modules.
• Pour tout groupe abélien , , puisque toute matrice dans porte une structure d'homomorphisme naturel de la manière suivante :${\style d'affichage A}$${\displaystyle M_{n}(\operatorname {End} (A))\cong \operatorname {End} (A^{n})}$${\displaystyle M_{n}(\operatorname {Fin} (A))}$${\style d'affichage A^{n}}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\varphi _{11}&\cdots &\varphi _{1n}\\\vdots &&\vdots \\\varphi _{n1}&\cdots &\varphi _{nn} \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a_{1}\\\vdots \\a_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\sum _{i=1}^{n }\varphi _{1i}(a_{i})\\\vdots \\\sum _{i=1}^{n}\varphi _{ni}(a_{i})\end{pmatrix}}. }$

On peut utiliser cet isomorphisme pour construire de nombreux anneaux d'endomorphisme non commutatifs. Par exemple : , depuis .${\displaystyle \operatorname {Fin} (\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} )\cong M_{2}(\mathbb {Z} )}$${\displaystyle \operatorname {Fin} (\mathbb {Z} )\cong \mathbb {Z} }$

De plus, quand est un corps, il existe un isomorphisme canonique , donc , c'est-à-dire que l'anneau d'endomorphisme d'un espace vectoriel est identifié avec l' anneau des matrices n - sur n avec des entrées dans . Plus généralement, l'algèbre d'endomorphisme du module libre est naturellement -par- des matrices à entrées dans l'anneau .${\style d'affichage R=K}$${\displaystyle \operatorname {Fin} (K)\cong K}$${\displaystyle \operatorname {Fin} (K^{n})\cong M_{n}(K)}$${\style d'affichage K}$${\style d'affichage K}$ ${\displaystyle M=R^{n}}$${\style d'affichage n}$${\style d'affichage n}$${\style d'affichage R}$

• Comme exemple particulier du dernier point, pour tout anneau R avec unité, End( R _R ) = R , où les éléments de R agissent sur R par multiplication à gauche .
• En général, les anneaux d'endomorphisme peuvent être définis pour les objets de n'importe quelle catégorie préadditive .

Remarques

Les références

• Camille, vice-président ; Khurana, D.; Lam, TY ; Nicholson, WK ; Zhou, Y. (2006), "Continuous modules are clean", J. Algebra , 304 (1) : 94-111, doi : 10.1016/j.jalgebra.2006.06.032 , ISSN  0021-8693 , MR  2255822
• Drozd, Yu. UNE.; Kirichenko, VV (1994), Algèbres dimensionnelles finies , Berlin : Springer-Verlag, ISBN 3-540-53380-X
• Imbécile, David ; Foote, Richard, Algèbre

• Fraleigh, John B. (1976), Un premier cours d'algèbre abstraite (2e éd.), Lecture : Addison-Wesley , ISBN 0-201-01984-1
• "Anneau d'endomorphisme" , Encyclopédie des mathématiques , EMS Press , 2001 [1994]
• Jacobson, Nathan (2009), Algèbre de base , 2 (2e éd.), Douvres, ISBN 978-0-486-47187-7
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• Wisbauer, Robert (1991), Foundations of module and ring theory , Algebra, Logic and Applications, 3 (Révisé et traduit de l'édition allemande de 1988), Philadelphie, PA: Gordon and Breach Science Publishers, pp.  xii+606 , ISBN 2-88124-805-5, MR  1144522 Un manuel pour l'étude et la recherche