Théorie ergodique - Ergodic theory

La théorie ergodique (en grec : ἔργον ergon "travail", ὁδός hodos "voie") est une branche des mathématiques qui étudie les propriétés statistiques des systèmes dynamiques déterministes ; c'est l'étude de l' ergodicité . Dans ce contexte, les propriétés statistiques désignent des propriétés qui s'expriment à travers le comportement des moyennes temporelles de diverses fonctions le long des trajectoires des systèmes dynamiques. La notion de systèmes dynamiques déterministes suppose que les équations déterminant la dynamique ne contiennent pas de perturbations aléatoires, de bruit, etc. Ainsi, les statistiques qui nous intéressent sont des propriétés de la dynamique.

La théorie ergodique, comme la théorie des probabilités, est basée sur des notions générales de la théorie de la mesure . Son développement initial a été motivé par des problèmes de physique statistique .

Une préoccupation centrale de la théorie ergodique est le comportement d'un système dynamique lorsqu'il est autorisé à fonctionner pendant une longue période. Le premier résultat dans cette direction est le théorème de récurrence de Poincaré , qui prétend que presque tous les points dans n'importe quel sous-ensemble de l' espace des phases revisitent finalement l'ensemble. Les systèmes pour lesquels le théorème de récurrence de Poincaré est vérifié sont des systèmes conservateurs ; ainsi tous les systèmes ergodiques sont conservateurs.

Des informations plus précises sont fournies par divers théorèmes ergodiques qui affirment que, sous certaines conditions, la moyenne temporelle d'une fonction le long des trajectoires existe presque partout et est liée à la moyenne spatiale. Deux des théorèmes les plus importants sont ceux de Birkhoff (1931) et de von Neumann qui affirment l'existence d'une moyenne temporelle le long de chaque trajectoire. Pour la classe particulière des systèmes ergodiques , cette moyenne temporelle est la même pour presque tous les points initiaux : statistiquement parlant, le système qui évolue depuis longtemps « oublie » son état initial. Des propriétés plus fortes, telles que le mélange et l' équidistribution , ont également été largement étudiées.

Le problème de la classification métrique des systèmes est une autre partie importante de la théorie ergodique abstraite. Un rôle remarquable dans la théorie ergodique et ses applications aux processus stochastiques est joué par les diverses notions d' entropie pour les systèmes dynamiques.

Les concepts d' ergodicité et d' hypothèse ergodique sont au cœur des applications de la théorie ergodique. L'idée sous-jacente est que pour certains systèmes, la moyenne temporelle de leurs propriétés est égale à la moyenne sur tout l'espace. Les applications de la théorie ergodique à d'autres parties des mathématiques impliquent généralement l'établissement de propriétés d'ergodicité pour des systèmes d'un type particulier. En géométrie , des méthodes de théorie ergodique ont été utilisées pour étudier l' écoulement géodésique sur des variétés riemanniennes , en commençant par les résultats d' Eberhard Hopf pour les surfaces de Riemann de courbure négative. Les chaînes de Markov forment un contexte commun pour les applications en théorie des probabilités . La théorie ergodique a des liens fructueux avec l'analyse harmonique , la théorie de Lie ( théorie des représentations , réseaux dans les groupes algébriques ) et la théorie des nombres (théorie des approximations diophantiennes , fonctions L ).

Transformations ergodiques

La théorie ergodique s'intéresse souvent aux transformations ergodiques . L'intuition derrière de telles transformations, qui agissent sur un ensemble donné, est qu'elles font un travail minutieux en "remuant" les éléments de cet ensemble (par exemple, si l'ensemble est une quantité de flocons d'avoine chauds dans un bol, et si une cuillerée de sirop est déposé dans le bol, alors les itérations de l'inverse d'une transformation ergodique de la farine d'avoine ne permettront pas au sirop de rester dans une sous-région locale de la farine d'avoine, mais distribueront le sirop uniformément partout. compresser ou dilater n'importe quelle portion de la farine d'avoine : ils préservent la mesure qui est la densité.) Voici la définition formelle.

Soit T  : X → X une transformation préservant la mesure sur un espace de mesure ( X , Σ , μ ) , avec μ ( X ) = 1 . Alors T est ergodique si pour tout E dans Σ avec T ⁻¹ ( E ) = E , soit μ ( E ) = 0 soit μ ( E ) = 1 .

Exemples

Evolution d'un ensemble de systèmes classiques dans l'espace des phases (en haut). Les systèmes sont des particules massives dans un puits de potentiel unidimensionnel (courbe rouge, figure du bas). L'ensemble initialement compact devient tourbillonnant au fil du temps et « s'étale autour » de l'espace des phases. Ce n'est cependant pas un comportement ergodique puisque les systèmes ne visitent pas bien le potentiel de gauche.

• Une rotation irrationnelle du cercle R / Z , T : x → x + , où est irrationnel , est ergodique. Cette transformation a des propriétés encore plus fortes d' ergodicité , de minimalité et d' équidistribution uniques . En revanche, si θ = p / q est rationnel (au plus bas), alors T est périodique, de période q , et ne peut donc pas être ergodique : pour tout intervalle I de longueur a , 0 < a < 1/ q , son orbite sous T (c'est-à-dire l'union de I , T ( I ), ..., T ^{q −1} ( I ), qui contient l'image de I sous un nombre quelconque d'applications de T ) est un ensemble T -invariant mod 0 qui est une union de q intervalles de longueur a , donc sa mesure qa est strictement comprise entre 0 et 1.
• Soit G un groupe abélien compact , μ la mesure de Haar normalisée , et T un automorphisme de groupe de G . Soit G * le groupe dual de Pontryagin , constitué des caractères continus de G , et T * l'automorphisme adjoint correspondant de G *. Le automorphisme T est ergodique si et seulement si l'égalité ( T *) ⁿ ( χ ) =  χ est possible que lorsque n  = 0 ou χ est le caractère trivial de G . En particulier, si G est le tore de dimension n et que l'automorphisme T est représenté par une matrice unimodulaire A alors T est ergodique si et seulement si aucune valeur propre de A n'est une racine de l'unité .
• Un décalage de Bernoulli est ergodique. Plus généralement, l'ergodicité de la transformation de décalage associée à une séquence de variables aléatoires iid et à certains processus stationnaires plus généraux découle de la loi zéro–un de Kolmogorov .
• L'ergodicité d'un système dynamique continu signifie que ses trajectoires "s'étalent autour" de l' espace des phases . Un système avec un espace de phase compact qui a une première intégrale non constante ne peut pas être ergodique. Ceci s'applique en particulier aux systèmes hamiltoniens avec une première intégrale I fonctionnellement indépendante de la fonction de Hamilton H et un level set compact X = {( p , q ) : H ( p , q ) = E} d'énergie constante. Le théorème de Liouville implique l'existence d'une mesure invariante finie sur X , mais la dynamique du système est limitée aux ensembles de niveaux de I sur X , donc le système possède des ensembles invariants de mesure positive mais inférieure à la pleine mesure. Une propriété des systèmes dynamiques continus qui est à l'opposé de l'ergodicité est l' intégrabilité complète .

Théorèmes ergodiques

Laissez - T : X → X être une transformation préservant la mesure sur un espace de mesure ( X , Σ, μ ) et supposons ƒ est une μ fonction intégrable, soit ƒ ∈ L ¹ ( μ ). Puis on définit les moyennes suivantes :

Moyenne temporelle : elle est définie comme la moyenne (si elle existe) sur les itérations de T à partir d'un point initial x :

${\displaystyle {\hat {f}}(x)=\lim _{n\rightarrow \infty }\;{\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1} f(T^{k}x).}$

Moyenne spatiale : Si μ ( X ) est fini et non nul, on peut considérer la moyenne spatiale ou de phase de ƒ :

${\displaystyle {\bar {f}}={\frac {1}{\mu (X)}}\int f\,d\mu .\quad {\text{ (Pour un espace de probabilité, }}\mu (X)=1.)}$

En général, la moyenne temporelle et la moyenne spatiale peuvent être différentes. Mais si la transformation est ergodique et que la mesure est invariante, alors la moyenne temporelle est presque partout égale à la moyenne spatiale . C'est le célèbre théorème ergodique, sous une forme abstraite due à George David Birkhoff . (En fait, l'article de Birkhoff ne considère pas le cas général abstrait mais seulement le cas des systèmes dynamiques résultant d'équations différentielles sur une variété lisse.) Le théorème d'équidistribution est un cas particulier du théorème ergodique, traitant spécifiquement de la distribution des probabilités sur l'unité intervalle.

Plus précisément, le théorème ergodique ponctuel ou fort stipule que la limite dans la définition de la moyenne temporelle de ƒ existe pour presque tout x et que la fonction limite (presque partout définie) ƒ̂ est intégrable :

${\displaystyle {\hat {f}}\in L^{1}(\mu ).\,}$

De plus, est T -invariant, c'est-à-dire ${\displaystyle {\hat {f}}}$

${\displaystyle {\hat {f}}\circ T={\hat {f}}\,}$

détient presque partout, et si μ ( X ) est finie, la normalisation est le même:

${\displaystyle \int {\hat {f}}\,d\mu =\int f\,d\mu .}$

En particulier, si T est ergodique, alors ƒ̂ doit être une constante (presque partout), et on a donc que

${\displaystyle {\bar {f}}={\hat {f}}\,}$

presque partout. Reliant la première à la dernière demande et en supposant que μ ( X ) est fini et non nul, il faut que

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\;{\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}f(T^{k}x)={ \frac {1}{\mu (X)}}\int f\,d\mu }$

pour presque tout x , c'est-à-dire pour tout x à l' exception d'un ensemble de mesure zéro.

Pour une transformation ergodique, la moyenne temporelle est presque sûrement égale à la moyenne spatiale.

A titre d'exemple, supposons que l'espace de mesure ( X , Σ, μ ) modélise les particules d'un gaz comme ci-dessus, et soit ƒ( x ) la vitesse de la particule à la position x . Ensuite, les théorèmes ergodiques ponctuels disent que la vitesse moyenne de toutes les particules à un moment donné est égale à la vitesse moyenne d'une particule au fil du temps.

Une généralisation du théorème de Birkhoff est le théorème ergodique sous-additif de Kingman .

Formulation probabiliste : théorème de Birkhoff-Khinchin

Théorème de Birkhoff-Khinchin . Soit ƒ mesurable, E (|ƒ|) < , et T une application préservant la mesure. Alors avec probabilité 1 :

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\;{\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}f(T^{k}x)=E (f\mid {\mathcal {C}})(x),}$

où est l' espérance conditionnelle étant donné la -algèbre des ensembles invariants de T . ${\displaystyle E(f|{\mathcal {C}})}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

Corollaire ( Théorème ergodique ponctuel ) : En particulier, si T est aussi ergodique, alors est la σ-algèbre triviale, et donc avec probabilité 1 : ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\;{\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}f(T^{k}x)=E (F).}$

Théorème ergodique moyen

Le théorème ergodique moyen de Von Neumann , tient dans les espaces de Hilbert.

Soit U un opérateur unitaire sur un espace de Hilbert H ; plus généralement, un opérateur linéaire isométrique (c'est-à-dire un opérateur linéaire pas nécessairement surjectif satisfaisant ‖ Ux ‖ = ‖ x ‖ pour tout x dans H , ou de manière équivalente, satisfaisant U * U = I, mais pas nécessairement UU * = I). Soit P la projection orthogonale sur { ψ  ∈  H  | Uψ  = ψ} = ker( I  −  U ).

Alors, pour tout x dans H , on a :

${\displaystyle \lim _{N\to \infty} {1 \over N}\sum _{n=0}^{N-1}U^{n}x=Px,}$

où la limite est par rapport à la norme sur H . En d'autres termes, la séquence des moyennes

${\displaystyle {\frac {1}{N}}\sum _{n=0}^{N-1}U^{n}}$

converge vers P dans la topologie des opérateurs forts .

En effet, il n'est pas difficile de voir que dans ce cas any admet une décomposition orthogonale en parties de et respectivement. La première partie est invariante dans toutes les sommes partielles au fur et à mesure que grandit, tandis que pour la dernière partie, à partir de la série télescopique on aurait : ${\style d'affichage x\dans H}$${\style d'affichage \ker(IU)}$${\displaystyle {\overline {\operatorname {ran} (IU)}}}$${\style d'affichage N}$

${\displaystyle \lim _{N\to \infty} {1 \over N}\sum _{n=0}^{N-1}U^{n}(IU)=\lim _{N\to \ infty }{1 \sur N}(IU^{N})=0}$

Ce théorème se spécialise dans le cas où l'espace de Hilbert H est constitué de L ² fonctions sur un espace de mesure et U est un opérateur de la forme

${\style d'affichage Uf(x)=f(Tx)\,}$

où T est un endomorphisme préservant la mesure de X , considéré dans les applications comme représentant un pas de temps d'un système dynamique discret. Le théorème ergodique affirme alors que le comportement moyen d'une fonction ƒ sur des échelles de temps suffisamment grandes est approximé par la composante orthogonale de qui est invariante dans le temps.

Dans une autre forme du théorème ergodique moyen, soit U _t un groupe à un paramètre fortement continu d'opérateurs unitaires sur H . Ensuite, l'opérateur

${\displaystyle {\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}U_{t}\,dt}$

converge dans la topologie des opérateurs forts lorsque T → ∞. En fait, ce résultat s'étend également au cas d' un semi-groupe fortement continu à un paramètre d'opérateurs contractants sur un espace réflexif.

Remarque : Une certaine intuition pour le théorème ergodique moyen peut être développée en considérant le cas où les nombres complexes de longueur unitaire sont considérés comme des transformations unitaires sur le plan complexe (par multiplication à gauche). Si nous choisissons un seul nombre complexe de longueur unitaire (que nous considérons comme U ), il est intuitif que ses puissances remplissent le cercle. Puisque le cercle est symétrique autour de 0, il est logique que les moyennes des puissances de U convergent vers 0. De plus, 0 est le seul point fixe de U , et donc la projection sur l'espace des points fixes doit être l'opérateur zéro (ce qui correspond à la limite qui vient d'être décrite).

Convergence des moyennes ergodiques dans les normes L ^p

Soit ( X , Σ, μ ) comme ci-dessus un espace de probabilité avec une transformation préservant la mesure T , et soit 1 ≤ p ≤ ∞. L'espérance conditionnelle par rapport à la sous-σ-algèbre Σ _T des ensembles T -invariants est un projecteur linéaire E _T de norme 1 de l'espace de Banach L ^p ( X , Σ, μ ) sur son sous-espace fermé L ^p ( X , Σ _T , μ ) Ce dernier peut aussi être caractérisé comme l'espace de toutes les fonctions L ^p -invariantes T sur X . Les moyennes ergodiques, en tant qu'opérateurs linéaires sur L ^p ( X , Σ, μ ) ont aussi la norme d'opérateur unitaire ; et, comme conséquence simple du théorème de Birkhoff-Khinchin, convergent vers le projecteur E _T dans la topologie des opérateurs forts de L ^p si 1 ≤ p ≤ ∞, et dans la topologie des opérateurs faibles si p = ∞. Plus est vrai si 1 < p ≤ ∞ alors le théorème de convergence dominée ergodique de Wiener–Yoshida–Kakutani stipule que les moyennes ergodiques de ƒ ∈ L ^p sont dominées dans L ^p ; cependant, si ƒ ∈ L ¹ , les moyennes ergodiques peuvent ne pas être équidominées dans L ^p . Enfin, si ƒ est supposé être dans la classe de Zygmund, c'est |ƒ| log ⁺ (|ƒ|) est intégrable, alors les moyennes ergodiques sont même dominées dans L ¹ .

Temps de séjour

Soit ( X , Σ, μ ) un espace de mesure tel que μ ( X ) est fini et non nul. Le temps passé dans un ensemble mesurable A est appelé temps de séjour . Une conséquence immédiate du théorème ergodique est que, dans un système ergodique, la mesure relative de A est égale au temps de séjour moyen :

${\displaystyle {\frac {\mu (A)}{\mu (X)}}={\frac {1}{\mu (X)}}\int \chi _{A}\,d\mu = \lim _{n\rightarrow \infty }\;{\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}\chi _{A}(T^{k}x) }$

pour tout x sauf pour un ensemble de mesure zéro, où _A est la fonction indicatrice de A .

Les instants d'occurrence d'un ensemble mesurable A sont définis comme l'ensemble k ₁ , k ₂ , k ₃ , ..., des instants k tels que T ^k ( x ) soit dans A , triés par ordre croissant. Les différences entre les temps d'occurrence consécutifs R _i = k _i − k _{i −1} sont appelées les temps de récurrence de A . Une autre conséquence du théorème ergodique est que le temps de récurrence moyen de A est inversement proportionnel à la mesure de A , en supposant que le point initial x est dans A , de sorte que k ₀ = 0.

${\displaystyle {\frac {R_{1}+\cdots +R_{n}}{n}}\rightarrow {\frac {\mu (X)}{\mu (A)}}\quad {\text{ (presque sûrement)}}}$

(Voir presque sûrement .) C'est-à-dire que plus A est petit , plus il faut de temps pour y revenir.

Écoulements ergodiques sur les variétés

L'ergodicité du flot géodésique sur des surfaces de Riemann compactes à courbure négative variable et sur des variétés compactes de courbure négative constante de dimension quelconque a été prouvée par Eberhard Hopf en 1939, bien que des cas particuliers aient été étudiés plus tôt : voir par exemple le billard d'Hadamard (1898) et le billard Artin (1924). La relation entre les écoulements géodésiques sur les surfaces de Riemann et les sous-groupes à un paramètre sur SL(2, R ) a été décrite en 1952 par SV Fomin et IM Gelfand . L'article sur les écoulements d'Anosov fournit un exemple d'écoulements ergodiques sur SL(2, R ) et sur des surfaces de Riemann de courbure négative. Une grande partie du développement qui y est décrit se généralise aux variétés hyperboliques, puisqu'elles peuvent être considérées comme des quotients de l' espace hyperbolique par l' action d'un réseau dans le groupe de Lie semi-simple SO(n,1) . L'ergodicité du flot géodésique sur les espaces symétriques riemanniens a été démontrée par FI Mautner en 1957. En 1967 DV Anosov et Ya. G. Sinai a prouvé l'ergodicité de l'écoulement géodésique sur des variétés compactes de courbure sectionnelle négative variable . Un critère simple pour l'ergodicité d'un écoulement homogène sur un espace homogène d'un groupe de Lie semi - simple a été donné par Calvin C. Moore en 1966. De nombreux théorèmes et résultats de ce domaine d'étude sont typiques de la théorie de la rigidité .

Dans les années 1930, GA Hedlund a prouvé que l'écoulement de l'horocycle sur une surface hyperbolique compacte est minimal et ergodique. L'ergodicité unique de l'écoulement a été établie par Hillel Furstenberg en 1972. Les théorèmes de Ratner fournissent une généralisation majeure de l'ergodicité pour les écoulements unipotents sur les espaces homogènes de la forme Γ \  G , où G est un groupe de Lie et Γ est un réseau dans  G .

Au cours des 20 dernières années, de nombreux travaux ont tenté de trouver un théorème de classification de mesures similaire aux théorèmes de Ratner mais pour des actions diagonalisables, motivés par les conjectures de Furstenberg et Margulis . Un résultat partiel important (résoudre ces conjectures avec une hypothèse supplémentaire d'entropie positive) a été prouvé par Elon Lindenstrauss , et il a reçu la médaille Fields en 2010 pour ce résultat.

Voir également

• Théorie du chaos
• Hypothèse ergodique
• Processus ergodique
• Temps de Lyapunov - la limite de temps à la prévisibilité du système
• Théorème ergodique maximal
• Théorème d'isomorphisme d'Ornstein
• Mécanique statistique
• Dynamique symbolique
• Effet Lindy

Les références

Références historiques

• Birkhoff, George David (1931), "Preuve du théorème ergodique" , Proc. Natl. Acad. Sci. États - Unis , 17 (12): 656-660, bibcode : 1931PNAS ... 17..656B , doi : 10.1073 / pnas.17.12.656 , PMC  1.076.138 , PMID  16577406.
• Birkhoff, George David (1942), "Qu'est-ce que le théorème ergodique ?", Amer. Math. Mensuel , 49 (4) : 222–226, doi : 10.2307/2303229 , JSTOR  2303229.
• von Neumann, John (1932), "Preuve de l'hypothèse quasi-ergodique", Proc. Natl. Acad. Sci. USA , 18 (1): 70-82, bibcode : 1932PNAS ... 18 ... 70N , doi : 10.1073 / pnas.18.1.70 , PMC  1.076.162 , PMID  16577432.
• von Neumann, John (1932), "Applications physiques de l'hypothèse ergodique", Proc. Natl. Acad. Sci. USA , 18 (3): 263-266, bibcode : 1932PNAS ... 18..263N , doi : 10.1073 / pnas.18.3.263 , JSTOR  86260 , PMC  1.076.204 , PMID  16587674.
• Hopf, Eberhard (1939), "Statistik der geodätischen Linien in Mannigfaltigkeiten negativer Krümmung", Leipzig Ber. Verhandl. Sächs. Akad. Wiss. , 91 : 261–304.
• Fomine, Sergueï V. ; Gelfand, IM (1952), "Flux géodésiques sur des variétés de courbure négative constante", Uspekhi Mat. Nauk , 7 (1) : 118-137.
• Mautner, FI (1957), "Flux géodésiques sur des espaces de Riemann symétriques", Ann. Math. , 65 (3) : 416-431, doi : 10.2307/1970054 , JSTOR  1970054.
• Moore, CC (1966), "Ergodicité des flux sur des espaces homogènes", Amer. J. Maths. , 88 (1) : 154–178, doi : 10.2307/2373052 , JSTOR  2373052.

Références modernes

• DV Anosov (2001) [1994], "Théorie ergodique" , Encyclopédie des mathématiques , EMS Press
• Cet article incorpore du matériel du théorème ergodique sur PlanetMath , qui est sous licence Creative Commons Attribution/Share-Alike License .
• Vladimir Igorevich Arnol'd et André Avez, Problèmes ergodiques de la mécanique classique . New York : WA Benjamin. 1968.
• Leo Breiman, Probabilité . Édition originale publiée par Addison-Wesley, 1968; réimprimé par la Society for Industrial and Applied Mathematics, 1992. ISBN  0-89871-296-3 . (Voir chapitre 6.)
• Walters, Peter (1982), Une introduction à la théorie ergodique , Textes d'études supérieures en mathématiques, 79 , Springer-Verlag , ISBN 0-387-95152-0, Zbl  0475.28009
• Tim Bedford; Michael Keane ; Série Caroline, éd. (1991), Théorie ergodique, dynamique symbolique et espaces hyperboliques , Oxford University Press, ISBN 0-19-853390-X (Une enquête sur des sujets en théorie ergodique ; avec des exercices.)
• Karl Petersen. Théorie ergodique (Études de Cambridge en mathématiques avancées). Cambridge : Cambridge University Press. 1990.
• Joseph M. Rosenblatt et Máté Weirdl, Pointwise ergodic theorems via harmonic analysis , (1993) apparaissant dans Ergodic Theory and its Connections with Harmonic Analysis, Proceedings of the 1993 Alexandria Conference , (1995) Karl E. Petersen et Ibrahim A. Salama, eds . , Cambridge University Press, Cambridge, ISBN  0-521-45999-0 . (Une étude approfondie des propriétés ergodiques des généralisations du théorème d'équidistribution des cartes de décalage sur l' intervalle unitaire . Se concentre sur les méthodes développées par Bourgain.)
• AN Shiryaev , Probabilité , 2e éd., Springer 1996, Sec. V.3. ISBN  0-387-94549-0 .
• Joseph D. Zund (2002), « George David Birkhoff et John von Neumann : A Question of Priority and the Ergodic Theorems, 1931–1932 », Historia Mathematica , 29 (2) : 138–156, doi : 10.1006/hmat.2001.2338 (Une discussion détaillée sur la priorité de la découverte et de la publication des théorèmes ergodiques par Birkhoff et von Neumann, basée sur une lettre de ce dernier à son ami Howard Percy Robertson.)
• Andrzej Lasota, Michael C. Mackey, Chaos, fractales et bruit : aspects stochastiques de la dynamique . Deuxième édition, Springer, 1994.
• Jane Hawkins , Ergodic Dynamics: From Basic Theory to Applications , Springer, 2021. ISBN  978-3-030-59242-4

Liens externes

• Théorie ergodique (16 juin 2015) Notes de Cosma Rohilla Shalizi
• Le théorème ergodique réussit le test From Physics World