Essentiellement unique - Essentially unique

En mathématiques , le terme essentiellement unique est utilisé pour décrire une forme plus faible d'unicité, où un objet satisfaisant une propriété est "unique" uniquement dans le sens où tous les objets satisfaisant la propriété sont équivalents les uns aux autres. La notion d'unicité essentielle présuppose une certaine forme de «similitude», qui est souvent formalisée à l'aide d'une relation d'équivalence .

Une notion connexe est une propriété universelle , où un objet est non seulement essentiellement unique, mais unique jusqu'à un isomorphisme unique (ce qui signifie qu'il a un groupe d'automorphisme trivial ). En général, il peut y avoir plus d'un isomorphisme entre des exemples d'un objet essentiellement unique.

Exemples

Théorie des ensembles

Au niveau le plus élémentaire, il existe un ensemble essentiellement unique d'une cardinalité donnée , que l'on nomme les éléments ou . Dans ce cas, la non-unicité de l'isomorphisme (par exemple, correspondance 1 à ou 1 à ) est reflétée dans le groupe symétrique .

D'autre part, il y a une essence unique , ordonné ensemble de toute cardinalité finie donnée: si l' on écrit et , la seule isomorphisme-maintien de l' ordre est celui qui associe 1 à , 2 , et 3 à .

La théorie du nombre

Le théorème fondamental de l'arithmétique établit que la factorisation de tout entier positif en nombres premiers est essentiellement unique, c'est-à-dire unique jusqu'à l'ordre des facteurs premiers.

Théorie des groupes

Dans le cadre de la classification des groupes , il existe un groupe essentiellement unique contenant exactement 2 éléments. De même, il existe également un groupe essentiellement unique contenant exactement 3 éléments: le groupe cyclique d'ordre trois. En fait, quelle que soit la façon dont on choisit d'écrire les trois éléments et de désigner l'opération de groupe, tous ces groupes peuvent être montrés comme isomorphes les uns par rapport aux autres, et sont donc «identiques».

Par contre, il n'existe pas de groupe essentiellement unique avec exactement 4 éléments, car il y a dans ce cas deux groupes non isomorphes au total: le groupe cyclique d'ordre 4 et le groupe de Klein quatre .

Mesurer la théorie

Il existe une mesure essentiellement unique qui est la translation - invariante , strictement positive et localement finie sur la ligne réelle . En fait, une telle mesure doit être un multiple constant de la mesure de Lebesgue , spécifiant que la mesure de l'intervalle unitaire doit être 1 - avant de déterminer la solution de manière unique.

Topologie

Il existe une variété essentiellement unique en deux dimensions, compacte et simplement connectée : la sphère 2 . Dans ce cas, il est unique jusqu'à l' homéomorphisme .

Dans le domaine de la topologie connue sous le nom de théorie des nœuds , il existe un analogue du théorème fondamental de l'arithmétique: la décomposition d'un nœud en une somme de nœuds premiers est essentiellement unique.

Théorie du mensonge

Un sous-groupe compact maximal d'un groupe de Lie semi - simple peut ne pas être unique, mais est unique jusqu'à la conjugaison.

Théorie des catégories

Un objet qui est la limite ou la colimite sur un diagramme donné est essentiellement unique, car il existe un isomorphisme unique par rapport à tout autre objet limitant / colimitant.

Théorie du codage

Compte tenu de la tâche consistant à utiliser des mots de 24 bits pour stocker 12 bits d'informations de manière à détecter des erreurs de 7 bits et à corriger des erreurs de 3 bits, la solution est essentiellement unique: le code binaire étendu de Golay .

Voir également

Références