Fonctions paires et impaires - Even and odd functions

La fonction sinus et tous ses polynômes de Taylor sont des fonctions impaires. Cette image montre et ses approximations de Taylor, des polynômes de degré 1, 3, 5, 7, 9, 11 et 13.${\style d'affichage \sin(x)}$

La fonction cosinus et tous ses polynômes de Taylor sont des fonctions paires. Cette image montre et son approximation de Taylor du degré 4.${\style d'affichage \cos(x)}$

En mathématiques , les fonctions paires et les fonctions impaires sont des fonctions qui satisfont à des relations de symétrie particulières , par rapport à la prise d' inverses additifs . Ils sont importants dans de nombreux domaines de l'analyse mathématique , en particulier la théorie des séries entières et des séries de Fourier . Ils sont nommés pour la parité des puissances des fonctions puissances qui satisfont à chaque condition : la fonction est une fonction paire si n est un entier pair , et c'est une fonction impaire si n est un entier impair. ${\style d'affichage f(x)=x^{n}}$

Définition et exemples

La régularité et l'impair sont généralement considérées pour les fonctions réelles , c'est-à-dire les fonctions à valeur réelle d'une variable réelle. Cependant, les concepts peuvent être définis plus généralement pour des fonctions dont le domaine et le codomaine ont tous deux une notion d' inverse additif . Cela inclut les groupes abéliens , tous les anneaux , tous les champs et tous les espaces vectoriels . Ainsi, par exemple, une fonction réelle pourrait être impaire ou paire (ou ni l'une ni l'autre), tout comme une fonction à valeur complexe d'une variable vectorielle, et ainsi de suite.

Les exemples donnés sont des fonctions réelles, pour illustrer la symétrie de leurs graphes .

Même les fonctions

${\style d'affichage f(x)=x^{2}}$ est un exemple de fonction paire.

Soit f une fonction à valeur réelle d'une variable réelle. Alors f est pair si l'équation suivante est vraie pour tout x tel que x et − x dans le domaine de f :

${\style d'affichage f(x)=f(-x)}$

( Éq.1 )

ou de manière équivalente si l'équation suivante est vraie pour tous ces x :

${\style d'affichage f(x)-f(-x)=0.}$

Géométriquement, le graphe d'une fonction paire est symétrique par rapport à l' axe des y , ce qui signifie que son graphe reste inchangé après réflexion autour de l' axe des y .

Voici des exemples de fonctions paires :

• La valeur absolue ${\displaystyle x\mapsto |x|,}$
• ${\displaystyle x\mapsto x^{2},}$
• ${\displaystyle x\mapsto x^{4},}$
• cosinus ${\style d'affichage \cos ,}$
• cosinus hyperbolique ${\displaystyle \cosh .}$

Fonctions impaires

${\style d'affichage f(x)=x^{3}}$ est un exemple de fonction impaire.

Encore une fois, soit f une fonction à valeur réelle d'une variable réelle. Alors f est impair si l'équation suivante est vraie pour tout x tel que x et − x sont dans le domaine de f :

${\style d'affichage -f(x)=f(-x)}$

( Éq.2 )

ou de manière équivalente si l'équation suivante est vraie pour tous ces x :

${\style d'affichage f(x)+f(-x)=0.}$

Géométriquement, le graphique d'une fonction impaire a une symétrie de rotation par rapport à l' origine , ce qui signifie que son graphique reste inchangé après une rotation de 180 degrés autour de l'origine.

Voici des exemples de fonctions impaires :

• La fonction identité ${\displaystyle x\mapsto x,}$
• ${\displaystyle x\mapsto x^{3},}$
• sinus ${\style d'affichage \sin ,}$
• sinus hyperbolique ${\style d'affichage \sinh ,}$
• La fonction d'erreur ${\displaystyle \operatorname {erf} .}$

${\style d'affichage f(x)=x^{3}+1}$ n'est ni pair ni impair.

Propriétés de base

Unicité

• Si une fonction est à la fois paire et impaire, elle est égale à 0 partout où elle est définie.
• Si une fonction est impaire, la valeur absolue de cette fonction est une fonction paire.

Addition et soustraction

• La somme de deux fonctions paires est paire.
• La somme de deux fonctions impaires est impaire.
• La différence entre deux fonctions impaires est impaire.
• La différence entre deux fonctions paires est paire.
• La somme d'une fonction paire et impaire n'est ni paire ni impaire, sauf si l'une des fonctions est égale à zéro sur le domaine donné .

Multiplication et division

• Le produit de deux fonctions paires est une fonction paire.
  • Cela implique que le produit d'un nombre quelconque de fonctions paires est également une fonction paire.
• Le produit de deux fonctions impaires est une fonction paire.
• Le produit d'une fonction paire et d'une fonction impaire est une fonction impaire.
• Le quotient de deux fonctions paires est une fonction paire.
• Le quotient de deux fonctions impaires est une fonction paire.
• Le quotient d'une fonction paire et d'une fonction impaire est une fonction impaire.

Composition

• La composition de deux fonctions paires est paire.
• La composition de deux fonctions impaires est impaire.
• La composition d'une fonction paire et d'une fonction impaire est paire.
• La composition de toute fonction avec une fonction paire est paire (mais pas l'inverse).

Décomposition pair-impair

Chaque fonction peut être décomposée de manière unique comme la somme d'une fonction paire et d'une fonction impaire, appelées respectivement la partie paire et la partie impaire de la fonction ; si l'on définit

${\displaystyle f_{\text{e}}(x)={\frac {f(x)+f(-x)}{2}}}$

( Éq.3 )

et

${\displaystyle f_{\text{o}}(x)={\frac {f(x)-f(-x)}{2}}}$

( Éq.4 )

alors est pair, est impair, et ${\displaystyle f_{\text{e}}}$${\displaystyle f_{\text{o}}}$

${\displaystyle f(x)=f_{\text{e}}(x)+f_{\text{o}}(x).}$

A l'inverse, si

${\style d'affichage f(x)=g(x)+h(x),}$

où g est pair et h impair, alors et puisque ${\displaystyle g=f_{\text{e}}}$${\displaystyle h=f_{\text{o}},}$

${\displaystyle {\begin{aligned}2f_{\text{e}}(x)&=f(x)+f(-x)=g(x)+g(-x)+h(x)+h (-x)=2g(x),\\2f_{\text{o}}(x)&=f(x)-f(-x)=g(x)-g(-x)+h(x )-h(-x)=2h(x).\end{aligned}}}$

Par exemple, le cosinus hyperbolique et le sinus hyperbolique peuvent être considérés comme les parties paires et impaires de la fonction exponentielle, car la première est une fonction paire, la seconde est impaire, et

${\displaystyle e^{x}=\underbrace {\cosh(x)} _{f_{\text{e}}(x)}+\underbrace {\sinh(x)} _{f_{\text{o }}(X)}}$.

Autres propriétés algébriques

• Toute combinaison linéaire de fonctions paires est paire, et les fonctions paires forment un espace vectoriel sur les réels . De même, toute combinaison linéaire de fonctions impaires est impaire, et les fonctions impaires forment également un espace vectoriel sur les réels. En fait, l'espace vectoriel de toutes les fonctions réelles est la somme directe des sous - espaces des fonctions paires et impaires. C'est une manière plus abstraite d'exprimer la propriété dans la section précédente.
  • L'espace des fonctions peut être considéré comme une algèbre graduée sur les nombres réels par cette propriété, ainsi que certaines de celles ci-dessus.

• Les fonctions paires forment une algèbre commutative sur les réels. Cependant, les fonctions impaires ne forment pas une algèbre sur les réels, car elles ne sont pas fermées par multiplication.

Propriétés analytiques

Le fait qu'une fonction soit impaire ou paire n'implique pas la différentiabilité , ni même la continuité . Par exemple, la fonction de Dirichlet est paire, mais n'est nulle part continue.

Dans ce qui suit, concernant des propriétés dérivés , séries de Fourier , série de Taylor , et ainsi de suite penser que ces concepts sont définis des fonctions considérées.

Propriétés analytiques de base

• La dérivée d'une fonction paire est impaire.
• La dérivée d'une fonction impaire est paire.
• L' intégrale d'une fonction impaire de − A à + A est nulle (où A est fini et la fonction n'a pas d'asymptote verticale entre − A et A ). Pour une fonction impaire qui est intégrable sur un intervalle symétrique, par exemple , le résultat de l'intégrale sur cet intervalle est zéro ; C'est ${\style d'affichage [-A,A]}$

  ${\displaystyle \int _{-A}^{A}f(x)\,dx=0}$.

• L'intégrale d'une fonction paire de − A à + A est le double de l'intégrale de 0 à + A (où A est fini et la fonction n'a pas d'asymptote verticale entre − A et A . Cela est également vrai lorsque A est infini, mais seulement si l'intégrale converge); C'est

  ${\displaystyle \int _{-A}^{A}f(x)\,dx=2\int _{0}^{A}f(x)\,dx}$.

Séries

• La série Maclaurin d'une fonction paire ne comprend que des pouvoirs pairs.
• La série Maclaurin d'une fonction impaire ne comprend que des puissances impaires.
• La série de Fourier d'une fonction périodique paire ne comprend que des termes cosinus .
• La série de Fourier d'une fonction périodique impaire ne comprend que des termes sinus .
• La transformée de Fourier d'une fonction paire à valeur réelle pure est réelle et paire. (voir Analyse de Fourier § Propriétés de symétrie )
• La transformée de Fourier d'une fonction impaire purement réelle est imaginaire et impaire. (voir Analyse de Fourier § Propriétés de symétrie )

Harmoniques

Dans le traitement du signal , la distorsion harmonique se produit lorsqu'un signal sinusoïdal est envoyé à travers un système non linéaire sans mémoire , c'est-à-dire un système dont la sortie à l'instant t ne dépend que de l'entrée à l'instant t et ne dépend pas de l'entrée à aucun précédent. fois. Un tel système est décrit par une fonction de réponse . Le type d' harmoniques produites dépend de la fonction de réponse f : ${\displaystyle V_{\text{out}}(t)=f(V_{\text{in}}(t))}$

• Lorsque la fonction de réponse est paire, le signal résultant sera constitué uniquement d'harmoniques paires de l'onde sinusoïdale d'entrée ; ${\displaystyle 0f,2f,4f,6f,\dots }$
  • La fondamentale est également une harmonique impaire, elle ne sera donc pas présente.
  • Un exemple simple est un redresseur double alternance .
  • Le composant représente le décalage CC, en raison de la nature unilatérale des fonctions de transfert à symétrie paire.${\style d'affichage 0f}$
• Lorsqu'il est impair, le signal résultant sera composé uniquement d'harmoniques impaires de l'onde sinusoïdale d'entrée ; ${\style d'affichage 1f,3f,5f,\dots }$
  • Le signal de sortie sera symétrique demi-onde .
  • Un exemple simple est l' écrêtage dans un amplificateur symétrique push-pull .
• Lorsqu'il est asymétrique, le signal résultant peut contenir des harmoniques paires ou impaires ; ${\style d'affichage 1f,2f,3f,\dots }$
  • Des exemples simples sont un redresseur demi-onde et l'écrêtage dans un amplificateur de classe A asymétrique .

Notez que cela ne s'applique pas aux formes d'onde plus complexes. Une onde en dents de scie contient à la fois des harmoniques paires et impaires, par exemple. Après un redressement symétrique pair à double alternance, il devient une onde triangulaire qui, outre le décalage continu, ne contient que des harmoniques impaires.

Généralisations

Fonctions multivariées

Même symétrie :

Une fonction est dite même symétrique si : ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$

${\displaystyle f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=f(-x_{1},-x_{2},\ldots ,-x_{n})\quad { \text{for all }}x_{1},\ldots ,x_{n}\in \mathbb {R} }$

Symétrie impaire :

Une fonction est dite impaire symétrique si : ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$

${\displaystyle f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=-f(-x_{1},-x_{2},\ldots ,-x_{n})\quad {\text{for all }}x_{1},\ldots ,x_{n}\in \mathbb {R} }$

Fonctions à valeurs complexes

Les définitions de la symétrie paire et impaire pour les fonctions à valeurs complexes d'un argument réel sont similaires au cas réel mais impliquent une conjugaison complexe .

Même symétrie :

Une fonction à valeur complexe d'un argument réel est dite même symétrique si : ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {C} }$

${\displaystyle f(x)={\overline {f(-x)}}\quad {\text{for all }}x\in \mathbb {R} }$

Symétrie impaire :

Une fonction à valeur complexe d'un argument réel est appelée symétrique impair si : ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {C} }$

${\displaystyle f(x)=-{\overline {f(-x)}}\quad {\text{for all }}x\in \mathbb {R} }$

Séquences de longueur finie

Les définitions de la symétrie paire et impaire sont étendues aux séquences à N points (c'est-à-dire aux fonctions de la forme ) comme suit : ${\displaystyle f:\left\{0,1,\ldots ,N-1\right\}\to \mathbb {R} }$

Même symétrie :

Une suite à N points est dite même symétrique si

${\displaystyle f(n)=f(Nn)\quad {\text{for all }}n\in \left\{1,\ldots ,N-1\right\}.}$

Une telle séquence est souvent appelée séquence palindromique ; voir aussi polynôme palindromique .

Symétrie impaire :

Une suite à N points est dite impaire symétrique si

${\displaystyle f(n)=-f(Nn)\quad {\text{for all }}n\in \left\{1,\ldots ,N-1\right\}.}$

Une telle séquence est parfois appelée séquence antipalindromique ; voir aussi Polynôme antipalindromique .

Voir également

• Fonction hermitienne pour une généralisation aux nombres complexes
• Taylor série
• série de Fourier
• Méthode Holstein-Hareng
• Parité (physique)

Remarques

Les références

• Gelfand, IM ; Glagoleva, EG ; Shnol, EE (2002) [1969], Fonctions et graphiques , Mineola, NY: Dover Publications