Extrapolation - Extrapolation

En mathématiques , l' extrapolation est un type d' estimation , au-delà de la plage d'observation d'origine, de la valeur d'une variable sur la base de sa relation avec une autre variable. Elle est similaire à l' interpolation , qui produit des estimations entre des observations connues, mais l'extrapolation est sujette à une plus grande incertitude et à un risque plus élevé de produire des résultats dénués de sens. L'extrapolation peut également signifier l'extension d'une méthode , en supposant que des méthodes similaires seront applicables. L'extrapolation peut également s'appliquer à l' expérience humaine pour projeter, étendre ou étendre l'expérience connue dans une zone inconnue ou précédemment expérimentée afin d'arriver à une connaissance (généralement conjecturale) de l'inconnu (par exemple, un conducteur extrapole les conditions routières au-delà de sa vue en conduisant ). La méthode d'extrapolation peut être appliquée au problème de reconstruction intérieure .

Exemple d'illustration du problème d'extrapolation, consistant à attribuer une valeur significative à la case bleue, à , étant donné les points de données rouges.

Méthodes

Un choix judicieux de la méthode d'extrapolation à appliquer repose sur une connaissance préalable du processus qui a créé les points de données existants. Certains experts ont proposé l'utilisation de forces causales dans l'évaluation des méthodes d'extrapolation. Les questions cruciales sont, par exemple, si les données peuvent être supposées être continues, lisses, éventuellement périodiques, etc.

Linéaire

L'extrapolation linéaire signifie créer une ligne tangente à la fin des données connues et l'étendre au-delà de cette limite. L'extrapolation linéaire ne donnera de bons résultats que lorsqu'elle est utilisée pour étendre le graphique d'une fonction approximativement linéaire ou pas trop loin au-delà des données connues.

Si les deux points de données les plus proches du point à extrapoler sont et , l'extrapolation linéaire donne la fonction :

(qui est identique à l'interpolation linéaire si ). Il est possible d'inclure plus de deux points, et en faisant la moyenne de la pente de l'interpolant linéaire, par des techniques de type régression , sur les points de données choisis pour être inclus. Ceci est similaire à la prédiction linéaire .

Polynôme

Extrapolations de Lagrange de la séquence 1,2,3. L'extrapolation par 4 conduit à un polynôme de degré minimal ( ligne cyan ).

Une courbe polynomiale peut être créée à travers l'ensemble des données connues ou juste vers la fin (deux points pour l'extrapolation linéaire, trois points pour l'extrapolation quadratique, etc.). La courbe résultante peut alors être prolongée au-delà de la fin des données connues. L'extrapolation polynomiale est généralement effectuée au moyen d'une interpolation de Lagrange ou en utilisant la méthode des différences finies de Newton pour créer une série de Newton qui correspond aux données. Le polynôme résultant peut être utilisé pour extrapoler les données.

L'extrapolation polynomiale d'ordre élevé doit être utilisée avec prudence. Pour l'exemple d'ensemble de données et le problème de la figure ci-dessus, tout ce qui est supérieur à l'ordre 1 (extrapolation linéaire) produira éventuellement des valeurs inutilisables ; une estimation d'erreur de la valeur extrapolée augmentera avec le degré d'extrapolation polynomiale. Ceci est lié au phénomène de Runge .

Conique

Une section conique peut être créée en utilisant cinq points près de la fin des données connues. Si la section conique créée est une ellipse ou un cercle , une fois extrapolée, elle se rebouclera et se rejoindra. Une parabole ou une hyperbole extrapolée ne se rejoindra pas, mais peut se courber en arrière par rapport à l'axe X. Ce type d'extrapolation peut être fait avec un gabarit de sections coniques (sur papier) ou avec un ordinateur.

courbe française

L' extrapolation de la courbe française est une méthode adaptée à toute distribution ayant tendance à être exponentielle, mais avec des facteurs d'accélération ou de décélération. Cette méthode a été utilisée avec succès pour fournir des projections prévisionnelles de la croissance du VIH/SIDA au Royaume-Uni depuis 1987 et de la variante de la MCJ au Royaume-Uni depuis un certain nombre d'années. Une autre étude a montré que l'extrapolation peut produire la même qualité de résultats de prévision que des stratégies de prévision plus complexes.

Extrapolation géométrique avec prédiction d'erreur

Peut être créé avec 3 points d'une séquence et le "moment" ou "index", ce type d'extrapolation a une précision de 100% dans les prédictions dans un grand pourcentage de base de données de séries connues (OEIS).

Exemple d'extrapolation avec prédiction d'erreur :

séquence = [1,2,3,5]

f1(x,y) = (x) / y

d1 = f1 (3,2)

d2 = f1 (5,3)

m = dernière séquence (5)

n = dernière $ dernière séquence

fnos (m,n,d1,d2) = rond ( ( ( n * d1 ) - m ) + ( m * d2 ) )

rond $ ((3*1.66)-5) + (5*1.6) = 8


Qualité

Typiquement, la qualité d'une méthode d'extrapolation particulière est limitée par les hypothèses sur la fonction faites par la méthode. Si la méthode suppose que les données sont lisses, alors une fonction non lisse sera mal extrapolée.

En termes de séries chronologiques complexes, certains experts ont découvert que l'extrapolation est plus précise lorsqu'elle est effectuée par la décomposition des forces causales.

Même pour des hypothèses correctes sur la fonction, l'extrapolation peut s'écarter fortement de la fonction. L'exemple classique est celui des représentations en séries tronquées de sin( x ) et des fonctions trigonométriques associées . Par exemple, en ne prenant que les données proches de x  = 0, nous pouvons estimer que la fonction se comporte comme sin( x ) ~  x . Au voisinage de x  = 0, c'est une excellente estimation.  Cependant, loin de x = 0, l'extrapolation s'éloigne arbitrairement de l' axe des x tandis que sin( x ) reste dans l' intervalle [−1,  1]. C'est-à-dire que l'erreur augmente sans borne.

Prendre plus de termes dans la série entière de sin( x ) autour de x  = 0 produira un meilleur accord sur un intervalle plus grand près de x  = 0, mais produira des extrapolations qui finiront par s'éloigner de l' axe x encore plus rapidement que l'approximation linéaire.

Cette divergence est une propriété spécifique des méthodes d'extrapolation et n'est contournée que lorsque les formes fonctionnelles assumées par la méthode d'extrapolation (par inadvertance ou intentionnellement en raison d'informations supplémentaires) représentent avec précision la nature de la fonction extrapolée. Pour des problèmes particuliers, ces informations supplémentaires peuvent être disponibles, mais dans le cas général, il est impossible de satisfaire tous les comportements de fonction possibles avec un petit ensemble de comportements potentiels exploitables.

Dans le plan complexe

En analyse complexe , un problème d'extrapolation peut être transformé en problème d' interpolation par le changement de variable . Cette transformation échange la partie du plan complexe à l'intérieur du cercle unité avec la partie du plan complexe à l'extérieur du cercle unité. En particulier, le point de compactification à l'infini est mappé à l'origine et vice versa. Des précautions doivent cependant être prises avec cette transformation, car la fonction d'origine peut avoir des "caractéristiques", par exemple des pôles et d'autres singularités , à l'infini qui n'étaient pas évidentes à partir des données échantillonnées.

Un autre problème d'extrapolation est vaguement lié au problème de la continuation analytique , où (typiquement) une représentation en série entière d' une fonction est étendue à l'un de ses points de convergence pour produire une série entière avec un plus grand rayon de convergence . En effet, un ensemble de données d'une petite région est utilisé pour extrapoler une fonction sur une plus grande région.

Encore une fois, la continuation analytique peut être contrecarrée par des caractéristiques fonctionnelles qui n'étaient pas évidentes à partir des données initiales.

En outre, on peut utiliser des transformations de séquence comme les approximants de Padé et les transformations de séquence de type Levin comme méthodes d'extrapolation qui conduisent à une sommation de séries entières divergentes en dehors du rayon de convergence d'origine . Dans ce cas, on obtient souvent des approximations rationnelles .

Rapide

Les données extrapolées se convoluent souvent en une fonction du noyau. Une fois les données extrapolées, la taille des données est augmentée N fois, ici N est d'environ 2-3. Si ces données doivent être  transformées en une fonction de noyau connue, les calculs numériques augmenteront N log(N) fois même avec une transformée de Fourier rapide (FFT). Il existe un algorithme, il calcule analytiquement la contribution de la partie des données extrapolées. Le temps de calcul peut être omis par rapport au calcul de convolution d'origine. Par conséquent, avec cet algorithme, les calculs d'une convolution utilisant les données extrapolées ne sont presque pas augmentés. C'est ce qu'on appelle l'extrapolation rapide. L'extrapolation rapide a été appliquée à la reconstruction d'images CT.

Arguments d'extrapolation

Les arguments d'extrapolation sont des arguments informels et non quantifiés qui affirment que quelque chose est probablement vrai au-delà de la plage de valeurs pour laquelle il est connu pour être vrai. Par exemple, nous croyons à la réalité de ce que nous voyons à travers des verres grossissants parce qu'elle s'accorde avec ce que nous voyons à l'œil nu mais s'étend au-delà ; nous croyons à ce que nous voyons au microscope optique parce qu'il s'accorde avec ce que nous voyons à la loupe mais s'étend au-delà ; et de même pour les microscopes électroniques. De tels arguments sont largement utilisés en biologie pour extrapoler des études animales aux humains et des études pilotes à une population plus large.

Comme les arguments de pente glissante, les arguments d'extrapolation peuvent être forts ou faibles en fonction de facteurs tels que la mesure dans laquelle l'extrapolation va au-delà de la plage connue.

Voir également

Remarques

Les références

  • Méthodes d'extrapolation. Théorie et pratique par C. Brezinski et M. Redivo Zaglia, Hollande du Nord, 1991.
  • Avram Sidi : "Méthodes d'extrapolation pratiques : théorie et applications", Cambridge University Press, ISBN 0-521-66159-5 (2003).
  • Claude Brezinski et Michela Redivo-Zaglia : "Extrapolation et approximation rationnelle", Springer Nature, Suisse, ISBN 9783030584177, (2020).