Niveau de Fermi - Fermi level

Le niveau de Fermi d'un corps à l' état solide est le travail thermodynamique requis pour ajouter un électron au corps. Il s'agit d'une grandeur thermodynamique généralement notée µ ou E _F par souci de concision. Le niveau de Fermi n'inclut pas le travail nécessaire pour retirer l'électron d'où qu'il vienne. Une compréhension précise du niveau de Fermi - comment il se rapporte à la structure de la bande électronique dans la détermination des propriétés électroniques, comment il se rapporte à la tension et au flux de charge dans un circuit électronique - est essentiel pour comprendre la physique des solides.

Dans la théorie de la structure de bande , utilisée en physique du solide pour analyser les niveaux d'énergie dans un solide, le niveau de Fermi peut être considéré comme un niveau d'énergie hypothétique d'un électron, de sorte qu'à l'équilibre thermodynamique ce niveau d'énergie aurait une probabilité de 50% de être occupé à un moment donné . La position du niveau de Fermi par rapport aux niveaux d'énergie des bandes est un facteur crucial dans la détermination des propriétés électriques. Le niveau de Fermi ne correspond pas nécessairement à un niveau d'énergie réel (dans un isolant le niveau de Fermi se situe dans la bande interdite ), et ne nécessite pas non plus l'existence d'une structure de bande. Néanmoins, le niveau de Fermi est une quantité thermodynamique définie avec précision, et les différences de niveau de Fermi peuvent être mesurées simplement avec un voltmètre .

Mesure de tension

Un voltmètre mesure les différences de niveau de Fermi divisé par la charge électronique .

Parfois, on dit que les courants électriques sont entraînés par des différences de potentiel électrostatique ( potentiel de Galvani ), mais ce n'est pas tout à fait vrai. À titre de contre-exemple, les dispositifs multi-matériaux tels que les jonctions p-n contiennent des différences de potentiel électrostatique internes à l'équilibre, mais sans courant net associé ; si un voltmètre est attaché à la jonction, on mesure simplement zéro volt. De toute évidence, le potentiel électrostatique n'est pas le seul facteur influençant le flux de charge dans un matériau - la répulsion de Pauli , les gradients de concentration des porteurs, l'induction électromagnétique et les effets thermiques jouent également un rôle important.

En fait, la quantité appelée tension telle que mesurée dans un circuit électronique a une relation simple avec le potentiel chimique des électrons (niveau de Fermi). Lorsque les fils d'un voltmètre sont reliés à deux points d'un circuit, la tension affichée est une mesure du travail total transféré lorsqu'une unité de charge est autorisée à se déplacer d'un point à l'autre. Si un simple fil est connecté entre deux points de tension différente (formant un court-circuit ), le courant passera de la tension positive à la tension négative, convertissant le travail disponible en chaleur.

Le niveau de Fermi d'un corps exprime le travail nécessaire pour lui ajouter un électron, ou encore le travail obtenu en enlevant un électron. Par conséquent, V _A  −  V _B , la différence de tension observée entre deux points, A et B , dans un circuit électronique est exactement liée à la différence de potentiel chimique correspondante, µ _A  −  µ _B , au niveau de Fermi par la formule

${\displaystyle V_{\mathrm {A} }-V_{\mathrm {B} }={\frac {\mu _{\mathrm {A} }-\mu _{\mathrm {B} }}{-e }}}$

où −e est la charge électronique .

De la discussion ci-dessus, on peut voir que les électrons se déplaceront d'un corps de haut µ (basse tension) à bas µ (haute tension) si un chemin simple est fourni. Ce flux d'électrons entraînera une augmentation du µ inférieur (en raison de la charge ou d'autres effets de répulsion) et entraînera également une diminution du µ supérieur . Finalement, µ s'établira à la même valeur dans les deux corps. Cela conduit à un fait important concernant l'état d'équilibre (arrêt) d'un circuit électronique :

Un circuit électronique en équilibre thermodynamique aura un niveau de Fermi constant dans toutes ses parties connectées.

Cela signifie également que la tension (mesurée avec un voltmètre) entre deux points quelconques sera nulle, à l'équilibre. Notez que l'équilibre thermodynamique nécessite ici que le circuit soit connecté en interne et ne contienne aucune batterie ou autre source d'alimentation, ni aucune variation de température.

Structure de bande de solides

Remplissage des états électroniques dans divers types de matériaux à l' équilibre . Ici, la hauteur est l'énergie tandis que la largeur est la densité d'états disponibles pour une certaine énergie dans le matériau répertorié. La teinte suit la distribution de Fermi–Dirac ( noir : tous les états remplis, blanc : aucun état rempli). Dans les métaux et les semi- métaux , le niveau de Fermi E _F se situe à l'intérieur d'au moins une bande.

Dans les isolants et les semi - conducteurs, le niveau de Fermi est à l'intérieur d'une bande interdite ; cependant, dans les semi-conducteurs, les bandes sont suffisamment proches du niveau de Fermi pour être thermiquement peuplées d'électrons ou de trous .

Éditer

Distribution de Fermi-Dirac par rapport à l' énergie , avec μ  = 0,55 eV et pour diverses températures dans la plage de 50K ≤  T  ≤ 375K.${\style d'affichage f(\epsilon )\ }$${\style d'affichage \epsilon \ }$

Dans la théorie des bandes des solides, les électrons sont considérés comme occupant une série de bandes composées d'états propres d'énergie de particule unique étiquetés chacun par ϵ . Bien que cette image de particule unique soit une approximation, elle simplifie grandement la compréhension du comportement électronique et fournit généralement des résultats corrects lorsqu'elle est appliquée correctement.

La distribution de Fermi-Dirac , , donne la probabilité que (à l'équilibre thermodynamique ) un état d'énergie ϵ soit occupé par un électron : ${\style d'affichage f(\epsilon )}$

${\displaystyle f(\epsilon )={\frac {1}{e^{(\epsilon -\mu )/kT}+1}}}$

Ici, T est la température absolue et k est la constante de Boltzmann . S'il existe un état au niveau de Fermi ( ϵ = µ ), alors cet état aura 50% de chance d'être occupé. La distribution est tracée sur la figure de gauche. Plus f est proche de 1, plus il y a de chances que cet état soit occupé. Plus f est proche de 0, plus il y a de chances que cet état soit vide.

L'emplacement de µ dans la structure de bande d'un matériau est important pour déterminer le comportement électrique du matériau.

• Dans un isolant , µ se situe dans une large bande interdite , loin de tout état capable de transporter du courant.
• Dans un métal, semi - métal ou semi-conducteur dégénéré, µ se situe dans une bande délocalisée. Un grand nombre d'états à proximité de µ sont thermiquement actifs et transportent facilement du courant.
• Dans un semi-conducteur intrinsèque ou légèrement dopé, µ est suffisamment proche d'un bord de bande pour qu'il y ait un nombre dilué de porteurs thermiquement excités résidant près de ce bord de bande.

Dans les semi-conducteurs et les semi-métaux, la position de µ par rapport à la structure de la bande peut généralement être contrôlée à un degré significatif par dopage ou déclenchement. Ces commandes ne changent pas le µ qui est fixé par les électrodes, mais plutôt ils provoquent le déplacement de toute la structure de la bande vers le haut et vers le bas (changeant parfois également la forme de la structure de la bande). Pour plus d'informations sur les niveaux de Fermi des semi-conducteurs, voir (par exemple) Sze.

Référencement de la bande de conduction locale, du potentiel chimique interne et du paramètre ζ

Si le symbole ℰ est utilisé pour désigner un niveau d'énergie d'électrons mesurée par rapport à l'énergie du bord de sa bande entourant, ε _C , puis en général , nous avons ℰ = ε - ε _C . On peut définir un paramètre ζ qui référence le niveau de Fermi par rapport au bord de la bande:

${\displaystyle \zeta =\mu -\epsilon _{\rm {C}}.}$

Il s'ensuit que la fonction de distribution de Fermi-Dirac peut s'écrire sous la forme

${\displaystyle f({\mathcal {E}})={\frac {1}{e^{({\mathcal {E}}-\zeta )/kT}+1}}.}$

La théorie des bandes des métaux a été initialement développée par Sommerfeld, à partir de 1927, qui a accordé une grande attention à la thermodynamique et à la mécanique statistique sous-jacentes. Pour compliquer les choses, dans certains contextes , la quantité référencée bande ζ peut être appelé le niveau de Fermi , potentiel chimique , ou potentiel électrochimique , ce qui conduit à l' ambiguïté au niveau de Fermi mondialement référencé. Dans cet article, les termes bande de conduction référencée niveau de Fermi ou potentiel chimique interne sont utilisés pour désigner ζ .

Exemple de variations du bord de bande de conduction E _C dans un diagramme de bande d' un transistor à haute mobilité électronique à base d' hétérojonction GaAs/AlGaAs .

ζ est directement lié au nombre de porteurs de charge actifs ainsi qu'à leur énergie cinétique typique, et est donc directement impliqué dans la détermination des propriétés locales du matériau (telles que la conductivité électrique ). Pour cette raison , il est courant de mettre l' accent sur la valeur de ζ lorsque se concentrant sur les propriétés des électrons en un seul matériau conducteur homogène. Par analogie avec les états d'énergie d'un électron libre, le ℰ d'un état est l' énergie cinétique de cet état et ε _C est son énergie potentielle . Avec cela à l' esprit, le paramètre, ζ , pourrait également être marqué l' énergie cinétique de Fermi .

Contrairement à µ , le paramètre ζ n'est pas une constante à l'équilibre, mais varie plutôt d'un endroit à l'autre dans un matériau en raison des variations de ϵ _C , qui est déterminée par des facteurs tels que la qualité du matériau et les impuretés/dopants. Près de la surface d'un semi-conducteur ou semi - métal, ζ peut être fortement contrôlée par des champs électriques appliqués de l' extérieur, comme cela se fait dans un transistor à effet de champ . Dans un matériau multi-bandes, ζ peut même prendre des valeurs multiples dans un seul endroit. Par exemple, dans un morceau de métal en aluminium, il y a deux bandes de conduction traversant le niveau de Fermi (encore plus de bandes dans d'autres matériaux) ; chaque bande a une énergie de bord différent, ε _C , et un autre ζ .

La valeur de ζ à zéro la température est largement connu comme l' énergie de Fermi , parfois écrit ζ ₀ . De manière confuse (encore une fois), le nom d' énergie de Fermi est parfois utilisé pour désigner ζ à une température non nulle.

Température hors d'équilibre

Le niveau de Fermi, μ , et la température, T , sont des constantes bien définies pour un dispositif à l' état solide dans une situation d'équilibre thermodynamique, par exemple quand il est assis sur le plateau sans rien faire. Lorsque l'appareil est déséquilibré et mis en service, alors le niveau de Fermi et la température à proprement parler ne sont plus bien définis. Heureusement, il est souvent possible de définir un quasi-niveau de Fermi et une quasi-température pour un emplacement donné, qui décrivent avec précision l'occupation des états en termes de distribution thermique. Le dispositif est dit en quasi-équilibre quand et où une telle description est possible.

L'approche de quasi-équilibre permet une pour construire une image simple des effets de non-équilibre que la conductivité électrique d'une pièce de métal (comme le résultat d'un gradient de μ ) ou sa conductivité thermique (comme le résultat d'un gradient dans T ). Le quasi- μ et le quasi- T peuvent varier (ou n'exister pas du tout) dans toute situation de non-équilibre, telle que :

• Si le système contient un déséquilibre chimique (comme dans une batterie ).
• Si le système est exposé à des champs électromagnétiques changeants (comme dans les condensateurs , les inductances et les transformateurs ).
• Sous l'éclairage d'une source lumineuse avec une température différente, comme le soleil (comme dans les cellules solaires ),
• Lorsque la température n'est pas constante à l'intérieur de l'appareil (comme dans les thermocouples ),
• Lorsque l'appareil a été modifié, mais n'a pas eu le temps de se rééquilibrer (comme dans les substances piézoélectriques ou pyroélectriques ).

Dans certaines situations, comme immédiatement après qu'un matériau subit une impulsion laser à haute énergie, la distribution des électrons ne peut être décrite par aucune distribution thermique. On ne peut pas définir le quasi-niveau de Fermi ou la quasi-température dans ce cas ; les électrons sont simplement dits non thermalisés . Dans des situations moins dramatiques, comme dans une cellule solaire sous un éclairage constant, une description quasi-équilibre peut être possible , mais nécessitant l'attribution de valeurs distinctes de μ et T à différentes bandes (bande de conduction par rapport à la bande de valence). Même dans ce cas, les valeurs de μ et T peuvent sauter de façon discontinue à travers une interface matérielle (par exemple, la jonction p-n ) lorsqu'un courant est conduit, et être mal définie à l'interface elle - même.

Technicités

Problèmes de terminologie

Le terme niveau de Fermi est principalement utilisé pour discuter de la physique de l'état solide des électrons dans les semi - conducteurs , et une utilisation précise de ce terme est nécessaire pour décrire les diagrammes de bande dans des dispositifs comprenant différents matériaux avec différents niveaux de dopage. Dans ces contextes, cependant, on peut aussi voir le niveau de Fermi utilisé pour désigner imprécisément le niveau de Fermi référencé bande , μ  -  ε _C , appelé ζ ci - dessus. Il est fréquent de voir les scientifiques et les ingénieurs se réfèrent à « contrôler », « épingler » ou « tuning » le niveau de Fermi dans un conducteur, quand ils sont en fait la description des changements dans ε _C en raison de dopage ou l' effet de champ . En effet, l'équilibre thermodynamique garantit que le niveau de Fermi dans un conducteur est toujours fixé exactement égal au niveau de Fermi des électrodes ; seule la structure de bande (pas le niveau de Fermi) peut être modifiée par dopage ou effet de champ (voir aussi diagramme de bande ). Une ambiguïté similaire existe entre les termes potentiel chimique et potentiel électrochimique .

Il est également important de noter que le niveau de Fermi n'est pas nécessairement la même chose que l' énergie de Fermi . Dans le contexte plus large de la mécanique quantique, le terme énergie de Fermi fait généralement référence à l'énergie cinétique maximale d'un fermion dans un gaz de Fermi idéalisé sans interaction, sans désordre et à température nulle . Ce concept est très théorique (il n'y a pas de gaz de Fermi sans interaction, et la température zéro est impossible à atteindre). Cependant, il trouve une certaine utilité pour décrire approximativement les naines blanches , les étoiles à neutrons , les noyaux atomiques et les électrons dans un métal . D'autre part, dans les domaines de la physique et de l'ingénierie des semi-conducteurs, l' énergie de Fermi est souvent utilisée pour désigner le niveau de Fermi décrit dans cet article.

Référencement du niveau de Fermi et localisation du niveau zéro de Fermi

Tout comme le choix de l'origine dans un système de coordonnées, le point zéro de l'énergie peut être défini arbitrairement. Les phénomènes observables ne dépendent que des différences d'énergie. Cependant, lors de la comparaison de corps distincts, il est important qu'ils soient tous cohérents dans leur choix de l'emplacement de l'énergie zéro, sinon des résultats absurdes seront obtenus. Il peut donc être utile de nommer explicitement un point commun pour s'assurer que les différentes composantes sont en accord. D'un autre côté, si un point de référence est intrinsèquement ambigu (comme "le vide", voir ci-dessous), il causera à la place plus de problèmes.

Un choix pratique et bien justifié de point commun est un conducteur physique volumineux, tel que la masse électrique ou la terre. Un tel conducteur peut être considéré comme étant en bon équilibre thermodynamique et donc son µ est bien défini. Il fournit un réservoir de charge, de sorte qu'un grand nombre d'électrons peuvent être ajoutés ou supprimés sans encourir d'effets de charge. Il a également l'avantage d'être accessible, de sorte que le niveau de Fermi de tout autre objet peut être mesuré simplement avec un voltmètre.

Pourquoi il n'est pas conseillé d'utiliser "l'énergie dans le vide" comme zéro de référence

Lorsque les deux métaux représentés ici sont en équilibre thermodynamique tel qu'illustré (niveaux égaux de Fermi E _F ), le vide potentiel électrostatique φ est pas plat en raison d'une différence de fonction de travail .

En principe, on pourrait envisager d'utiliser l'état d'un électron stationnaire dans le vide comme point de référence pour les énergies. Cette approche n'est conseillée que si l'on prend soin de définir exactement où se trouve le vide . Le problème est que tous les points du vide ne sont pas équivalents.

À l'équilibre thermodynamique, il est typique que des différences de potentiel électrique d'ordre 1 V existent dans le vide ( potentiels de Volta ). La source de cette variation de potentiel de vide est la variation de travail de sortie entre les différents matériaux conducteurs exposés au vide. Juste à l'extérieur d'un conducteur, le potentiel électrostatique dépend de manière sensible du matériau, ainsi que de la surface sélectionnée (son orientation cristalline, sa contamination et d'autres détails).

Le paramètre qui donne la meilleure approximation de l'universalité est le niveau de Fermi référencé à la Terre suggéré ci-dessus. Cela a également l'avantage de pouvoir être mesuré avec un voltmètre.

Effets de charge discrets dans les petits systèmes

Dans les cas où les "effets de charge" dus à un seul électron ne sont pas négligeables, les définitions ci-dessus doivent être clarifiées. Par exemple, considérons un condensateur constitué de deux plaques parallèles identiques. Si le condensateur n'est pas chargé, le niveau de Fermi est le même des deux côtés, on pourrait donc penser qu'il ne faudrait pas d'énergie pour déplacer un électron d'une plaque à l'autre. Mais lorsque l'électron a été déplacé, le condensateur est devenu (légèrement) chargé, donc cela prend une légère quantité d'énergie. Dans un condensateur normal, cela est négligeable, mais dans un condensateur nanométrique, cela peut être plus important.

Dans ce cas il faut être précis sur la définition thermodynamique du potentiel chimique ainsi que sur l'état de l'appareil : est-il isolé électriquement, ou est-il relié à une électrode ?

Ces potentiels chimiques ne sont pas équivalents, µ ≠ µ' ≠ µ'' , sauf dans la limite thermodynamique . La distinction est importante dans les petits systèmes tels que ceux présentant un blocage de Coulomb . Le paramètre, µ , (c'est-à-dire dans le cas où le nombre d'électrons peut fluctuer) reste exactement lié à la tension du voltmètre, même dans les petits systèmes. Pour être précis, le niveau de Fermi n'est donc pas défini par un événement de charge déterministe par une charge électronique, mais plutôt par un événement de charge statistique par une fraction infinitésimale d'un électron.

Notes et références