Conjecture de la zone de remplissage - Filling area conjecture

Dans la géométrie différentielle , Mikhail Gromov de conjecture de zone de remplissage affirme que l' hémisphère a une aire minimum parmi les orientables surfaces qui remplissent une courbe fermée de longueur donnée sans introduire de raccourcis entre ses points.

Définitions et énoncé de la conjecture

Chaque surface lisse M ou courbe dans l' espace euclidien est un espace métrique , dans lequel la distance (intrinsèque) d M ( x , y ) entre deux points x y de M est définie comme le minimum des longueurs des courbes qui vont de x à y le long de M . Par exemple, sur une courbe fermée de longueur 2 L , pour chaque point x de la courbe il y a un autre point unique de la courbe (appelé l' antipodal de x ) à la distance L de x .

Un compact surface M remplit une courbe fermée C si la frontière (également appelée limite , notée M ) est la courbe C . Le remplissage M est dit isométrique si pour deux points x , y de la courbe limite C , la distance d M ( x , y ) entre eux le long de M est la même (pas inférieure) à la distance d C ( x , y ) le long de la frontière. En d'autres termes, remplir une courbe de manière isométrique revient à la remplir sans introduire de raccourcis.

Question: Quelle peut être la taille de l'aire d'une surface qui remplit isométriquement sa courbe limite, d'une longueur donnée?

Par exemple, dans l'espace euclidien en trois dimensions, le cercle

(de longueur 2 π ) est rempli par le disque plat

qui n'est pas un remplissage isométrique, car toute corde droite le long de celle-ci est un raccourci. En revanche, l'hémisphère

est un remplissage isométrique du même cercle C , qui a deux fois la surface du disque plat . Est-ce la zone minimale possible?

La surface peut être imaginée comme faite d'un matériau flexible mais non extensible, qui lui permet d'être déplacée et pliée dans l'espace euclidien. Aucune de ces transformations ne modifie la surface de la surface ni la longueur des courbes dessinées dessus, qui sont les grandeurs pertinentes pour le problème. La surface peut être complètement retirée de l'espace euclidien, obtenant une surface riemannienne , qui est une surface lisse abstraite avec une métrique riemannienne qui code les longueurs et l'aire. Réciproquement, selon le théorème de Nash-Kuiper , toute surface riemannienne avec frontière peut être intégrée dans l'espace euclidien en préservant les longueurs et l'aire spécifiées par la métrique riemannienne. Ainsi, le problème de remplissage peut être posé de manière équivalente comme une question sur les surfaces riemanniennes , qui ne sont pas placées dans l'espace euclidien d'une manière particulière.

Conjecture ( conjecture de l'aire de remplissage de Gromov, 1983): L'hémisphère a une aire minimale parmi les surfaces riemanniennes compactes orientables qui remplissent isométriquement leur courbe limite, de longueur donnée.

La preuve de Gromov pour le cas des disques riemanniens

Dans le même article où Gromov a énoncé la conjecture, il a prouvé que

l'hémisphère a le moins d'aire parmi les surfaces riemanniennes qui remplissent isométriquement un cercle de longueur donnée et qui sont homéomorphes à un disque .

Preuve: Soit un disque riemannien qui remplit isométriquement sa limite de longueur . Collez chaque point avec son point antipodal , défini comme le point unique de celui qui est à la distance maximale possible de . En collant de cette manière, on obtient une surface riemannienne fermée, homéomorphe au plan projectif réel et dont la systole (la longueur de la courbe non contractible la plus courte) est égale à . (Et réciproquement, si l'on coupe un plan projectif le long d'une boucle de longueur non contractuelle la plus courte , on obtient un disque qui remplit isométriquement sa limite de longueur .) Ainsi la surface minimale que le remplissage isométrique peut avoir est égale à la surface minimale qu'un Le plan projectif riemannien de la systole peut avoir. Mais alors l'inégalité systolique de Pu affirme précisément qu'un plan projectif riemannien d'une systole donnée a une aire minimale si et seulement si elle est ronde (c'est-à-dire obtenue à partir d'une sphère euclidienne en identifiant chaque point avec son opposé). L'aire de ce plan projectif rond est égale à l'aire de l'hémisphère (car chacun d'eux a la moitié de l'aire de la sphère).

La preuve de l'inégalité de Pu repose à son tour sur le théorème d'uniformisation .

Remplissages avec les métriques Finsler

En 2001, Sergei Ivanov a présenté une autre façon de prouver que l'hémisphère a la plus petite surface parmi les remplissages isométriques homéomorphes à un disque. Son argument n'emploie pas le théorème d'uniformisation et repose plutôt sur le fait topologique que deux courbes sur un disque doivent se croiser si leurs quatre extrémités sont sur la frontière et entrelacées. De plus, la preuve d'Ivanov s'applique plus généralement aux disques avec des métriques de Finsler , qui diffèrent des métriques riemanniennes en ce qu'elles n'ont pas besoin de satisfaire l' équation de Pythagore au niveau infinitésimal. L'aire d'une surface de Finsler peut être définie de diverses manières inéquivalentes, et celle employée ici est l' aire de Holmes – Thompson , qui coïncide avec l'aire habituelle lorsque la métrique est riemannienne. Ce qu'Ivanov a prouvé, c'est que

L'hémisphère a une aire minimale de Holmes – Thompson parmi les disques Finsler qui remplissent de manière isométrique une courbe fermée de longueur donnée.
Preuve du théorème d'Ivanov

Soit ( M , F ) est un disque qui remplit Finsler isométriquement sa limite de longueur 2 L . On peut supposer que M est le disque rond standard dans 2 , et la métrique de Finsler F : T M = M × ℝ 2 → [0, + ∞) est lisse et fortement convexe. La zone Holmes – Thompson du remplissage peut être calculée par la formule

où pour chaque point , l'ensemble est la boule d'unité double de la norme (la boule d'unité de la norme double ), et est son aire habituelle en tant que sous-ensemble de .

Choisissez une collection de points de délimitation, répertoriés dans le sens antihoraire. Pour chaque point , on définit sur M la fonction scalaire . Ces fonctions ont les propriétés suivantes:

  • Chaque fonction est Lipschitz sur M et donc (par le théorème de Rademacher ) différentiable en presque tous les points .
  • Si est différenciable en un point intérieur , alors il existe une courbe unique la plus courte de à x (paramétrée avec la vitesse unitaire), qui arrive à x avec une vitesse . Le différentiel a la norme 1 et est l'unique covecteur tel que .
  • En chaque point où toutes les fonctions sont différentiables, les covecteurs sont distincts et placés dans le sens antihoraire sur la sphère à double unité . En effet, elles doivent être distinctes car différentes géodésiques ne peuvent pas arriver à la même vitesse. De plus, si trois de ces covecteurs (pour certains ) apparaissaient dans l'ordre inversé, alors deux des trois courbes les plus courtes des points à se croiseraient, ce qui n'est pas possible.

En résumé, pour presque chaque point intérieur , les covecteurs sont des sommets, répertoriés dans le sens antihoraire, d'un polygone convexe inscrit dans la boule à deux unités . L'aire de ce polygone est (où l'indice i  + 1 est calculé modulo n ). Par conséquent, nous avons une borne inférieure

pour la zone de remplissage. Si nous définissons la forme 1 , nous pouvons réécrire cette borne inférieure en utilisant la formule de Stokes comme

.

L'intégrale de frontière qui apparaît ici est définie en fonction des fonctions de distance restreintes à la frontière, qui ne dépendent pas du remplissage isométrique . Le résultat de l'intégrale ne dépend donc que du placement des points sur le cercle de longueur 2L . Nous avons omis le calcul et exprimé le résultat en termes de longueurs de chaque arc frontière dans le sens antihoraire d'un point au point suivant . Le calcul n'est valide que si .

En résumé, notre limite inférieure pour la zone du remplissage isométrique de Finsler converge à mesure que la collection est densifiée. Ceci implique que

,

comme nous devions le prouver.


Contrairement au cas riemannien, il existe une grande variété de disques de Finsler qui remplissent isométriquement une courbe fermée et ont la même zone Holmes – Thompson que l'hémisphère. Si la zone de Hausdorff est utilisée à la place, alors la minimalité de l'hémisphère tient toujours, mais l'hémisphère devient le minimiseur unique. Ceci découle du théorème d'Ivanov puisque l'aire de Hausdorff d'une variété de Finsler n'est jamais inférieure à l'aire de Holmes – Thompson , et les deux aires sont égales si et seulement si la métrique est riemannienne.

Non-minimalité de l'hémisphère parmi les obturations rationnelles avec les métriques Finsler

Un disque euclidien qui remplit un cercle peut être remplacé, sans diminuer les distances entre les points limites, par un disque de Finsler qui remplit le même cercle N = 10 fois (dans le sens où sa frontière s'enroule autour du cercle N fois), mais dont Holmes –La surface de Thompson est inférieure à N fois la surface du disque. Pour l'hémisphère, un remplacement similaire peut être trouvé. En d'autres termes, la conjecture de la zone de remplissage est fausse si les chaînes Finsler 2 avec des coefficients rationnels sont autorisées comme remplissages, au lieu de surfaces orientables (qui peuvent être considérées comme 2 chaînes avec des coefficients entiers ).

Remplissages riemanniens du genre un et hyperellipticité

Une surface riemannienne orientable du genre 1 qui remplit le cercle de manière isométrique ne peut pas avoir moins de surface que l'hémisphère. La preuve dans ce cas recommence en collant des points antipodaux de la frontière. La surface fermée non orientable ainsi obtenue présente une double couverture orientable de genre deux, et est donc hyperelliptique . La preuve exploite alors une formule de J. Hersch à partir de la géométrie intégrale. À savoir, considérons la famille des boucles en 8 sur un ballon de football, avec le point d'auto-intersection à l'équateur. La formule de Hersch exprime l'aire d'une métrique dans la classe conforme du football, comme une moyenne des énergies des boucles en 8 de la famille. Une application de la formule de Hersch au quotient hyperelliptique de la surface de Riemann prouve la conjecture de l'aire de remplissage dans ce cas.

Les collecteurs presque plats sont des remplissages minimaux de leurs distances aux limites

Si une variété riemannienne M (de n'importe quelle dimension) est presque plate (plus précisément, M est une région de avec une métrique riemannienne proche de la métrique euclidienne standard), alors M est un minimiseur de volume : il ne peut pas être remplacé par un orientable Variété riemannienne qui remplit la même frontière et a moins de volume sans réduire la distance entre certains points limites. Cela implique que si un morceau de sphère est suffisamment petit (et donc presque plat), il s'agit d'un minimiseur de volume. Si ce théorème peut être étendu à de grandes régions (à savoir, à tout l'hémisphère), alors la conjecture de la zone de remplissage est vraie. On a supposé que toutes les variétés riemanniennes simples (celles qui sont convexes à leur frontière, et où tous les deux points sont joints par une géodésique unique) sont des minimiseurs de volume.

La preuve que chaque collecteur presque plat M est un minimiseur de volume consiste à intégrer M dans , puis à montrer que tout remplacement isométrique de M peut également être mappé dans le même espace , et projeté sur M , sans augmenter son volume. Cela implique que le remplacement n'a pas moins de volume que le collecteur d' origine M .

Voir également

Références