Structure fine - Fine structure

Franges d'interférence , montrant la structure fine (division) d'une source de deutérium refroidie , vue à travers un interféromètre Fabry – Pérot .

En physique atomique , la structure fine décrit la division des raies spectrales des atomes due au spin électronique et aux corrections relativistes de l'équation non relativiste de Schrödinger . Il a d'abord été mesuré précisément pour l' atome d'hydrogène par Albert A. Michelson et Edward W. Morley en 1887, jetant les bases du traitement théorique d' Arnold Sommerfeld , introduisant la constante de structure fine .

Contexte

Structure brute

La structure brute des spectres de raies est les spectres de raies prédits par la mécanique quantique des électrons non relativistes sans spin. Pour un atome d' hydrogène, les niveaux d'énergie de la structure brute ne dépendent que du nombre quantique principal n . Cependant, un modèle plus précis prend en compte les effets relativistes et de spin, qui cassent la dégénérescence des niveaux d'énergie et divisent les raies spectrales. L'échelle de la division de la structure fine par rapport aux énergies brutes de la structure est de l'ordre de ( Zα ) ² , où Z est le numéro atomique et α est la constante de structure fine , un nombre sans dimension égal à environ 1/137.

Corrections relativistes

Les corrections d'énergie de structure fine peuvent être obtenues en utilisant la théorie des perturbations . Pour effectuer ce calcul il faut ajouter les trois termes correctifs à l' hamiltonien : la correction relativiste d'ordre dominant à l'énergie cinétique, la correction due au couplage spin-orbite, et le terme de Darwin provenant du mouvement fluctuant quantique ou zitterbewegung de l'électron .

Ces corrections peuvent également être obtenues à partir de la limite non relativiste de l' équation de Dirac , puisque la théorie de Dirac intègre naturellement la relativité et les interactions de spin .

L'atome d'hydrogène

Cette section traite des solutions analytiques pour l' atome d'hydrogène car le problème peut être résolu analytiquement et est le modèle de base pour les calculs de niveau d'énergie dans des atomes plus complexes.

Correction relativiste de l'énergie cinétique

La structure brute suppose que le terme d'énergie cinétique de l' hamiltonien prend la même forme que dans la mécanique classique , ce qui pour un seul électron signifie

${\ displaystyle {\ mathcal {H}} ^ {0} = {\ frac {p ^ {2}} {2m_ {e}}} + V}$

où V est l' énergie potentielle , la quantité de mouvement et la masse au repos de l' électron . ${\ displaystyle p}$${\ displaystyle m_ {e}}$

Cependant, lorsque nous considérons une théorie de la nature plus précise via la relativité restreinte , nous devons utiliser une forme relativiste de l'énergie cinétique,

${\ displaystyle T = {\ sqrt {p ^ {2} c ^ {2} + m_ {e} ^ {2} c ^ {4}}} - m_ {e} c ^ {2} = m_ {e} c ^ {2} \ gauche [{\ sqrt {1 + {\ frac {p ^ {2}} {m_ {e} ^ {2} c ^ {2}}}}} - 1 \ droite]}$

où le premier terme est l'énergie relativiste totale, et le second terme est l' énergie de repos de l'électron ( est la vitesse de la lumière ). En développant la racine carrée pour de grandes valeurs de , nous trouvons ${\ displaystyle c}$${\ displaystyle c}$

${\ displaystyle T = {\ frac {p ^ {2}} {2m_ {e}}} - {\ frac {p ^ {4}} {8m_ {e} ^ {3} c ^ {2}}} + \ cdots}$

Bien qu'il existe un nombre infini de termes dans cette série, les derniers termes sont beaucoup plus petits que les termes précédents, et nous pouvons donc tous les ignorer sauf les deux premiers. Puisque le premier terme ci-dessus fait déjà partie de l'hamiltonien classique, la correction du premier ordre de l'hamiltonien est

${\ displaystyle {\ mathcal {H}} '= - {\ frac {p ^ {4}} {8m_ {e} ^ {3} c ^ {2}}}}$

En utilisant cela comme une perturbation , nous pouvons calculer les corrections d'énergie du premier ordre dues aux effets relativistes.

${\ displaystyle E_ {n} ^ {(1)} = \ left \ langle \ psi ^ {0} \ right \ vert {\ mathcal {H}} '\ left \ vert \ psi ^ {0} \ right \ rangle = - {\ frac {1} {8m_ {e} ^ {3} c ^ {2}}} \ left \ langle \ psi ^ {0} \ right \ vert p ^ {4} \ left \ vert \ psi ^ {0} \ right \ rangle = - {\ frac {1} {8m_ {e} ^ {3} c ^ {2}}} \ left \ langle \ psi ^ {0} \ right \ vert p ^ {2} p ^ {2} \ left \ vert \ psi ^ {0} \ right \ rangle}$

où est la fonction d'onde non perturbée. Rappelant l'hamiltonien imperturbable, nous voyons ${\ displaystyle \ psi ^ {0}}$

${\ displaystyle {\ begin {aligné} {\ mathcal {H}} ^ {0} \ left \ vert \ psi ^ {0} \ right \ rangle & = E_ {n} \ left \ vert \ psi ^ {0} \ right \ rangle \\\ left ({\ frac {p ^ {2}} {2m_ {e}}} + V \ right) \ left \ vert \ psi ^ {0} \ right \ rangle & = E_ {n } \ left \ vert \ psi ^ {0} \ right \ rangle \\ p ^ {2} \ left \ vert \ psi ^ {0} \ right \ rangle & = 2m_ {e} (E_ {n} -V) \ left \ vert \ psi ^ {0} \ right \ rangle \ end {Aligné}}}$

Nous pouvons utiliser ce résultat pour calculer davantage la correction relativiste:

${\ displaystyle {\ begin {aligné} E_ {n} ^ {(1)} & = - {\ frac {1} {8m_ {e} ^ {3} c ^ {2}}} \ left \ langle \ psi ^ {0} \ right \ vert p ^ {2} p ^ {2} \ left \ vert \ psi ^ {0} \ right \ rangle \\ E_ {n} ^ {(1)} & = - {\ frac {1} {8m_ {e} ^ {3} c ^ {2}}} \ left \ langle \ psi ^ {0} \ right \ vert (2m_ {e}) ^ {2} (E_ {n} -V ) ^ {2} \ left \ vert \ psi ^ {0} \ right \ rangle \\ E_ {n} ^ {(1)} & = - {\ frac {1} {2m_ {e} c ^ {2} }} \ left (E_ {n} ^ {2} -2E_ {n} \ langle V \ rangle + \ left \ langle V ^ {2} \ right \ rangle \ right) \ end {aligné}}}$

Pour l'atome d'hydrogène,

${\ displaystyle V (r) = {\ frac {-e ^ {2}} {4 \ pi \ varepsilon _ {0} r}}}$ , et , ${\ displaystyle \ left \ langle {\ frac {1} {r}} \ right \ rangle = {\ frac {1} {a_ {0} n ^ {2}}}}$${\ displaystyle \ left \ langle {\ frac {1} {r ^ {2}}} \ right \ rangle = {\ frac {1} {(l + 1/2) n ^ {3} a_ {0} ^ {2}}}}$

où est la charge élémentaire , est la permittivité du vide , est le rayon de Bohr , est le nombre quantique principal , est le nombre quantique azimutal et est la distance de l'électron du noyau. Par conséquent, la correction relativiste de premier ordre pour l'atome d'hydrogène est ${\ displaystyle e}$${\ displaystyle \ varepsilon _ {0}}$${\ displaystyle a_ {0}}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle l}$${\ displaystyle r}$

${\ displaystyle {\ begin {aligné} E_ {n} ^ {(1)} & = - {\ frac {1} {2m_ {e} c ^ {2}}} \ left (E_ {n} ^ {2 } + 2E_ {n} {\ frac {e ^ {2}} {4 \ pi \ varepsilon _ {0}}} {\ frac {1} {a_ {0} n ^ {2}}} + {\ frac {1} {16 \ pi ^ {2} \ varepsilon _ {0} ^ {2}}} {\ frac {e ^ {4}} {(l + {\ frac {1} {2}}) n ^ { 3} a_ {0} ^ {2}}} \ right) \\ & = - {\ frac {E_ {n} ^ {2}} {2m_ {e} c ^ {2}}} \ left ({\ frac {4n} {l + {\ frac {1} {2}}}} - 3 \ droite) \ end {aligné}}}$

où nous avons utilisé:

${\ displaystyle E_ {n} = - {\ frac {e ^ {2}} {8 \ pi \ varepsilon _ {0} a_ {0} n ^ {2}}}}$

Lors du calcul final, l'ordre de grandeur de la correction relativiste de l'état fondamental est . ${\ displaystyle -9.056 \ times 10 ^ {- 4} \ {\ text {eV}}}$

Couplage spin-orbite

Pour un atome de type hydrogène avec des protons ( pour l'hydrogène), un moment cinétique orbital et un spin électronique , le terme spin-orbite est donné par: ${\ displaystyle Z}$${\ displaystyle Z = 1}$${\ displaystyle {\ vec {L}}}$${\ displaystyle {\ vec {S}}}$

${\ displaystyle {\ mathcal {H}} _ {\ mathrm {SO}} = {\ frac {1} {2}} \ left ({\ frac {Ze ^ {2}} {4 \ pi \ varepsilon _ { 0}}} \ right) \ left ({\ frac {g_ {s}} {2m_ {e} ^ {2} c ^ {2}}} \ right) {\ frac {{\ vec {L}} \ cdot {\ vec {S}}} {r ^ {3}}}}$

où est le facteur g de spin . ${\ displaystyle g_ {s}}$

La correction de spin- orbite peut être comprise en passant du cadre de référence standard (où l' électron tourne autour du noyau ) à celui où l'électron est stationnaire et le noyau tourne plutôt autour de lui. Dans ce cas, le noyau en orbite fonctionne comme une boucle de courant efficace, qui à son tour générera un champ magnétique. Cependant, l'électron lui-même a un moment magnétique en raison de son moment angulaire intrinsèque . Les deux vecteurs magnétiques, et se couplent ensemble de sorte qu'il y a un certain coût énergétique en fonction de leur orientation relative. Cela donne lieu à la correction énergétique de la forme ${\ displaystyle {\ vec {B}}}$${\ displaystyle {\ vec {\ mu}} _ {s}}$

${\ displaystyle \ Delta E _ {\ mathrm {SO}} = \ xi (r) {\ vec {L}} \ cdot {\ vec {S}}}$

Notez qu'un facteur important de 2 doit être ajouté au calcul, appelé précession de Thomas , qui provient du calcul relativiste qui revient au cadre de l'électron à partir du cadre du noyau.

Depuis

${\ displaystyle {\ begin {aligné} \ left \ langle {\ frac {1} {r ^ {3}}} \ right \ rangle & = {\ frac {Z ^ {3}} {n ^ {3} a_ {0} ^ {3}}} {\ frac {1} {l \ left (l + {\ frac {1} {2}} \ right) (l + 1)}} \\\ left \ langle {\ vec {L}} \ cdot {\ vec {S}} \ right \ rangle & = {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2}} [j (j + 1) -l (l + 1) -s (s + 1)] \ end {aligné}}}$

la valeur d'espérance pour l'hamiltonien est:

${\ displaystyle \ left \ langle {\ mathcal {H}} _ {\ mathrm {SO}} \ right \ rangle = {\ frac {E_ {n} {} ^ {2}} {m_ {e} c ^ { 2}}} ~ n ~ {\ frac {j (j + 1) -l (l + 1) - {\ frac {3} {4}}} {l \ gauche (l + {\ frac {1} {2 }} \ droite) (l + 1)}}}$

Ainsi, l'ordre de grandeur du couplage spin-orbite est . ${\ displaystyle {\ frac {Z ^ {4}} {n ^ {3} (j + 1/2)}} 10 ^ {- 5} {\ text {eV}}}$

Lorsque de faibles champs magnétiques externes sont appliqués, le couplage spin-orbite contribue à l' effet Zeeman .

Terme Darwin

Il y a un dernier terme dans l'expansion non relativiste de l' équation de Dirac . Il est appelé le terme Darwin, comme il a été dérivé pour la première fois par Charles Galton Darwin , et est donné par:

${\ displaystyle {\ begin {aligné} {\ mathcal {H}} _ {\ mathrm {Darwin}} & = {\ frac {\ hbar ^ {2}} {8m_ {e} ^ {2} c ^ {2 }}} \, 4 \ pi \ left ({\ frac {Ze ^ {2}} {4 \ pi \ varepsilon _ {0}}} \ right) \ delta ^ {3} \ left ({\ vec {r }} \ right) \\\ langle {\ mathcal {H}} _ {\ mathrm {Darwin}} \ rangle & = {\ frac {\ hbar ^ {2}} {8m_ {e} ^ {2} c ^ {2}}} \, 4 \ pi \ left ({\ frac {Ze ^ {2}} {4 \ pi \ varepsilon _ {0}}} \ right) | \ psi (0) | ^ {2} \ \\ psi (0) & = 0 {\ text {pour}} l> 0 \\\ psi (0) & = {\ frac {1} {\ sqrt {4 \ pi}}} \, 2 \ left ( {\ frac {Z} {na_ {0}}} \ right) ^ {\ frac {3} {2}} {\ text {for}} l = 0 \\ {\ mathcal {H}} _ {\ mathrm {Darwin}} & = {\ frac {2n} {m_ {e} c ^ {2}}} \, E_ {n} ^ {2} \ end {aligné}}}$

Le terme Darwin n'affecte que les orbitales s. C'est parce que la fonction d'onde d'un électron avec disparaît à l'origine, donc la fonction delta n'a aucun effet. Par exemple, il donne à l'orbitale 2s la même énergie que l'orbitale 2p en élevant l'état 2s de ${\ displaystyle l> 0}$ 9,057 × 10 ^-5  eV .

Le terme Darwin modifie le potentiel effectif au niveau du noyau. Cela peut être interprété comme un étalement de l'interaction électrostatique entre l'électron et le noyau en raison du zitterbewegung , ou oscillations quantiques rapides, de l'électron. Cela peut être démontré par un court calcul.

Les fluctuations quantiques permettent la création de paires virtuelles électron-positon avec une durée de vie estimée par le principe d'incertitude . La distance que les particules peuvent parcourir pendant ce temps est la longueur d'onde Compton . Les électrons de l'atome interagissent avec ces paires. Cela donne une position électronique fluctuante . En utilisant une expansion de Taylor , l'effet sur le potentiel peut être estimé: ${\ displaystyle \ Delta t \ approx \ hbar / \ Delta E \ approx \ hbar / mc ^ {2}}$${\ displaystyle \ xi \ approx c \ Delta t \ approx \ hbar / mc = \ lambda _ {c}}$${\ displaystyle {\ vec {r}} + {\ vec {\ xi}}}$${\ displaystyle U}$

${\ displaystyle U ({\ vec {r}} + {\ vec {\ xi}}) \ approx U ({\ vec {r}}) + \ xi \ cdot \ nabla U ({\ vec {r}} ) + {\ frac {1} {2}} \ sum _ {ij} \ xi _ {i} \ xi _ {j} \ partial _ {i} \ partial _ {j} U ({\ vec {r} })}$

Moyennage des fluctuations ${\ displaystyle {\ vec {\ xi}}}$

${\ displaystyle {\ overline {\ xi}} = 0, \ quad {\ overline {\ xi _ {i} \ xi _ {j}}} = {\ frac {1} {3}} {\ overline {{ \ vec {\ xi}} ^ {2}}} \ delta _ {ij},}$

donne le potentiel moyen

${\ displaystyle {\ overline {U \ left ({\ vec {r}} + {\ vec {\ xi}} \ right)}} = U \ left ({\ vec {r}} \ right) + {\ frac {1} {6}} {\ overline {{\ vec {\ xi}} ^ {2}}} \ nabla ^ {2} U \ left ({\ vec {r}} \ right).}$

Approximative , cela donne la perturbation du potentiel due aux fluctuations: ${\ displaystyle {\ overline {{\ vec {\ xi}} ^ {2}}} \ approx \ lambda _ {c} ^ {2}}$

${\ displaystyle \ delta U \ approx {\ frac {1} {6}} \ lambda _ {c} ^ {2} \ nabla ^ {2} U = {\ frac {\ hbar ^ {2}} {6m_ { e} ^ {2} c ^ {2}}} \ nabla ^ {2} U}$

Pour comparer avec l'expression ci-dessus, branchez le potentiel de Coulomb :

${\ displaystyle \ nabla ^ {2} U = - \ nabla ^ {2} {\ frac {Ze ^ {2}} {4 \ pi \ varepsilon _ {0} r}} = 4 \ pi \ left ({\ frac {Ze ^ {2}} {4 \ pi \ varepsilon _ {0}}} \ right) \ delta ^ {3} ({\ vec {r}}) \ quad \ Rightarrow \ quad \ delta U \ approx { \ frac {\ hbar ^ {2}} {6m_ {e} ^ {2} c ^ {2}}} 4 \ pi \ left ({\ frac {Ze ^ {2}} {4 \ pi \ varepsilon _ { 0}}} \ right) \ delta ^ {3} ({\ vec {r}})}$

Ce n'est que légèrement différent.

Un autre mécanisme qui n'affecte que l'état s est le décalage de Lamb , une autre correction plus petite qui se produit en électrodynamique quantique qui ne doit pas être confondue avec le terme de Darwin. Le terme de Darwin donne à l'état s et à l'état p la même énergie, mais le décalage de Lamb rend l'état s plus élevé en énergie que l'état p.

Effet total

Le hamiltonien complet est donné par

${\ displaystyle {\ mathcal {H}} = {\ mathcal {H}} _ {\ rm {Coulomb}} + {\ mathcal {H}} _ {\ mathrm {cinétique}} + {\ mathcal {H}} _ {\ mathrm {SO}} + H _ {\ mathrm {Darwin}}, \!}$

où est l'hamiltonien de l' interaction coulombienne . ${\ displaystyle {\ mathcal {H}} _ {\ rm {Coulomb}}}$

L'effet total, obtenu en additionnant les trois composantes, est donné par l'expression suivante:

${\ displaystyle \ Delta E = {\ frac {E_ {n} (Z \ alpha) ^ {2}} {n}} \ left ({\ frac {1} {j + {\ frac {1} {2}} }} - {\ frac {3} {4n}} \ right) \ ,,}$

où est le nombre quantique de moment angulaire total ( si et autrement). Il est à noter que cette expression a été obtenue pour la première fois par Sommerfeld sur la base de l' ancienne théorie de Bohr ; c'est-à-dire avant la formulation de la mécanique quantique moderne . ${\ displaystyle j}$${\ displaystyle j = 1/2}$${\ displaystyle l = 0}$${\ displaystyle j = l \ pm 1/2}$

Diagramme énergétique de l'atome d'hydrogène pour n = 2 corrigé par la structure fine et le champ magnétique. La première colonne montre le cas non relativiste (uniquement l'énergie cinétique et le potentiel de Coulomb), la correction relativiste de l'énergie cinétique est ajoutée dans la deuxième colonne, la troisième colonne comprend toute la structure fine, et la quatrième ajoute l' effet Zeeman (magnétique dépendance du terrain).

Énergies relativistes exactes

Corrections relativistes (Dirac) aux niveaux d'énergie d'un atome d'hydrogène du modèle de Bohr. La correction de structure fine prédit que la raie Lyman-alpha (émise lors d'une transition de n = 2 à n = 1) doit se diviser en un doublet.

L'effet total peut également être obtenu en utilisant l'équation de Dirac. Dans ce cas, l'électron est traité comme non relativiste. Les énergies exactes sont données par

${\ displaystyle E_ {j \, n} = - m _ {\ text {e}} c ^ {2} \ left [1- \ left (1+ \ left [{\ dfrac {\ alpha} {nj - {\ frac {1} {2}} + {\ sqrt {\ left (j + {\ frac {1} {2}} \ right) ^ {2} - \ alpha ^ {2}}}}} \ right] ^ { 2} \ right) ^ {- 1/2} \ right].}$

Cette expression, qui contient tous les termes d'ordre supérieur qui ont été laissés de côté dans les autres calculs, se développe au premier ordre pour donner les corrections d'énergie dérivées de la théorie des perturbations. Cependant, cette équation ne contient pas les corrections de structure hyperfine , qui sont dues aux interactions avec le spin nucléaire. D'autres corrections de la théorie quantique des champs telles que le décalage de Lamb et le moment dipolaire magnétique anormal de l'électron ne sont pas incluses.

Voir également

• Couplage moment angulaire
• Fine structure électronique

Références

• Griffiths, David J. (2004). Introduction à la mécanique quantique (2e éd.) . Prentice Hall. ISBN   0-13-805326-X .
• Liboff, Richard L. (2002). Introduction à la mécanique quantique . Addison-Wesley. ISBN   0-8053-8714-5 .

Liens externes

• Hyperphysique: structure fine
• Université du Texas: la structure fine de l'hydrogène