Forçage (mathématiques) - Forcing (mathematics)

Dans la discipline mathématique de la théorie des ensembles , le forçage est une technique permettant de prouver la cohérence et l' indépendance des résultats. Il a été utilisé pour la première fois par Paul Cohen en 1963, pour prouver l'indépendance de l' axiome du choix et de l' hypothèse du continu de la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel .

Le forçage a été considérablement retravaillé et simplifié au cours des années suivantes, et a depuis servi de technique puissante, à la fois dans la théorie des ensembles et dans les domaines de la logique mathématique tels que la théorie de la récursivité . La théorie descriptive des ensembles utilise les notions de forçage de la théorie de la récursivité et de la théorie des ensembles. Le forçage a également été utilisé dans la théorie des modèles , mais il est courant en théorie des modèles de définir directement la généricité sans mentionner le forçage.

Intuition

Intuitivement, le forçage consiste à étendre l' univers théorique de l'ensemble à un univers plus vaste . Dans cet univers plus grand, par exemple, on pourrait avoir de nombreux nouveaux sous - ensembles qui n'étaient pas là dans l'ancien univers, et ainsi violer l' hypothèse du continuum . ${\style d'affichage V}$${\displaystyle V^{*}}$${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle =\{0,1,2,\ldots \}}$

Bien qu'impossible lorsqu'il s'agit d' ensembles finis , ce n'est qu'une autre version du paradoxe de Cantor sur l'infini. En principe, on pourrait envisager :

${\displaystyle V^{*}=V\fois \{0,1\},}$

s'identifier avec , puis introduire une relation d'appartenance élargie impliquant de "nouveaux" ensembles de la forme . Le forçage est une version plus élaborée de cette idée, réduisant l'expansion à l'existence d'un nouvel ensemble et permettant un contrôle fin sur les propriétés de l'univers élargi. ${\style d'affichage x\en V}$${\style d'affichage (x,0)}$${\style d'affichage (x,1)}$

La technique originale de Cohen, maintenant appelée forçage ramifié , est légèrement différente du forçage non ramifié exposé ici. Le forçage est également équivalent à la méthode des modèles à valeurs booléennes , que certains jugent conceptuellement plus naturelle et intuitive, mais généralement beaucoup plus difficile à appliquer.

Forcer les poses

Un poset de forçage est un triplet ordonné, , où est un pré - ordre sur qui est sans atome , ce qui signifie qu'il satisfait la condition suivante : ${\displaystyle (\mathbb {P} ,\leq ,\mathbf {1} )}$${\style d'affichage \leq }$${\displaystyle \mathbb {P} }$

• Pour chacun , il y a tel que , sans tel que . Le plus grand élément de est , c'est-à-dire pour tous .${\displaystyle p\in \mathbb {P} }$${\displaystyle q,r\in \mathbb {P} }$${\displaystyle q,r\leq p}$${\displaystyle s\in \mathbb {P} }$${\displaystyle s\leq q,r}$${\displaystyle \mathbb {P} }$${\displaystyle \mathbf {1} }$${\displaystyle p\leq \mathbf {1} }$${\displaystyle p\in \mathbb {P} }$

Les membres de sont appelés conditions de forçage ou simplement conditions . On lit comme " est plus fort que ". Intuitivement, les informations « plus petite » état fournit des « plus », tout comme l'intervalle plus petit fournit plus d' informations sur le nombre π que l'intervalle ne. ${\displaystyle \mathbb {P} }$${\displaystyle p\leq q}$${\style d'affichage p}$${\style d'affichage q}$${\style d'affichage [3.1415926,3.1415927]}$${\style d'affichage [3.1,3.2]}$

Différentes conventions sont utilisées. Certains auteurs demandent aussi d'être antisymétrique , de sorte que la relation soit d'ordre partiel . Certains utilisent de toute façon le terme ordre partiel , en conflit avec la terminologie standard, tandis que d'autres utilisent le terme pré-ordre . Le plus grand élément peut être supprimé. L'ordre inverse est également utilisé, notamment par Saharon Shelah et ses co-auteurs. ${\style d'affichage \leq }$

P-noms

Associé à un poset force est la classe de - noms . Un -name est un ensemble de la forme ${\displaystyle \mathbb {P} }$ ${\displaystyle V^{(\mathbb {P} )}}$${\displaystyle \mathbb {P} }$${\displaystyle \mathbb {P} }$${\style d'affichage A}$

${\displaystyle A\subseteq \{(u,p)\mid u~{\text{is a}}~\mathbb {P} {\text{-name and}}~p\in \mathbb {P} \ }.}$

Il s'agit en fait d'une définition par récursivité transfinie . Avec l'ensemble vide, l' ordinal successeur de ordinal , l' opérateur power-set et un ordinal limite , définissent la hiérarchie suivante : ${\displaystyle \varnothing }$${\style d'affichage \alpha +1}$${\style d'affichage \alpha }$${\displaystyle {\mathcal {P}}}$${\style d'affichage \lambda }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Name} (\varnothing )&=\varnothing ,\\\operatorname {Name} (\alpha +1)&={\mathcal {P}}(\operatorname {Name } (\alpha )\times \mathbb {P} ),\\\operatorname {Name} (\lambda )&=\bigcup \{\operatorname {Name} (\alpha )\mid \alpha <\lambda \}. \end{aligné}}}$

Ensuite, la classe de -names est définie comme ${\displaystyle \mathbb {P} }$

${\displaystyle V^{(\mathbb {P} )}=\bigcup \{\operatorname {Name} (\alpha )~|~\alpha ~{\text{est un ordinal}}\}.}$

Les noms sont, en fait, une expansion de l' univers . Étant donné , on définit comme étant le -name ${\displaystyle \mathbb {P} }$${\style d'affichage x\en V}$${\displaystyle {\check {x}}}$${\displaystyle \mathbb {P} }$

${\displaystyle {\check {x}}=\{({\check {y}},\mathbf {1} )\mid y\in x\}.}$

Encore une fois, il s'agit bien d'une définition par récursivité transfinie.

Interprétation

Étant donné tout sous - ensemble de , on définit ensuite l' interprétation ou la carte d' évaluation à partir de -names par ${\style d'affichage G}$${\displaystyle \mathbb {P} }$${\displaystyle \mathbb {P} }$

${\displaystyle \operatorname {val} (u,G)=\{\operatorname {val} (v,G)\mid \exists p\in G:~(v,p)\in u\}.}$

C'est encore une définition par récursion transfinie. Notez que si , alors . On définit alors ${\displaystyle \mathbf {1} \in G}$${\displaystyle \operatorname {val} ({\check {x}},G)=x}$

${\displaystyle {\underline {G}}=\{({\check {p}},p)\mid p\in G\}}$

donc ça . ${\displaystyle \operatorname {val} ({\underline {G}},G)=\{\operatorname {val} ({\check {p}},G)\mid p\in G\}=G}$

Exemple

Un bon exemple d'un forçage poset , où et est la collection de sous - ensembles Borel d' avoir non nulle mesure Lebesgue . Dans ce cas, on peut parler des conditions comme étant des probabilités, et un -nom attribue l'appartenance dans un sens probabiliste. En raison de l'intuition facile que cet exemple peut fournir, le langage probabiliste est parfois utilisé avec d'autres posets de forçage divergents. ${\displaystyle (\operatorname {Bor} (I),\subseteq ,I)}$${\style d'affichage I=[0,1]}$${\displaystyle \operatorname {Bor} (I)}$${\style d'affichage I}$${\displaystyle \operatorname {Bor} (I)}$

Modèles transitifs dénombrables et filtres génériques

L'étape clé du forçage est, étant donné un univers , de trouver un objet approprié qui n'est pas dans . La classe résultante de toutes les interprétations de -names sera un modèle qui étend correctement l'original (depuis ). ${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$${\style d'affichage V}$${\style d'affichage G}$${\style d'affichage V}$${\displaystyle \mathbb {P} }$${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$${\style d'affichage V}$${\displaystyle G\notin V}$

Au lieu de travailler avec , il est utile de considérer un modèle transitif dénombrable avec . "Modèle" fait référence à un modèle de théorie des ensembles, soit de l'ensemble de , soit un modèle d'un sous-ensemble large mais fini de , ou une variante de celui-ci. "Transitivity" signifie que si , alors . Le lemme d'effondrement de Mostowski stipule que cela peut être supposé si la relation d'appartenance est bien fondée . L'effet de la transitivité est que l'appartenance et d'autres notions élémentaires peuvent être traitées intuitivement. La dénombrabilité du modèle repose sur le théorème de Löwenheim-Skolem . ${\style d'affichage V}$ ${\style d'affichage M}$${\displaystyle (\mathbb {P} ,\leq ,\mathbf {1} )\in M}$${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$${\displaystyle x\in y\in M}$${\style d'affichage x\en M}$

Comme c'est un ensemble, il y a des ensembles qui ne sont pas dans – cela découle du paradoxe de Russell . L'ensemble approprié à sélectionner et à joindre est un filtre générique sur . La condition "filtre" signifie que : ${\style d'affichage M}$${\style d'affichage M}$${\style d'affichage G}$${\style d'affichage M}$${\displaystyle \mathbb {P} }$

• ${\displaystyle G\subseteq \mathbb {P} ;}$
• ${\displaystyle \mathbf {1} \in G;}$
• si , alors${\displaystyle p\geq q\in G}$${\style d'affichage p\in G;}$
• si , alors il existe un tel que${\displaystyle p,q\in G}$${\displaystyle r\in G}$${\displaystyle r\leq p,q.}$

Car être « générique » signifie : ${\style d'affichage G}$

• Si est un sous-ensemble "dense" de (c'est-à-dire que pour chaque , il existe un tel que ), alors .${\displaystyle D\in M}$${\displaystyle \mathbb {P} }$${\displaystyle p\in \mathbb {P} }$${\displaystyle q\in D}$${\displaystyle q\leq p}$${\displaystyle G\cap D\neq \varnothing }$

L'existence d'un filtre générique découle du lemme de Rasiowa-Sikorski . En fait, un peu plus est vrai : étant donné une condition , on peut trouver un filtre générique tel que . En raison de la condition de division activée (appelée "sans atome" ci-dessus), si est un filtre, alors est dense. Si , alors parce que est un modèle de . Pour cette raison, un filtre générique n'est jamais dans . ${\style d'affichage G}$${\displaystyle p\in \mathbb {P} }$${\style d'affichage G}$${\displaystyle p\in G}$${\displaystyle \mathbb {P} }$${\style d'affichage G}$${\displaystyle \mathbb {P} \setminus G}$${\displaystyle G\in M}$${\displaystyle \mathbb {P} \setminus G\in M}$${\style d'affichage M}$${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$${\style d'affichage M}$

Forcer

Etant donné un filtre générique , on procède comme suit. La sous-classe de -names dans est notée . Laisser ${\displaystyle G\subseteq \mathbb {P} }$${\displaystyle \mathbb {P} }$${\style d'affichage M}$${\displaystyle M^{(\mathbb {P} )}}$

${\displaystyle M[G]=\left\{\operatorname {val} (u,G)~{\Big |}~u\in M^{(\mathbb {P} )}\right\}.}$

Pour réduire l'étude de la théorie des ensembles de à celle de , on travaille avec le "langage de forçage", qui se construit comme la logique ordinaire du premier ordre , avec l'appartenance comme relation binaire et tous les -noms comme constantes. ${\style d'affichage M[G]}$${\style d'affichage M}$${\displaystyle \mathbb {P} }$

Define (à lire comme " forces dans le modèle avec poset "), où est une condition, est une formule dans le langage de forçage, et les 's sont des -noms, pour signifier que si est un filtre générique contenant , then . Le cas particulier est souvent écrit " " ou simplement " ". De telles déclarations sont vraies dans , peu importe ce qui est. ${\displaystyle p\Vdash _{M,\mathbb {P} }\varphi (u_{1},\ldots ,u_{n})}$${\style d'affichage p}$${\style d'affichage \varphi }$${\style d'affichage M}$${\displaystyle \mathbb {P} }$${\style d'affichage p}$${\style d'affichage \varphi }$${\style d'affichage u_{i}}$${\displaystyle \mathbb {P} }$${\style d'affichage G}$${\style d'affichage p}$${\displaystyle M[G]\models \varphi (\operatorname {val} (u_{1},G),\ldots ,\operatorname {val} (u_{n},G))}$${\displaystyle \mathbf {1} \Vdash _{M,\mathbb {P} }\varphi }$${\displaystyle \mathbb {P} \Vdash _{M,\mathbb {P} }\varphi }$${\displaystyle \Vdash _{M,\mathbb {P} }\varphi }$${\style d'affichage M[G]}$${\style d'affichage G}$

Ce qui est important, c'est que cette définition externe de la relation de forçage est équivalente à une définition interne à l' intérieur de , définie par induction transfinie sur les noms sur les instances de et , puis par induction ordinaire sur la complexité des formules. Cela a pour effet que toutes les propriétés de sont en réalité des propriétés de , et la vérification de in devient simple. Ceci est généralement résumé par les trois propriétés clés suivantes : ${\displaystyle p\Vdash _{M,\mathbb {P} }\varphi }$${\style d'affichage M}$${\displaystyle \mathbb {P} }$${\displaystyle u\in v}$${\style d'affichage u=v}$${\style d'affichage M[G]}$${\style d'affichage M}$${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$${\style d'affichage M[G]}$

• Vérité : si et seulement si elle est forcée par , c'est-à-dire pour certaines conditions , nous avons .${\displaystyle M[G]\models \varphi (\operatorname {val} (u_{1},G),\ldots ,\operatorname {val} (u_{n},G))}$ ${\style d'affichage G}$${\displaystyle p\in G}$${\displaystyle p\Vdash _{M,\mathbb {P} }\varphi (u_{1},\ldots ,u_{n})}$
• Définition : L'instruction " " est définissable dans .${\displaystyle p\Vdash _{M,\mathbb {P} }\varphi (u_{1},\ldots ,u_{n})}$${\style d'affichage M}$
• Cohérence : .${\displaystyle p\Vdash _{M,\mathbb {P} }\varphi (u_{1},\ldots ,u_{n})\land q\leq p\implies q\Vdash _{M,\mathbb { P} }\varphi (u_{1},\ldots ,u_{n})}$

Nous définissons la relation force dans par induction sur la complexité des formules, dans laquelle nous définissons d' abord la relation des formules atomiques par Parvalux puis le définir pour les formules arbitraires par induction sur leur complexité. ${\displaystyle \Vdash _{M,\mathbb {P} }}$${\style d'affichage M}$${\style d'affichage \in }$

Nous définissons d'abord la relation de forçage sur les formules atomiques, en le faisant pour les deux types de formules, et , simultanément. Cela signifie que nous définissons une relation où désigne le type de formule comme suit : ${\style d'affichage x\en y}$${\style d'affichage x=y}$${\displaystyle R(p,a,b,t,\mathbb {P} )}$${\style d'affichage t}$

1. ${\displaystyle R(p,a,b,0,\mathbb {P} )}$signifie .${\displaystyle p\Vdash _{\mathbb {P} }a\in b}$
2. ${\displaystyle R(p,a,b,1,\mathbb {P} )}$signifie .${\displaystyle p\Vdash _{\mathbb {P} }a=b}$
3. ${\displaystyle R(p,a,b,2,\mathbb {P} )}$signifie .${\displaystyle p\Vdash _{\mathbb {P} }a\subseteq b}$

Voici une condition et et sont des noms. Soit une formule définie par -induction : ${\style d'affichage p}$${\style d'affichage a}$${\style d'affichage b}$${\displaystyle \mathbb {P} }$${\displaystyle R(p,a,b,t,\mathbb {P} )}$${\style d'affichage \in }$

R1. si et seulement si . ${\displaystyle R(p,a,b,0,\mathbb {P} )}$${\displaystyle (\forall q\leq p)(\exists r\leq q)(\exists (s,c)\in b)(r\leq s\,\land \,R(r,a,c, 1,\mathbb {P} ))}$

R2. si et seulement si . ${\displaystyle R(p,a,b,1,\mathbb {P} )}$${\displaystyle R(r,a,b,2,\mathbb {P} )\,\land \,R(r,b,a,2,\mathbb {P} )}$

R3. si et seulement si . ${\displaystyle R(p,a,b,2,\mathbb {P} )}$${\displaystyle (\forall (s,c)\in a)(\forall q\leq p)(\exists r\leq q)(r\leq s\,\Rightarrow \,R(r,c,b, 0,\mathbb {P} ))}$

Plus formellement, nous utilisons la relation binaire suivante -names : Soit pour les noms et si et seulement si pour au moins une condition . Cette relation est bien fondée, ce qui signifie que pour tout nom la classe de tous les noms , tel que détient, est un ensemble et il n'y a pas de fonction telle que . ${\displaystyle \mathbb {P} }$${\style d'affichage S(a,b)}$${\style d'affichage a}$${\style d'affichage b}$${\style d'affichage (p,a)\dans b}$${\style d'affichage p}$${\style d'affichage a}$${\style d'affichage b}$${\style d'affichage S(a,b)}$${\displaystyle f:\omega \longrightarrow Noms}$${\displaystyle (\forall n\in \omega )S(f(n+1),f(n))}$

En général, une relation bien fondée n'est pas un pré-ordre, car elle peut ne pas être transitive. Mais, si nous le considérons comme un « ordre », c'est une relation sans séquences décroissantes infinies et où pour tout élément la classe d'éléments en dessous est un ensemble.

Il est facile de fermer toute relation binaire pour la transitivité. Pour les noms et , est vrai s'il existe au moins une séquence finie (comme une carte avec le domaine ) pour certains tels que , et pour tout , est vrai. Un tel ordre est également bien fondé. ${\style d'affichage a}$${\style d'affichage b}$${\style d'affichage a<b}$${\displaystyle c_{0},\dots ,c_{n}}$${\displaystyle \{0,\dots ,n\}}$${\style d'affichage n>0}$${\style d'affichage c_{0}=a}$${\style d'affichage c_{n}=b}$${\style d'affichage i<n}$${\style d'affichage S(c_{i-1},c_{i})}$

Nous définissons l'ordre bien défini suivant sur les paires de noms : si l'une des conditions suivantes est vérifiée : ${\style d'affichage T((a,b),(c,d))}$

1. ${\displaystyle \max\{a,b\}<\max\{c,d\}}$,
2. ${\displaystyle \max\{a,b\}=\max\{c,d\}}$et ,${\style d'affichage \min\{a,b\}<\min\{c,d\}}$
3. ${\displaystyle \max\{a,b\}=\max\{c,d\}}$et et .${\displaystyle \min\{a,b\}=\min\{c,d\}}$${\style d'affichage a<c}$

La relation est définie par récursivité sur des paires de noms. Pour toute paire, il est défini par la même relation sur les paires "plus simples". En fait, par le théorème de récursivité, il existe une formule telle que R1, R2 et R3 sont des théorèmes car sa valeur de vérité à un moment donné est définie par ses valeurs de vérité en des points "plus petits" par rapport à la relation bien fondée utilisée comme "ordre ". Maintenant, nous sommes prêts à définir la relation de forçage : ${\displaystyle R(p,a,b,t,\mathbb {P} )}$${\style d'affichage (a,b)}$${\displaystyle R(p,a,b,t,\mathbb {P} )}$

1. ${\displaystyle p\Vdash _{\mathbb {P} }a\in b}$signifie .${\displaystyle a,b\in Nom\,\land \,R(p,a,b,0,\mathbb {P} )}$
2. ${\displaystyle p\Vdash _{\mathbb {P} }a=b}$signifie .${\displaystyle a,b\in Nom\,\land \,R(p,a,b,1,\mathbb {P} )}$
3. ${\displaystyle p\Vdash _{\mathbb {P} }\lnot f(a_{1},\dots ,a_{n})}$signifie .${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}\in Name\,\land \,\lnot (\exists q\leq p)q\Vdash _{\mathbb {P} }f(a_{1 },\points ,a_{n})}$
4. ${\displaystyle p\Vdash _{\mathbb {P} }(f(a_{1},\dots ,a_{n})\land g(a_{1},\dots ,a_{n}))}$signifie .${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}\in Name\,\land \,(p\Vdash _{\mathbb {P} }f(a_{1},\dots ,a_{n} ))\land (p\Vdash _{\mathbb {P} }g(a_{1},\dots ,a_{n}))}$
5. ${\displaystyle p\Vdash _{\mathbb {P} }(\forall x)f(a_{1},\dots ,a_{n},x)}$signifie .${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}\in Name\,\land \,a_{1},\dots ,a_{n}\in Name\,\land \,(\forall b\ dans les noms)p\Vdash _{\mathbb {P} }f(a_{1},\dots ,a_{n},b)}$

En fait, il s'agit d'une transformation d'une formule arbitraire en la formule où et sont des variables supplémentaires. C'est la définition de la relation de forçage dans l'univers de tous les ensembles indépendamment de tout modèle transitif dénombrable. Cependant, il existe une relation entre cette formulation "syntaxique" du forçage et la formulation "sémantique" du forçage sur un modèle transitif dénombrable . ${\displaystyle f(x_{1},\dots ,x_{n})}$${\displaystyle p\Vdash _{\mathbb {P} }f(x_{1},\dots ,x_{n})}$${\style d'affichage p}$${\displaystyle \mathbb {P} }$${\style d'affichage V}$${\style d'affichage M}$

1. Pour toute formule, il existe un théorème de la théorie (par exemple conjonction de nombre fini d'axiomes) tel que pour tout modèle transitif dénombrable tel que et tout ordre partiel sans atome et tout filtre générique sur${\displaystyle f(x_{1},\dots ,x_{n})}$${\style d'affichage T}$${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$${\style d'affichage M}$${\displaystyle M\modèles T}$${\displaystyle \mathbb {P} \in M}$${\displaystyle \mathbb {P} }$${\style d'affichage G}$${\style d'affichage M}$
   $${\displaystyle (\forall a_{1},\ldots ,a_{n}\in M^{\mathbb {P} })(\forall p\in \mathbb {P} )(p\Vdash _{M, \mathbb {P} }f(a_{1},\dots ,a_{n})\,\Leftrightarrow \,M\models p\Vdash _{\mathbb {P} }f(a_{1},\dots ,une})).}$$

   

C'est ce qu'on appelle la propriété de définissabilité de la relation de forçage.

Cohérence

La discussion ci-dessus peut être résumée par le résultat de cohérence fondamental que, étant donné un poset de forçage , nous pouvons supposer l'existence d'un filtre générique , n'appartenant pas à l'univers , tel qu'il s'agit à nouveau d'un univers ensembliste qui modélise . De plus, toutes les vérités en peuvent être réduites à des vérités en impliquant la relation de forçage. ${\displaystyle \mathbb {P} }$${\style d'affichage G}$${\style d'affichage V}$${\style d'affichage V[G]}$${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$${\style d'affichage V[G]}$${\style d'affichage V}$

Les deux styles, attenants soit à un modèle transitif dénombrable, soit à l'univers entier , sont couramment utilisés. L'approche utilisant la définition « interne » du forçage, dans laquelle aucune mention de modèles d'ensemble ou de classe n'est faite, est moins courante. C'était la méthode originale de Cohen, et dans une élaboration, elle devient la méthode d'analyse à valeur booléenne. ${\style d'affichage G}$${\style d'affichage M}$${\style d'affichage V}$

Cohen forçant

Le poset de forçage non trivial le plus simple est , les fonctions partielles finies de à sous inclusion inverse . C'est-à-dire qu'une condition est essentiellement deux sous-ensembles finis disjoints et de , à considérer comme les parties « oui » et « non » de , sans aucune information fournie sur les valeurs en dehors du domaine de . " est plus fort que " signifie que , en d'autres termes, les parties " oui " et " non " de sont des sur-ensembles des parties " oui " et " non " de , et en ce sens, fournissent plus d'informations. ${\displaystyle (\operatorname {Fin} (\omega ,2),\supseteq ,0)}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle 2~{\stackrel {\text{df}}{=}}~\{0,1\}}$${\style d'affichage p}$${\displaystyle {p^{-1}}[1]}$${\displaystyle {p^{-1}}[0]}$${\displaystyle \omega }$${\style d'affichage p}$${\style d'affichage p}$${\style d'affichage q}$${\style d'affichage p}$${\displaystyle q\supseteq p}$${\style d'affichage q}$${\style d'affichage p}$

Soit un filtre générique pour ce poset. Si et sont tous les deux dans , alors est une condition car est un filtre. Cela signifie qu'il s'agit d'une fonction partielle bien définie de à car deux conditions quelconques sont d' accord sur leur domaine commun. ${\style d'affichage G}$${\style d'affichage p}$${\style d'affichage q}$${\style d'affichage G}$${\displaystyle p\cup q}$${\style d'affichage G}$${\displaystyle g=\grande tasse G}$${\displaystyle \omega }$${\style d'affichage 2}$${\style d'affichage G}$

En fait, est une fonction totale. Étant donné , laissez . Ensuite, c'est dense. (Étant donné que , si n'est pas dans le domaine de , adjoignez une valeur pour — le résultat est dans .) Une condition a dans son domaine, et depuis , nous trouvons que c'est défini. ${\style d'affichage g}$${\displaystyle n\in \omega }$${\displaystyle D_{n}=\{p\mid p(n)~{\text{est défini}}\}}$${\style d'affichage D_{n}}$${\style d'affichage p}$${\style d'affichage n}$${\style d'affichage p}$${\style d'affichage n}$${\style d'affichage D_{n}}$${\displaystyle p\in G\cap D_{n}}$${\style d'affichage n}$${\displaystyle p\subseteq g}$${\style d'affichage g(n)}$

Soit , l'ensemble de tous les membres "oui" des conditions génériques. Il est possible de donner un nom directement. Laisser ${\displaystyle X={g^{-1}}[1]}$${\style d'affichage X}$

${\displaystyle {\underline {X}}=\left\{\left({\check {n}},p\right)\mid p(n)=1\right\}.}$

Alors maintenant, supposons que dans . Nous le prétendons . Laisser ${\displaystyle \operatorname {val} ({\underline {X}},G)=X.}$${\displaystyle A\subseteq \omega }$${\style d'affichage V}$${\displaystyle X\neq A}$

${\displaystyle D_{A}=\{p\mid (\exists n)(n\in \operatorname {Dom} (p)\land (p(n)=1\iff n\notin A))\}. }$

Ensuite, c'est dense. (Compte tenu de tout , constatez que ce n'est pas dans son domaine, et adjoignez une valeur pour contraire au statut de " ".) Puis tout témoin . Pour résumer, est un "nouveau" sous-ensemble de , nécessairement infini. ${\style d'affichage D_{A}}$${\style d'affichage p}$${\style d'affichage n}$${\style d'affichage n}$${\style d'affichage n\dans A}$${\displaystyle p\in G\cap D_{A}}$${\displaystyle X\neq A}$${\style d'affichage X}$${\displaystyle \omega }$

En remplaçant par , c'est-à-dire, considérons à la place des fonctions partielles finies dont les entrées sont de la forme , avec et , et dont les sorties sont ou , on obtient de nouveaux sous-ensembles de . Ils sont tous distincts, par un argument de densité : Étant donné , soit ${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \omega \times \omega _{2}}$${\style d'affichage (n,\alpha )}$${\displaystyle n<\omega }$${\displaystyle \alpha <\omega _{2}}$${\style d'affichage 0}$${\style d'affichage 1}$${\displaystyle \omega _{2}}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \alpha <\beta <\omega _{2}}$

${\displaystyle D_{\alpha ,\beta }=\{p\mid (\exists n)(p(n,\alpha )\neq p(n,\beta ))\},}$

alors chacun est dense, et une condition générique dans celui-ci prouve que le αème nouvel ensemble est en désaccord quelque part avec le ème nouvel ensemble. ${\displaystyle D_{\alpha ,\beta }}$${\displaystyle \beta }$

Ce n'est pas encore la falsification de l'hypothèse du continu. Il faut prouver qu'il n'y a pas de nouvelles cartes ont été introduites carte sur ou sur . Par exemple, si l'on considère à la place des fonctions partielles finies de à , le premier ordinal indénombrable , on obtient une bijection de à . En d'autres termes, s'est effondré , et dans l'extension forçante, est un ordinal dénombrable. ${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \omega _{1}}$${\displaystyle \omega _{1}}$${\displaystyle \omega _{2}}$${\displaystyle \operatorname {Fin} (\omega ,\omega _{1})}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \omega _{1}}$${\style d'affichage V[G]}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \omega _{1}}$${\displaystyle \omega _{1}}$

La dernière étape pour montrer l'indépendance de l'hypothèse du continu est donc de montrer que le forçage de Cohen n'effondre pas les cardinaux. Pour cela, une propriété combinatoire suffisante est que toutes les antichaînes du poset de forçage sont dénombrables.

La condition de chaîne comptable

Une antichaîne (forte) de est un sous-ensemble tel que si , alors et sont incompatibles (écrit ), ce qui signifie qu'il n'y a pas dans tel que et . Dans l'exemple sur les ensembles de Borel, l'incompatibilité signifie que la mesure est nulle. Dans l'exemple sur les fonctions partielles finies, l'incompatibilité signifie que ce n'est pas une fonction, en d'autres termes, et attribue des valeurs différentes à une entrée de domaine. ${\style d'affichage A}$${\displaystyle \mathbb {P} }$${\displaystyle p,q\in A}$${\style d'affichage p}$${\style d'affichage q}$${\displaystyle p\perp q}$${\style d'affichage r}$${\displaystyle \mathbb {P} }$${\displaystyle r\leq p}$${\displaystyle r\leq q}$${\displaystyle p\cap q}$${\displaystyle p\cup q}$${\style d'affichage p}$${\style d'affichage q}$

${\displaystyle \mathbb {P} }$satisfait la condition de chaîne dénombrable (ccc) si et seulement si chaque antichaîne est dénombrable. (Le nom, qui est évidemment inapproprié, est un vestige d'une terminologie plus ancienne. Certains mathématiciens écrivent "cac" pour "condition antichaîne dénombrable".) ${\displaystyle \mathbb {P} }$

Il est facile de voir que cela satisfait le ccc parce que les mesures totalisent au plus . Aussi, satisfait le ccc, mais la preuve est plus difficile. ${\displaystyle \operatorname {Bor} (I)}$${\style d'affichage 1}$${\displaystyle \operatorname {Fin} (E,2)}$

Étant donné une sous - famille indénombrable , réduit à une sous - famille indénombrable d'ensembles de taille , pour certains . Si pour un nombre indénombrable , réduisez cela à une sous - famille indénombrable et répétez, en obtenant un ensemble fini et une famille indénombrable de conditions de taille incompatibles telles que chaque est dans un nombre au plus dénombrable . Maintenant, choisissez un arbitraire , et choisissez parmi tous ceux qui ne font pas partie des nombreux membres qui ont un membre de domaine en commun avec . Alors et sont compatibles, ce n'est donc pas un antichaîne. En d'autres termes, les -antichaînes sont dénombrables. ${\displaystyle W\subseteq \operatorname {Fin} (E,2)}$${\style d'affichage W}$${\style d'affichage W_{0}}$${\style d'affichage n}$${\displaystyle n<\omega }$${\style d'affichage p(e_{1})=b_{1}}$${\displaystyle p\in W_{0}}$${\style d'affichage W_{1}}$${\displaystyle \{(e_{1},b_{1}),\ldots ,(e_{k},b_{k})\}}$${\displaystyle W_{k}}$${\displaystyle nk}$${\style d'affichage e}$${\displaystyle \operatorname {Dom} (p)}$${\displaystyle p\in W_{k}}$${\displaystyle p\in W_{k}}$${\displaystyle W_{k}}$${\style d'affichage q}$${\style d'affichage p}$${\displaystyle p\cup \{(e_{1},b_{1}),\ldots ,(e_{k},b_{k})\}}$${\displaystyle q\cup \{(e_{1},b_{1}),\ldots ,(e_{k},b_{k})\}}$${\style d'affichage W}$${\displaystyle \operatorname {Fin} (E,2)}$

L'importance des antichaînes dans le forçage est que, dans la plupart des cas, les ensembles denses et les antichaînes maximales sont équivalents. Une antichaîne maximale est une antichaîne qui ne peut pas être étendue à une antichaîne plus grande. Cela signifie que chaque élément est compatible avec un membre de . L'existence d'une antichaîne maximale découle du lemme de Zorn . Étant donné une antichaîne maximale , soit ${\style d'affichage A}$${\displaystyle p\in \mathbb {P} }$${\style d'affichage A}$${\style d'affichage A}$

${\displaystyle D=\left\{p\in \mathbb {P} \mid (\existe q\in A)(p\leq q)\right\}.}$

Alors est dense, et si et seulement si . Inversement, étant donné un ensemble dense , le lemme de Zorn montre qu'il existe une antichaîne maximale , et alors si et seulement si . ${\style d'affichage D}$${\displaystyle G\cap D\neq \varnothing }$${\displaystyle G\cap A\neq \varnothing }$${\style d'affichage D}$${\style d'affichage A\sous-ensemble D}$${\displaystyle G\cap D\neq \varnothing }$${\displaystyle G\cap A\neq \varnothing }$

Supposons que cela satisfasse le ccc Étant donné , avec une fonction dans , on peut approcher à l' intérieur comme suit. Soit un nom pour (par la définition de ) et soit une condition qui force à être une fonction de à . Définir une fonction , dont le domaine est , par ${\displaystyle \mathbb {P} }$${\displaystyle x,y\in V}$${\displaystyle f:x\to y}$${\style d'affichage V[G]}$${\style d'affichage f}$${\style d'affichage V}$${\displaystyle u}$${\style d'affichage f}$${\style d'affichage V[G]}$${\style d'affichage p}$${\displaystyle u}$${\style d'affichage x}$${\style d'affichage y}$${\style d'affichage F}$${\style d'affichage x}$

${\displaystyle F(a){\stackrel {\text{df}}{=}}\left\{b\left|(\exists q\in \mathbb {P} )\left[(q\leq p) \land \left(q\Vdash ~u\left({\check {a}}\right)={\check {b}}\right)\right]\right\}.\right.}$

Par la définissabilité du forçage, cette définition prend tout son sens au sein de . Par la cohérence du forçage, un différent vient d'un incompatible . Par ccc, est dénombrable. ${\style d'affichage V}$${\style d'affichage b}$${\style d'affichage p}$${\style d'affichage F(a)}$

En résumé, est inconnu dans car il dépend de , mais il n'est pas totalement inconnu pour un forçage ccc. On peut identifier un ensemble dénombrable d'estimations de la valeur de à n'importe quelle entrée, indépendamment de . ${\style d'affichage f}$${\style d'affichage V}$${\style d'affichage G}$${\style d'affichage f}$${\style d'affichage G}$

Ceci a la conséquence très importante suivante. Si dans , est une surjection d'un ordinal infini sur un autre, alors il y a une surjection dans , et par conséquent, une surjection dans . En particulier, les cardinaux ne peuvent pas s'effondrer. La conclusion est que dans . ${\style d'affichage V[G]}$${\displaystyle f:\alpha \to \beta }$${\displaystyle g:\omega \times \alpha \to \beta }$${\style d'affichage V}$${\displaystyle h:\alpha \to \beta }$${\style d'affichage V}$${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}\geq \aleph _{2}}$${\style d'affichage V[G]}$

Easton forçant

La valeur exacte du continuum dans le modèle de Cohen ci-dessus, et des variantes comme pour les cardinaux en général, a été élaborée par Robert M. Solovay , qui a également travaillé sur la façon de violer (l' hypothèse du continuum généralisé ), pour les cardinaux réguliers seulement, un fini nombre de fois. Par exemple, dans le modèle de Cohen ci-dessus, si tient dans , alors tient dans . ${\displaystyle \operatorname {Fin} (\omega \times \kappa ,2)}$${\style d'affichage \kappa }$${\displaystyle {\mathsf {GCH}}}$${\displaystyle {\mathsf {CH}}}$${\style d'affichage V}$${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}=\aleph _{2}}$${\style d'affichage V[G]}$

William B. Easton a travaillé la bonne version de classe de violer les pour cardinaux réguliers, montre essentiellement que les restrictions connues, (monotonicité, théorème de Cantor et le théorème de König ), étaient les seules restrictions -provable (voir le théorème de Easton ). ${\displaystyle {\mathsf {GCH}}}$${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$

Le travail d'Easton était remarquable en ce qu'il impliquait de forcer avec une classe appropriée de conditions. En général, la méthode de forçage avec une classe de conditions appropriée ne parvient pas à donner un modèle de . Par exemple, le forçage avec , où est la classe propre de tous les ordinaux, fait du continuum une classe propre. Par contre, le forçage avec introduit une énumération dénombrable des ordinaux. Dans les deux cas, le résultat n'est visiblement pas un modèle de . ${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$${\displaystyle \operatorname {Fin} (\omega \times \mathbf {On} ,2)}$${\displaystyle \mathbf {On} }$${\displaystyle \operatorname {Fin} (\omega ,\mathbf {On} )}$${\style d'affichage V[G]}$${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$

À une certaine époque, on pensait qu'un forçage plus sophistiqué permettrait également une variation arbitraire des pouvoirs des cardinaux singuliers . Cependant, cela s'est avéré être un problème difficile, subtil et même surprenant, avec plusieurs autres restrictions prouvables dans et avec les modèles de forçage en fonction de la cohérence de diverses propriétés des grands cardinaux . De nombreux problèmes ouverts demeurent. ${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$

Réels aléatoires

Le forçage aléatoire peut être défini comme un forçage sur l'ensemble de tous les sous-ensembles compacts de mesure positive ordonnés par relation (un ensemble plus petit dans le contexte de l'inclusion est un ensemble plus petit dans l'ordre et représente la condition avec plus d'informations). Il existe deux types d'ensembles denses importants : ${\style d'affichage P}$${\style d'affichage [0,1]}$${\displaystyle \subseteq }$

1. Pour tout entier positif, l'ensemble${\style d'affichage n}$
   $${\displaystyle D_{n}=\left\{p\in P:\operatorname {diam} (p)<{\frac {1}{n}}\right\}}$$

   
   est dense, où est le diamètre de l'ensemble .${\displaystyle \operatorname {diam} (p)}$${\style d'affichage p}$
2. Pour tout sous - ensemble de Borel de mesure 1, l'ensemble${\displaystyle B\subseteq [0,1]}$
   $${\displaystyle D_{B}=\{p\in P:p\subseteq B\}}$$

   
   est dense.

Pour n'importe quel filtre et pour n'importe quel nombre fini d'éléments, il y a tel qui s'applique . Dans le cas de cet ordre, cela signifie que tout filtre est un ensemble d'ensembles compacts avec une propriété d'intersection finie. Pour cette raison, l'intersection de tous les éléments d'un filtre n'est pas vide. Si est un filtre coupant l'ensemble dense pour tout entier positif , alors le filtre contient des conditions de diamètre positif arbitrairement petit. Par conséquent, l'intersection de toutes les conditions de a un diamètre 0. Mais les seuls ensembles non vides de diamètre 0 sont des singletons. Il y a donc exactement un nombre réel tel que . ${\style d'affichage G}$${\displaystyle p_{1},\ldots ,p_{n}\in G}$${\displaystyle q\in G}$${\displaystyle q\leq p_{1},\ldots ,p_{n}}$${\style d'affichage G}$${\style d'affichage D_{n}}$${\style d'affichage n}$${\style d'affichage G}$${\style d'affichage G}$${\style d'affichage r_{G}}$${\displaystyle r_{G}\in \bigcap G}$

Soit un ensemble de Borel quelconque de mesure 1. Si coupe , alors . ${\displaystyle B\subseteq [0,1]}$${\style d'affichage G}$${\style d'affichage D_{B}}$${\displaystyle r_{G}\in B}$

Cependant, un filtre générique sur un modèle transitif dénombrable n'est pas dans . Le réel défini par n'est manifestement pas un élément de . Le problème est que si , alors " est compact", mais du point de vue d'un univers plus vaste , peut être non compact et l'intersection de toutes les conditions du filtre générique est en fait vide. Pour cette raison, nous considérons l'ensemble des fermetures topologiques de conditions de G. En raison de et de la propriété d'intersection finie de , l'ensemble a également la propriété d'intersection finie. Les éléments de l'ensemble sont des ensembles fermés bornés en tant que fermetures d'ensembles bornés. Par conséquent, est un ensemble d'ensembles compacts avec la propriété d'intersection finie et a donc une intersection non vide. Depuis et le modèle au sol hérite d'une métrique de l'univers , l'ensemble a des éléments de diamètre arbitrairement petit. Enfin, il y a exactement un réel qui appartient à tous les membres de l'ensemble . Le filtre générique peut être reconstruit à partir de . ${\style d'affichage V}$${\style d'affichage V}$${\style d'affichage r_{G}}$${\style d'affichage G}$${\style d'affichage V}$${\style d'affichage p\in P}$${\displaystyle V\modèles }$${\style d'affichage p}$${\displaystyle U\supset V}$${\style d'affichage p}$${\style d'affichage G}$${\displaystyle C=\{{\bar {p}}:p\in G\}}$${\displaystyle {\bar {p}}\supseteq p}$${\style d'affichage G}$${\style d'affichage C}$${\style d'affichage C}$${\style d'affichage C}$${\displaystyle \operatorname {diam} ({\bar {p}})=\operatorname {diam} (p)}$${\style d'affichage V}$${\style d'affichage U}$${\style d'affichage C}$${\style d'affichage C}$${\style d'affichage G}$${\style d'affichage r_{G}}$${\displaystyle G=\{p\in P:r_{G}\in {\bar {p}}\}}$

Si est le nom de , et pour détient " est l'ensemble de Borel de mesure 1", alors détient ${\style d'affichage a}$${\style d'affichage r_{G}}$${\style d'affichage B\en V}$${\displaystyle V\modèles }$${\style d'affichage B}$

${\displaystyle V[G]\models \left(p\Vdash _{\mathbb {P} }a\in {\check {B}}\right)}$

pour certains . Il y a un nom tel que pour tout filtre générique détient ${\displaystyle p\in G}$${\style d'affichage a}$${\style d'affichage G}$

${\displaystyle \operatorname {val} (a,G)\in \bigcup _{p\in G}{\bar {p}}.}$

Puis

${\displaystyle V[G]\models \left(p\Vdash _{\mathbb {P} }a\in {\check {B}}\right)}$

tient pour n'importe quelle condition . ${\style d'affichage p}$

Chaque ensemble de Borel peut, de manière non unique, être construit, à partir d'intervalles à extrémités rationnelles et en appliquant les opérations de complément et d'unions dénombrables, un nombre dénombrable de fois. L'enregistrement d'une telle construction s'appelle un code de Borel . Étant donné un ensemble Borel dans , on récupère un code Borel, puis on applique la même séquence de construction dans , obtenant un ensemble Borel . Il peut être prouvé que l'on obtient le même ensemble indépendamment de la construction de , et que les propriétés de base sont conservées. Par exemple, si , alors . Si a la mesure zéro, alors a la mesure zéro. Cette cartographie est injective. ${\style d'affichage B}$${\style d'affichage V}$${\style d'affichage V[G]}$${\style d'affichage B^{*}}$${\style d'affichage B}$${\displaystyle B\subseteq C}$${\displaystyle B^{*}\subseteq C^{*}}$${\style d'affichage B}$${\style d'affichage B^{*}}$${\displaystyle B\mapsto B^{*}}$

Pour tout ensemble tel que et « est un ensemble de Borel de mesure 1 » est valable . ${\displaystyle B\subseteq [0,1]}$${\style d'affichage B\en V}$${\displaystyle V\modèles }$${\style d'affichage B}$${\displaystyle r\in B^{*}}$

Cela signifie qu'il s'agit d'une "séquence aléatoire infinie de 0 et de 1" du point de vue de , ce qui signifie qu'elle satisfait à tous les tests statistiques du modèle de terrain . ${\style d'affichage r}$${\style d'affichage V}$${\style d'affichage V}$

Donc étant donné , un réel aléatoire, on peut montrer que ${\style d'affichage r}$

${\displaystyle G=\left\{B~({\text{in }}V)\mid r\in B^{*}~({\text{in }}V[G])\right\}. }$

En raison de l'interdéfinissabilité mutuelle entre et , on écrit généralement pour . ${\style d'affichage r}$${\style d'affichage G}$${\style d'affichage V[r]}$${\style d'affichage V[G]}$

Une interprétation différente des réels dans a été fournie par Dana Scott . Les nombres rationnels dans ont des noms qui correspondent à de nombreuses valeurs rationnelles distinctes attribuées à une antichaîne maximale d'ensembles de Borel - en d'autres termes, une certaine fonction à valeur rationnelle sur . Les nombres réels correspondent alors à des coupes de Dedekind de telles fonctions, c'est-à-dire des fonctions mesurables . ${\style d'affichage V[G]}$${\style d'affichage V[G]}$${\style d'affichage I=[0,1]}$${\style d'affichage V[G]}$

Modèles à valeur booléenne

Peut-être plus clairement, la méthode peut être expliquée en termes de modèles à valeurs booléennes. Dans ceux-ci, toute déclaration se voit attribuer une valeur de vérité à partir d'une algèbre booléenne complète sans atome , plutôt qu'une simple valeur vrai/faux. Ensuite, un ultrafiltre est choisi dans cette algèbre booléenne, qui attribue des valeurs vrai/faux aux énoncés de notre théorie. Le fait est que la théorie résultante a un modèle qui contient cet ultrafiltre, qui peut être compris comme un nouveau modèle obtenu en étendant l'ancien avec cet ultrafiltre. En choisissant un modèle à valeur booléenne de manière appropriée, nous pouvons obtenir un modèle qui possède la propriété souhaitée. Dans ce document, seules les déclarations qui doivent être vraies (sont "forcées" d'être vraies) seront vraies, dans un sens (puisqu'elles ont cette propriété d'extension/minimalité).

Explication méta-mathématique

En forçant, nous cherchons généralement à montrer qu'une phrase est cohérente avec (ou éventuellement une extension de ). Une façon d'interpréter l'argument est de supposer que c'est cohérent, puis de prouver que combiné avec la nouvelle phrase est également cohérent. ${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$

Chaque "condition" est une information finie - l'idée est que seules les pièces finies sont pertinentes pour la cohérence, puisque, par le théorème de compacité , une théorie est satisfiable si et seulement si chaque sous-ensemble fini de ses axiomes est satisfiable. Ensuite, nous pouvons choisir un ensemble infini de conditions cohérentes pour étendre notre modèle. Par conséquent, en supposant la cohérence de , nous prouvons la cohérence de étendu par cet ensemble infini. ${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$

Explication logique

Par le deuxième théorème d'incomplétude de Gödel , on ne peut pas prouver la cohérence d'une théorie formelle suffisamment forte, telle que , en utilisant uniquement les axiomes de la théorie elle-même, à moins que la théorie ne soit inconsistante. Par conséquent, les mathématiciens n'essayent pas de prouver la cohérence d' utiliser uniquement les axiomes de , ou de prouver qu'il est cohérent pour toute hypothèse en utilisant uniquement . Pour cette raison, le but d'une preuve de cohérence est de prouver la cohérence de par rapport à la cohérence de . De tels problèmes sont connus sous le nom de problèmes de cohérence relative , dont l' un s'avère ${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}+H}$${\style d'affichage H}$${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}+H}$${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}+H}$${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$

$${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}\vdash \operatorname {Con} ({\mathsf {ZFC}})\rightarrow \operatorname {Con} ({\mathsf {ZFC}}+H).}$$

( ⁎ )

Le schéma général des preuves de cohérence relative suit. Comme toute preuve est finie, elle n'utilise qu'un nombre fini d'axiomes :

${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}+\lnot \operatorname {Con} ({\mathsf {ZFC}}+H)\vdash (\exists T)(\operatorname {Fin} (T)\land T\subseteq {\mathsf {ZFC}}\land (T\vdash \lnot H)).}$

Pour toute preuve donnée, peut vérifier la validité de cette preuve. Ceci est prouvable par induction sur la longueur de la preuve. ${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$

${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}\vdash (\forall T)((T\vdash \lnot H)\rightarrow ({\mathsf {ZFC}}\vdash (T\vdash \lnot H))).}$

puis résoudre

${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}+\lnot \operatorname {Con} ({\mathsf {ZFC}}+H)\vdash (\exists T)(\operatorname {Fin} (T)\land T\subseteq {\mathsf {ZFC}}\land ({\mathsf {ZFC}}\vdash (T\vdash \lnot H))).}$

En prouvant ce qui suit

$${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}\vdash (\forall T)(\operatorname {Fin} (T)\land T\subseteq {\mathsf {ZFC}}\rightarrow ({\mathsf {ZFC}}\vdash \operatorname {Con} (T+H))),}$$

( ⁎⁎ )

on peut conclure que

${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}+\lnot \operatorname {Con} ({\mathsf {ZFC}}+H)\vdash (\exists T)(\operatorname {Fin} (T)\land T\subseteq {\mathsf {ZFC}}\land ({\mathsf {ZFC}}\vdash (T\vdash \lnot H))\land ({\mathsf {ZFC}}\vdash \operatorname {Con} (T+H) )),}$

ce qui équivaut à

${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}+\lnot \operatorname {Con} ({\mathsf {ZFC}}+H)\vdash \lnot \operatorname {Con} ({\mathsf {ZFC}}),}$

qui donne (*). Le cœur de la preuve de cohérence relative est la preuve (**). Une preuve de peut être construite pour tout sous-ensemble fini donné des axiomes (par des instruments bien sûr). (Pas de preuve universelle bien sûr.) ${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$${\displaystyle \operatorname {Con} (T+H)}$${\style d'affichage T}$${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$${\displaystyle \operatorname {Con} (T+H)}$

Dans , il est prouvable que pour toute condition , l'ensemble des formules (évaluées par des noms) forcé par est déductivement clos. De plus, pour tout axiome, prouve que cet axiome est forcé par . Il suffit alors de prouver qu'il existe au moins une condition qui force . ${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$${\style d'affichage p}$${\style d'affichage p}$${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$${\displaystyle \mathbf {1} }$${\style d'affichage H}$

Dans le cas d'un forçage booléen, la procédure est similaire : prouver que la valeur booléenne de n'est pas . ${\style d'affichage H}$${\displaystyle \mathbf {0} }$

Une autre approche utilise le théorème de réflexion. Pour tout ensemble fini d' axiomes donné, il existe une preuve que cet ensemble d'axiomes a un modèle transitif dénombrable. Pour tout ensemble fini d' axiomes donné, il existe un ensemble fini d' axiomes tels qui prouve que si un modèle transitif dénombrable satisfait , alors satisfait . En prouvant qu'il existe un ensemble fini d' axiomes tels que si un modèle transitif dénombrable satisfait , alors satisfait l'hypothèse . Alors, pour tout ensemble fini d' axiomes, prouve . ${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$${\style d'affichage T}$${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$${\style d'affichage T'}$${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$${\style d'affichage M}$${\style d'affichage T'}$${\style d'affichage M[G]}$${\style d'affichage T}$${\style d'affichage T''}$${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$${\style d'affichage M}$${\style d'affichage T''}$${\style d'affichage M[G]}$${\style d'affichage H}$${\style d'affichage T}$${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$${\displaystyle \operatorname {Con} (T+H)}$

Parfois dans (**), une théorie plus forte que celle utilisée pour prouver . On a alors la preuve de la cohérence de par rapport à la cohérence de . Notez que , où est (l'axiome de constructibilité). ${\style d'affichage S}$${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$${\displaystyle \operatorname {Con} (T+H)}$${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}+H}$${\style d'affichage S}$${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}\vdash \operatorname {Con} ({\mathsf {ZFC}})\leftrightarrow \operatorname {Con} ({\mathsf {ZFL}})}$${\displaystyle {\mathsf {ZFL}}}$${\displaystyle {\mathsf {ZF}}+V=L}$

Voir également

• Liste des notions de forçage
• Joli nom

Les références

• Bell, JL (1985). Modèles à valeur booléenne et preuves d'indépendance en théorie des ensembles , Oxford. ISBN  0-19-853241-5
• Cohen, PJ (1966). La théorie des ensembles et l'hypothèse du continu . Addison–Wesley. ISBN 978-0-8053-2327-6.
• Grishin, VN (2001) [1994], "Forcing Method" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
• Kunen, K. (1980). Théorie des ensembles : une introduction aux preuves d'indépendance . Hollande du Nord. ISBN 978-0-444-85401-8.
• Jech, Thomas (2002). Théorie des ensembles : la troisième édition du millénaire . Printemps-Verlag. ISBN 3-540-44085-2.

Liens externes

• Le livre de Nik Weaver Forcing for Mathematicians a été écrit pour les mathématiciens qui veulent apprendre les mécanismes de base du forçage. Aucune formation en logique n'est supposée, au-delà de la facilité avec la syntaxe formelle qui devrait être une seconde nature pour tout mathématicien bien formé.
• Timothy Chow article du Guide du débutant à Obliger est une bonne introduction aux concepts de force qui évite beaucoup de détails techniques. Cet article est né de l'article de groupe de discussion de Chow, Forcing for dummies . En plus d'une exposition améliorée, le Guide du débutant comprend une section sur les modèles à valeur booléenne.
• Voir aussi Kenny Easwaran l'article « A Cheerful Introduction à Forcing et le Continuum Hypothesis , qui vise également au débutant , mais comprend des détails plus techniques que l'article Chow.
• Cohen, PJ L'indépendance de l'hypothèse du continuum , Actes de l'Académie nationale des sciences des États-Unis d'Amérique, Vol. 50, n° 6. (15 décembre 1963), pp. 1143-1148.
• Cohen, PJ L'indépendance de l'hypothèse du continu, II , Actes de l'Académie nationale des sciences des États-Unis d'Amérique, Vol. 51, n° 1. (15 janvier 1964), pp. 105-110.
• Paul Cohen a donné une conférence historique The Discovery of Forcing (Rocky Mountain J. Math. Volume 32, Number 4 (2002), 1071–1100) sur la façon dont il a développé sa preuve d'indépendance. La page liée a un lien de téléchargement pour un PDF en libre accès, mais votre navigateur doit envoyer un en- tête de référence à partir de la page liée pour le récupérer.
• Akihiro Kanamori : La théorie des ensembles de Cantor à Cohen
• Weisstein, Eric W. "Forcer" . MathWorld .