L'argument de Frattini

Dans la théorie des groupes , une branche des mathématiques , l'argument de Frattini est un lemme important dans la théorie des structures des groupes finis . Il est nommé d'après Giovanni Frattini , qui l'a utilisé dans un article de 1885 lors de la définition du sous - groupe Frattini d'un groupe. L'argument a été repris par Frattini, comme il l'admet lui-même, à partir d'un article d' Alfredo Capelli daté de 1884.

Déclaration

Si est un groupe fini avec sous - groupe normal , et si un Sylow p -subgroup de , puis ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle H}$ ${\ displaystyle P}$ ${\ displaystyle H}$

{\ displaystyle G = N_ {G} (P) H}

où désigne le normalisateur de in et signifie le produit des sous-ensembles de groupes . ${\ displaystyle N_ {G} (P)}$ ${\ displaystyle P}$ ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle N_ {G} (P) H}$

Preuve

Le groupe est un sous- groupe de Sylow de , donc chaque sous- groupe de Sylow de est un -conjugué de , c'est-à-dire qu'il est de la forme , pour certains (voir théorèmes de Sylow ). Soit n'importe quel élément de . Puisqu'il est normal dans , le sous - groupe est contenu dans . Cela signifie qu'il s'agit d'un sous- groupe Sylow de . Ensuite, par ce qui précède, il doit être -conjugué à : c'est-à-dire pour certains ${\ displaystyle P}$ ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle H}$ ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle H}$ ${\ displaystyle H}$ ${\ displaystyle P}$ ${\ displaystyle h ^ {- 1} Ph}$ ${\ displaystyle h \ in H}$ ${\ displaystyle g}$ ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle H}$ ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle g ^ {- 1} Pg}$ ${\ displaystyle H}$ ${\ displaystyle g ^ {- 1} Pg}$ ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle H}$ ${\ displaystyle H}$ ${\ displaystyle P}$ ${\ displaystyle h \ in H}$

{\ displaystyle g ^ {- 1} Pg = h ^ {- 1} Ph}

,

et donc

{\ displaystyle hg ^ {- 1} Pgh ^ {- 1} = P}

.

Ainsi,

{\ displaystyle gh ^ {- 1} \ in N_ {G} (P)}

,

et donc . Mais était arbitraire, et donc ${\ displaystyle g \ in N_ {G} (P) H}$ ${\ displaystyle g \ in G}$ ${\ displaystyle G = HN_ {G} (P) = N_ {G} (P) H. \, \, \ square}$

Applications

L'argument de Frattini peut être utilisé dans le cadre d'une preuve que tout groupe nilpotent fini est un produit direct de ses sous-groupes Sylow.
En appliquant l'argument de Frattini à , on peut montrer que chaque fois est un groupe fini et est un sous- groupe Sylow de . ${\ displaystyle N_ {G} (N_ {G} (P))}$ ${\ displaystyle N_ {G} (N_ {G} (P)) = N_ {G} (P)}$ ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle P}$ ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle G}$
Plus généralement, si un sous-groupe contient pour un certain Sylow -sous-groupe de , alors est auto-normalisant, ie . ${\ displaystyle M \ leq G}$ ${\ displaystyle N_ {G} (P)}$ ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle P}$ ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle M}$ ${\ displaystyle M = N_ {G} (M)}$