Essai de Friedman - Friedman test

Le test de Friedman est un test statistique non paramétrique développé par Milton Friedman . Semblable à l' ANOVA paramétrique à mesures répétées , il est utilisé pour détecter les différences de traitement entre plusieurs tentatives de test. La procédure consiste à classer chaque ligne (ou bloc ) ensemble, puis à considérer les valeurs des rangs par colonnes. Applicable aux conceptions de blocs complets , il s'agit donc d'un cas particulier du test de Durbin .

Des exemples classiques d'utilisation sont :

• n juges évaluent chacun k vins différents. Est-ce que l'un des k vins est régulièrement classé plus haut ou plus bas que les autres ?
• n soudeurs utilisent chacun k torches de soudage, et les soudures qui en résultent ont été évaluées sur la qualité. L'une des torches k produit-elle systématiquement des soudures meilleures ou pires ?

Le test de Friedman est utilisé pour l'analyse à mesures répétées unidirectionnelles de la variance par rangs. Dans son utilisation des rangs, elle est similaire à l' analyse unidirectionnelle de la variance par rangs de Kruskal-Wallis .

Le test de Friedman est largement pris en charge par de nombreux logiciels statistiques .

Méthode

1. Étant donné les données , c'est-à-dire une matrice avec des lignes (les blocs ), des colonnes (les traitements ) et une seule observation à l'intersection de chaque bloc et traitement, calculez les rangs au sein de chaque bloc. S'il y a des valeurs à égalité, attribuez à chaque valeur à égalité la moyenne des rangs qui auraient été attribués sans égalité. Remplacez les données par une nouvelle matrice où l'entrée est le rang du bloc à l'intérieur .${\displaystyle \{x_{ij}\}_{n\times k}}$${\style d'affichage n}$${\style d'affichage k}$ ${\displaystyle \{r_{ij}\}_{n\times k}}$${\style d'affichage r_{ij}}$${\style d'affichage x_{ij}}$${\style d'affichage i}$
2. Trouver les valeurs ${\displaystyle {\bar {r}}_{\cdot j}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{r_{ij}}}$
3. La statistique de test est donnée par . Notez que la valeur de Q doit être ajustée pour les valeurs liées dans les données.${\displaystyle Q={\frac {12n}{k(k+1)}}\sum _{j=1}^{k}\left({\bar {r}}_{\cdot j}-{ \frac {k+1}{2}}\droit)^{2}}$
4. Enfin, lorsque n ou k est grand (c'est-à-dire n > 15 ou k > 4), la distribution de probabilité de Q peut être approchée par celle d'une distribution chi-carré . Dans ce cas, la valeur p est donnée par . Si n ou k est petit, l'approximation du chi carré devient médiocre et la valeur p doit être obtenue à partir des tableaux de Q spécialement préparés pour le test de Friedman. Si la valeur p est significative , des tests de comparaisons multiples post-hoc appropriés seraient effectués.${\displaystyle \mathbf {P} (\chi _{k-1}^{2}\geq Q)}$

Essais associés

• Lors de l'utilisation de ce type de conception pour une réponse binaire, on utilise à la place le test Q de Cochran .
• Le test de signe (avec une alternative bilatérale) est équivalent à un test de Friedman sur deux groupes.
• Le W de Kendall est une normalisation de la statistique de Friedman entre 0 et 1.
• Le test de rang signé de Wilcoxon est un test non paramétrique de données non indépendantes provenant de deux groupes seulement.
• Le test de Skillings-Mack est une statistique générale de type Friedman qui peut être utilisée dans presque toutes les conceptions de blocs avec une structure de données manquantes arbitraire.
• Le test de Wittkowski est une statistique générale de type Friedman similaire au test de Skillings-Mack. Lorsque les données ne contiennent aucune valeur manquante, cela donne le même résultat que le test de Friedman. Mais si les données contiennent des valeurs manquantes, c'est à la fois plus précis et plus sensible que le test de Skillings-Mack. Une implémentation du test existe dans R .

Analyse post hoc

Des tests post-hoc ont été proposés par Schaich et Hamerle (1984) ainsi que par Conover (1971, 1980) afin de décider quels groupes sont significativement différents les uns des autres, sur la base des différences de rang moyen des groupes. Ces procédures sont détaillées dans Bortz, Lienert et Boehnke (2000, p. 275). Eisinga, Heskes, Pelzer et Te Grotenhuis (2017) fournissent un test exact pour la comparaison par paires de sommes de rang de Friedman, implémenté dans R . Le test exact d'Eisinga cs offre une amélioration substantielle par rapport aux tests approximatifs disponibles, surtout si le nombre de groupes ( ) est grand et le nombre de blocs ( ) est petit. ${\style d'affichage k}$${\style d'affichage n}$

Tous les packages statistiques ne prennent pas en charge l'analyse post-hoc pour le test de Friedman, mais il existe du code fourni par l'utilisateur qui fournit ces fonctionnalités (par exemple dans SPSS et dans R .). En outre, il existe un package spécialisé disponible dans R contenant de nombreuses méthodes non paramétriques pour l'analyse post-hoc après Friedman.

Les références

Lectures complémentaires

• Daniel, Wayne W. (1990). « Analyse bidirectionnelle de la variance par les rangs de Friedman » . Statistiques non paramétriques appliquées (2e éd.). Boston : PWS-Kent. p. 262–74. ISBN 978-0-534-91976-4.
• Kendall, MG (1970). Méthodes de corrélation de rang (4e éd.). Londres : Charles Griffin. ISBN 978-0-85264-199-6.
• Hollander, M. ; Wolfe, DA (1973). Statistiques non paramétriques . New York : J. Wiley. ISBN 978-0-471-40635-8.
• Siegel, Sidney ; Castellan, N. John Jr. (1988). Statistiques non paramétriques pour les sciences du comportement (2e éd.). New York : McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-100326-1.