Équations de Friedmann - Friedmann equations

Les équations de Friedmann sont un ensemble d' équations en cosmologie physique qui régissent l' expansion de l'espace dans des modèles homogènes et isotropes de l'univers dans le contexte de la relativité générale . Ils ont été dérivés pour la première fois par Alexander Friedmann en 1922 à partir des équations de champ de gravitation d' Einstein pour la métrique Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker et un fluide parfait avec une densité de masse et une pression données . Les équations pour la courbure spatiale négative ont été données par Friedmann en 1924.

Hypothèses

Les équations de Friedmann partent de l'hypothèse simplificatrice que l'univers est spatialement homogène et isotrope , c'est-à-dire le principe cosmologique ; empiriquement, cela se justifie à des échelles supérieures à ~100 Mpc . Le principe cosmologique implique que la métrique de l'univers doit être de la forme

où est une métrique tridimensionnelle qui doit être l'un de (a) un espace plat, (b) une sphère de courbure positive constante ou (c) un espace hyperbolique avec une courbure négative constante. Cette métrique est appelée métrique de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker (FLRW). Le paramètre discuté ci-dessous prend la valeur 0, 1, -1, ou la courbure de Gauss , dans ces trois cas respectivement. C'est ce fait qui nous permet de parler raisonnablement de « facteur d'échelle » .

Les équations d'Einstein relient maintenant l'évolution de ce facteur d'échelle à la pression et à l'énergie de la matière dans l'univers. A partir de la métrique FLRW nous calculons les symboles de Christoffel , puis le tenseur de Ricci . Avec le tenseur contrainte-énergie pour un fluide parfait, nous les substituons dans les équations de champ d'Einstein et les équations résultantes sont décrites ci-dessous.

Équations

Il existe deux équations de Friedmann indépendantes pour modéliser un univers homogène et isotrope. Le premier est :

qui est dérivé de la composante 00 des équations de champ d' Einstein . La seconde est :

qui est dérivé de la première avec la trace des équations de champ d'Einstein (la dimension des deux équations est le temps -2 ).

est le facteur d'échelle , G , et c sont des constantes universelles ( G est la constante gravitationnelle de Newton , Λ est la constante cosmologique (sa dimension est la longueur −2 ) et c est la vitesse de la lumière dans le vide ). ρ et p sont respectivement la densité de masse volumique (et non la densité d'énergie volumétrique) et la pression. k est constant tout au long d'une solution particulière, mais peut varier d'une solution à l'autre.

Dans les équations précédentes, , et p sont des fonctions du temps. est la courbure spatiale dans n'importe quelle tranche de temps de l'univers ; il est égal à un sixième du scalaire de courbure spatiale de Ricci R puisque

dans le modèle de Friedmann. est le paramètre de Hubble .

Nous voyons que dans les équations de Friedmann, a(t) ne dépend pas du système de coordonnées que nous avons choisi pour les tranches spatiales. Il existe deux choix couramment utilisés pour et k qui décrivent la même physique :

  • k = +1, 0 ou −1 selon que la forme de l'univers est une 3-sphère fermée , plate (ie espace euclidien ) ou un 3- hyperboloïde ouvert , respectivement. Si k = +1, alors est le rayon de courbure de l'univers. Si k = 0, alors peut être fixé à n'importe quel nombre positif arbitraire à un moment donné. Si k = -1, alors (en gros) on peut dire que c'est le rayon de courbure de l'univers.
  • est le facteur d'échelle qui est pris égal à 1 à l'heure actuelle. est la courbure spatiale quand (c'est-à-dire aujourd'hui). Si la forme de l'univers est hypersphérique et est le rayon de courbure ( de nos jours), alors . Si est positif, alors l'univers est hypersphérique. Si est zéro, alors l'univers est plat . Si est négatif, alors l'univers est hyperbolique .

En utilisant la première équation, la deuxième équation peut être réexprimée comme

qui élimine et exprime la conservation de la masse-énergie

Ces équations sont parfois simplifiées en remplaçant

pour donner:

La forme simplifiée de la deuxième équation est invariante sous cette transformation.

Le paramètre de Hubble peut changer dans le temps si d'autres parties de l'équation dépendent du temps (en particulier la densité de masse, l'énergie du vide ou la courbure spatiale). L'évaluation du paramètre de Hubble à l'heure actuelle donne la constante de Hubble qui est la constante de proportionnalité de la loi de Hubble . Appliquées à un fluide avec une équation d'état donnée , les équations de Friedmann donnent l'évolution temporelle et la géométrie de l'univers en fonction de la densité du fluide.

Certains cosmologistes appellent la seconde de ces deux équations l'équation d' accélération de Friedmann et réservent le terme équation de Friedmann uniquement à la première équation.

Paramètre de densité

Le paramètre de densité est défini comme le rapport de la densité réelle (ou observée) à la densité critique de l'univers de Friedmann. La relation entre la densité réelle et la densité critique détermine la géométrie globale de l'univers ; lorsqu'elles sont égales, la géométrie de l'univers est plate (euclidienne). Dans les modèles antérieurs, qui n'incluaient pas de terme de constante cosmologique , la densité critique était initialement définie comme le point de partage des eaux entre un univers en expansion et un univers en contraction.

À ce jour, la densité critique est estimée à environ cinq atomes (d' hydrogène monoatomique ) par mètre cube, alors que la densité moyenne de la matière ordinaire dans l'Univers serait de 0,2 à 0,25 atome par mètre cube.

Distribution relative estimée pour les composantes de la densité énergétique de l'univers. L'énergie noire domine l'énergie totale (74 %) tandis que la matière noire (22 %) constitue la majeure partie de la masse. De la matière baryonique restante (4 %), seul un dixième est compact. En février 2015, l'équipe de recherche dirigée par l'Europe à l'origine de la sonde cosmologique Planck a publié de nouvelles données affinant ces valeurs à 4,9 % de matière ordinaire, 25,9 % de matière noire et 69,1 % d'énergie noire.

Une densité beaucoup plus grande provient de la matière noire non identifiée ; la matière ordinaire et la matière noire contribuent à la contraction de l'univers. Cependant, la plus grande partie provient de ce qu'on appelle l'énergie noire , ce qui explique le terme constant cosmologique. Bien que la densité totale soit égale à la densité critique (exactement, jusqu'à l'erreur de mesure), l'énergie noire ne conduit pas à la contraction de l'univers mais peut plutôt accélérer son expansion. Par conséquent, l'univers s'étendra probablement pour toujours.

Une expression de la densité critique est trouvée en supposant que Λ est nul (comme c'est le cas pour tous les univers de Friedmann de base) et en fixant la courbure spatiale normalisée, k , égale à zéro. Lorsque les substitutions sont appliquées à la première des équations de Friedmann, nous trouvons :

(où h = H o / (100 km / s / Mpc). Pour H o = 67,4 km / s / Mpc, soit h = 0,674, ρ c = 8,5 x 10 -27 kg / m 3 )

Le paramètre de densité (utile pour comparer différents modèles cosmologiques) est alors défini comme :

Ce terme a été utilisé à l'origine comme un moyen de déterminer la géométrie spatiale de l'univers, où est la densité critique pour laquelle la géométrie spatiale est plate (ou euclidienne). En supposant une densité d'énergie du vide nulle, si elle est supérieure à l'unité, les sections spatiales de l'univers sont fermées ; l'univers finira par cesser de s'étendre, puis s'effondrera. Si est inférieur à l'unité, ils sont ouverts ; et l'univers s'étend à jamais. Cependant, on peut également subsumer les termes de courbure spatiale et d'énergie du vide dans une expression plus générale, auquel cas ce paramètre de densité est égal exactement à l'unité. Il s'agit ensuite de mesurer les différents composants, généralement désignés par des indices. Selon le modèle ΛCDM , il existe des composantes importantes dues aux baryons , à la matière noire froide et à l'énergie noire . La géométrie spatiale de l' univers a été mesurée par le vaisseau spatial WMAP comme étant presque plate. Cela signifie que l'univers peut être bien approximé par un modèle où le paramètre de courbure spatiale est nul ; cependant, cela n'implique pas nécessairement que l'univers est infini : il se peut simplement que l'univers soit beaucoup plus grand que la partie que nous voyons. (De même, le fait que la Terre soit approximativement plate à l'échelle des Pays - Bas n'implique pas que la Terre soit plate : cela implique seulement qu'elle est beaucoup plus grande que les Pays-Bas.)

La première équation de Friedmann est souvent vue en termes de valeurs actuelles des paramètres de densité, c'est-à-dire

Voici la densité de rayonnement aujourd'hui (c'est-à-dire quand ), est la densité de matière ( noire plus baryonique ) aujourd'hui, est la "densité de courbure spatiale" aujourd'hui, et est la constante cosmologique ou la densité du vide aujourd'hui.

Solutions utiles

Les équations de Friedmann peuvent être résolues exactement en présence d'un fluide parfait avec équation d'état

où est la pression , est la masse volumique du fluide dans le cadre mobile et est une constante.

Dans le cas spatialement plat ( k  = 0), la solution pour le facteur d'échelle est

où est une constante d'intégration à fixer par le choix des conditions initiales. Cette famille de solutions étiquetées par est extrêmement importante pour la cosmologie. Par exemple, décrit un univers dominé par la matière , où la pression est négligeable par rapport à la densité de masse. A partir de la solution générique, on voit facilement que dans un univers dominé par la matière, le facteur d'échelle va comme

dominé par la matière

Un autre exemple important est le cas d'un univers dominé par le rayonnement , c'est-à-dire lorsque . Cela mène à

rayonnement dominé

Notez que cette solution n'est pas valable pour la domination de la constante cosmologique, qui correspond à un . Dans ce cas, la densité d'énergie est constante et le facteur d'échelle croît de façon exponentielle.

Des solutions pour d'autres valeurs de k peuvent être trouvées chez Tersic, Balsa. "Notes de cours sur l'astrophysique" (PDF) . Consulté le 20 juillet 2011 ..

Mélanges

Si la matière est un mélange de deux ou plusieurs fluides sans interaction chacun avec une telle équation d'état, alors

tient séparément pour chacun de ces fluides f . Dans chaque cas,

d'où l'on tire

Par exemple, on peut former une combinaison linéaire de tels termes

où : A est la densité de la « poussière » (matière ordinaire, w  = 0) quand  = 1 ; B est la densité de rayonnement ( w  = 1/3) lorsque  = 1; et C est la densité de "l'énergie noire" ( w =−1). On substitue alors ceci dans

et résout en fonction du temps.

Dérivation détaillée

Pour rendre les solutions plus explicites, nous pouvons dériver les relations complètes de la première équation de Friedman :

avec

Réorganisation et modification pour utiliser les variables et pour l'intégration

Des solutions pour la dépendance du facteur d'échelle par rapport au temps pour les univers dominés par chaque composante peuvent être trouvées. Dans chacun, nous avons également supposé que , ce qui revient à supposer que la source dominante de densité d'énergie est .

Pour les univers dominés par la matière, où et , ainsi que .

qui récupère ce qui précède

Pour les univers dominés par le rayonnement, où et , ainsi que

Pour les univers dominés, où et , ainsi que , et où nous allons maintenant changer nos limites d'intégration de à et de même à .

La solution de l'univers dominé est particulièrement intéressante car la dérivée seconde par rapport au temps est positive, non nulle ; en d'autres termes impliquant une expansion accélérée de l'univers, faisant un candidat à l'énergie noire :

Où par construction , nos hypothèses étaient , et ont été mesurées comme étant positives, forçant l'accélération à être supérieure à zéro.

Équation de Friedmann redimensionnée

Définissez , où et sont séparément le facteur d'échelle et le paramètre Hubble aujourd'hui. On peut alors avoir

où . Pour toute forme de potentiel effectif , il existe une équation d'état qui la produira.

Voir également

Remarques

Lectures complémentaires