Orbite gelée - Frozen orbit

En mécanique orbitale , une orbite gelée est une orbite pour un satellite artificiel dans laquelle la dérive naturelle due à la forme du corps central a été minimisée par une sélection minutieuse des paramètres orbitaux . Typiquement, il s'agit d'une orbite sur laquelle, sur une longue période de temps, l' altitude du satellite reste constante au même point de chaque orbite. Les changements d' inclinaison , de position du point le plus bas de l'orbite et d' excentricité ont été minimisés en choisissant des valeurs initiales de sorte que leurs perturbations s'annulent. Il en résulte une orbite stable à long terme qui minimise l'utilisation d' ergols de maintien en position .

Contexte et motivation

Pour la plupart des engins spatiaux, les changements d'orbite sont causés par l' aplatissement de la Terre , l'attraction gravitationnelle du soleil et de la lune, la pression du rayonnement solaire et la traînée d'air . On les appelle "forces perturbatrices". Ils doivent être contrecarrés par des manœuvres pour maintenir l'engin spatial sur l'orbite souhaitée. Pour un engin spatial géostationnaire , des manœuvres de correction de l'ordre de 40 à 50 m/s par an sont nécessaires pour contrer les forces gravitationnelles du soleil et de la lune qui éloignent le plan orbital du plan équatorial de la Terre.

Pour les engins héliosynchrones , le déplacement intentionnel du plan de l'orbite (appelé « précession ») peut être utilisé au profit de la mission. Pour ces missions, une orbite quasi circulaire avec une altitude de 600 à 900 km est utilisée. Une inclinaison appropriée (97,8-99,0 degrés) est choisie pour que la précession du plan orbital soit égale au taux de mouvement de la Terre autour du soleil, environ 1 degré par jour.

En conséquence, le vaisseau spatial passera sur des points de la Terre qui ont la même heure de la journée sur chaque orbite. Par exemple, si l'orbite est « carrée au soleil », le véhicule passera toujours au-dessus des points auxquels il est 6 heures du matin sur la partie nord et 18 heures sur la partie sud (ou vice versa). C'est ce qu'on appelle une orbite "Aube-Crépuscule". Alternativement, si le soleil se trouve dans le plan orbital, le véhicule passera toujours au-dessus des endroits où il est midi sur le segment nord et des endroits où il est minuit sur le segment sud (ou vice versa). Celles-ci sont appelées orbites « midi-minuit ». De telles orbites sont souhaitables pour de nombreuses missions d'observation de la Terre telles que la météo, l'imagerie et la cartographie.

La force perturbatrice causée par l'aplatissement de la Terre perturbera en général non seulement le plan orbital mais aussi le vecteur d'excentricité de l'orbite. Il existe cependant une orbite quasi circulaire pour laquelle il n'y a pas de perturbations périodiques séculaires/longues du vecteur d'excentricité, seulement des perturbations périodiques de période égale à la période orbitale. Une telle orbite est alors parfaitement périodique (à l'exception de la précession du plan orbital) et elle est donc appelée "orbite gelée". Une telle orbite est souvent le choix préféré pour une mission d'observation de la Terre où des observations répétées de la même zone de la Terre devraient être faites dans des conditions d'observation aussi constantes que possible.

Les satellites d'observation de la Terre ERS-1, ERS-2 et Envisat sont exploités sur des orbites gelées héliosynchrones.

Orbites gelées lunaires

Grâce à une étude de nombreux satellites en orbite lunaire , les scientifiques ont découvert que la plupart des orbites lunaires basses (LLO) sont instables. Quatre orbites lunaires gelées ont été identifiées à 27°, 50°, 76° et 86° d'inclinaison. La NASA a expliqué cela en 2006 :

Les mascons lunaires rendent instables la plupart des orbites lunaires basses... Lorsqu'un satellite passe à 50 ou 60 milles au-dessus de sa tête, les mascons le tirent vers l'avant, l'arrière, la gauche, la droite ou le bas, la direction exacte et l'amplitude du tiraillement dépendent de la trajectoire du satellite. En l'absence de poussées périodiques des fusées embarquées pour corriger l'orbite, la plupart des satellites lâchés sur des orbites lunaires basses (moins d'environ 60 miles ou 100 km) finiront par s'écraser sur la Lune. ... [Il existe] un certain nombre d'"orbites gelées" où un vaisseau spatial peut rester indéfiniment sur une orbite lunaire basse. Ils se produisent à quatre inclinaisons : 27°, 50°, 76° et 86°", la dernière étant presque au-dessus des pôles lunaires. L'orbite du sous-satellite PFS-1 d' Apollo 15 à durée de vie relativement longue avait une inclinaison de 28° , qui s'est avéré être proche de l'inclinaison de l'une des orbites gelées, mais PFS-2, moins chanceux, avait une inclinaison orbitale de seulement 11°.

Théorie classique

La théorie classique des orbites gelées repose essentiellement sur l'analyse analytique des perturbations pour les satellites artificiels de Dirk Brouwer réalisée sous contrat avec la NASA et publiée en 1959.

Cette analyse peut être effectuée de la manière suivante :

Dans l'article Analyse des perturbations orbitales, la perturbation séculaire du pôle orbital à partir du terme du modèle géopotentiel est montrée comme étant ${\displaystyle \Delta {\hat {z}}\,}$${\style d'affichage J_{2}\,}$

${\displaystyle \Delta {\hat {z}}\ =\ -2\pi \ {\frac {J_{2}}{\mu \ p^{2}}}\ {\frac {3}{2} }\ \cos i\ \sin i\quad {\hat {g}}}$

( 1 )

qui peut être exprimé en termes d'éléments orbitaux ainsi :

${\displaystyle \Delta i\ =\ 0}$

( 2 )

${\displaystyle \Delta \Omega \ =\ -2\pi \ {\frac {J_{2}}{\mu \ p^{2}}}\ {\frac {3}{2}}\ \cos i }$

( 3 )

En faisant une analyse similaire pour le terme (correspondant au fait que la terre est légèrement en forme de poire ), on obtient ${\style d'affichage J_{3}\,}$

${\displaystyle \Delta {\hat {z}}\ =\ 2\pi \ {\frac {J_{3}}{\mu \ p^{3}}}\ {\frac {3}{2}} \ \cos i\ \left(\ e_{h}\ \left(1-{\frac {15}{4}}\ \sin ^{2}i\right)\ {\hat {g}}\ - \ e_{g}\ \left(1-{\frac {5}{4}}\ \sin ^{2}i\right)\ {\hat {h}}\right)}$

( 4 )

qui peut être exprimé en termes d'éléments orbitaux comme

${\displaystyle \Delta i\ =\ -2\pi \ {\frac {J_{3}}{\mu \ p^{3}}}\ {\frac {3}{2}}\ \cos i\ e_{g}\ \left(1-{\frac {5}{4}}\ \sin ^{2}i\right)}$

( 5 )

${\displaystyle \Delta \Omega \ =\ 2\pi \ {\frac {J_{3}}{\mu \ p^{3}}}\ {\frac {3}{2}}\ {\frac { \cos i}{\sin i}}\ \ e_{h}\ \left(1-{\frac {15}{4}}\ \sin ^{2}i\right)}$

( 6 )

Dans le même article, la perturbation séculaire des composantes du vecteur d'excentricité causée par le est : ${\style d'affichage J_{2}\,}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\left(\Delta e_{g},\Delta e_{h}\right)\ =\ &-2\pi \ {\frac {J_{2}}{\mu \ p^{2}}}\ {\frac {3}{2}}\left({\frac {3}{2}}\ \sin ^{2}i\ -\ 1\right)\ (-e_ {h},e_{g})\ +\ 2\pi \ {\frac {J_{2}}{\mu \ p^{2}}}\ {\frac {3}{2}}\ \cos ^{2}i\gauche(-e_{h},e_{g}\right)\ =\\&-2\pi \ {\frac {J_{2}}{\mu \ p^{2}} }\ 3\left({\frac {5}{4}}\ \sin ^{2}i\ -\ 1\right)\ \left(-e_{h},e_{g}\right)\end {aligné}}}$

( 7 )

où:

• Le premier terme est la perturbation dans le plan du vecteur d'excentricité causée par la composante dans le plan de la force perturbatrice
• Le second terme est l'effet de la nouvelle position du nœud ascendant dans le nouveau plan orbital, le plan orbital étant perturbé par la composante de force hors plan

Faire l'analyse pour le terme que l'on obtient pour le premier terme, c'est-à-dire pour la perturbation du vecteur d'excentricité à partir de la composante de force dans le plan ${\style d'affichage J_{3}\,}$

${\displaystyle 2\pi \ {\frac {J_{3}}{\mu \ p^{3}}}\ {\frac {3}{2}}\ \sin i\ \left({\frac { 5}{4}}\ \sin ^{2}i\ -\ 1\right)\left(\left(1-{e_{g}}^{2}+4\ {e_{h}}^{ 2}\right)\ {\hat {g}}\ -\ 5\ e_{g}\ e_{h}\ {\hat {h}}\right)}$

( 8 )

Pour les inclinaisons comprises entre 97,8 et 99,0 degrés, la valeur donnée par ( 6 ) est beaucoup plus petite que la valeur donnée par ( 3 ) et peut être ignorée. De même, les termes quadratiques des composantes du vecteur d'excentricité dans ( 8 ) peuvent être ignorés pour les orbites presque circulaires, c'est-à-dire que ( 8 ) peut être approché avec ${\displaystyle \Delta \Omega \,}$

${\displaystyle 2\pi \ {\frac {J_{3}}{\mu \ p^{3}}}\ {\frac {3}{2}}\ \sin i\ \left({\frac { 5}{4}}\ \sin ^{2}i\ -\ 1\right)\ {\hat {g}}}$

( 9 )

Ajout de la contribution ${\style d'affichage J_{3}\,}$${\displaystyle 2\pi \ {\frac {J_{3}}{\mu \ p^{3}}}\ {\frac {3}{2}}\ \sin i\ \left({\frac { 5}{4}}\ \sin ^{2}i\ -\ 1\right)\ (1,\ 0)}$

à ( 7 ) on obtient

${\displaystyle \left(\Delta e_{g},\Delta e_{h}\right)\ =\ -2\pi \ {\frac {J_{2}}{\mu \ p^{2}}} \ 3\left({\frac {5}{4}}\ \sin ^{2}i\ -\ 1\right)\ \left(-\left(e_{h}+{\frac {J_{3 }\ \sin i}{J_{2}\ 2\ p}}\right),\ e_{g}\right)}$

( 10 )

Or l'équation aux différences montre que le vecteur d'excentricité décrira un cercle centré en ce point ; l'argument polaire du vecteur d'excentricité augmente avec les radians entre les orbites consécutives. ${\displaystyle \left(\ 0,\ ​​-{\frac {J_{3}\ \sin i}{J_{2}\ 2\ p}}\ \right)\,}$${\displaystyle -2\pi \ {\frac {J_{2}}{\mu \ p^{2}}}\ 3\left({\frac {5}{4}}\ \sin ^{2} i\ -\ 1\droit)\,}$

Comme

${\displaystyle \mu =39860.440{\text{ km}}^{3}/s^{2}\,}$

${\displaystyle J_{2}=1.7555\ 10^{10}{\text{ km}}^{5}/s^{2}\,}$

${\displaystyle J_{3}=-2.619\ 10^{11}{\text{ km}}^{6}/s^{2}\,}$

on obtient pour une orbite polaire ( ) avec laquelle le centre du cercle est à et le changement d'argument polaire est de 0,00400 radians par orbite. ${\displaystyle i=90^{\circ }\,}$${\displaystyle p=7200{\text{ km}}\,}$${\style d'affichage (0,\ 0,001036)\,}$

Ce dernier chiffre signifie que le vecteur d'excentricité aura décrit un cercle complet en 1569 orbites. Le choix du vecteur d'excentricité moyen initial comme vecteur d' excentricité moyen restera constant pour les orbites successives, c'est-à-dire que l'orbite est figée car les perturbations séculaires du terme donné par ( 7 ) et du terme donné par ( 9 ) s'annulent. ${\style d'affichage (0,\ 0,001036)\,}$${\style d'affichage J_{2}\,}$${\style d'affichage J_{3}\,}$

En termes d'éléments orbitaux classiques, cela signifie qu'une orbite gelée devrait avoir les éléments moyens suivants :

${\displaystyle e=-{\frac {J_{3}\ \sin i}{J_{2}\ 2\ p}}\,}$

${\displaystyle \omega =\ 90^{\circ }\,}$

Théorie moderne

La théorie moderne des orbites gelées est basée sur l'algorithme donné dans un article de 1989 de Mats Rosengren.

Pour cela, l'expression analytique ( 7 ) est utilisée pour mettre à jour itérativement le vecteur d'excentricité (moyenne) initial pour obtenir que le vecteur d'excentricité (moyenne) plusieurs orbites plus tard calculé par la propagation numérique précise prenne exactement la même valeur. De cette façon, la perturbation séculaire du vecteur d'excentricité causée par le terme est utilisée pour contrer toutes les perturbations séculaires, pas seulement celles (dominantes) causées par le terme. Une telle perturbation séculaire supplémentaire qui peut ainsi être compensée est celle causée par la pression de rayonnement solaire , cette perturbation est discutée dans l'article " Analyse des perturbations orbitales (engin spatial) ". ${\style d'affichage J_{2}\,}$${\style d'affichage J_{3}\,}$

En appliquant cet algorithme pour le cas discuté ci-dessus, c'est-à-dire une orbite polaire ( ) en ignorant toutes les forces perturbatrices autres que le et les forces pour la propagation numérique, on obtient exactement le même vecteur d'excentricité moyen optimal qu'avec la "théorie classique", c'est-à-dire . ${\displaystyle i=90^{\circ }\,}$${\displaystyle p=7200{\text{ km}}\,}$${\style d'affichage J_{2}\,}$${\style d'affichage J_{3}\,}$${\style d'affichage (0,\ 0,001036)\,}$

Lorsque nous incluons également les forces dues aux termes zonaux plus élevés, la valeur optimale passe à . ${\style d'affichage (0,\ 0,001285)\,}$

En supposant en plus une pression solaire raisonnable (une "surface transversale" de 0,05 m ² /kg , la direction vers le soleil dans la direction vers le nœud ascendant) la valeur optimale pour le vecteur d'excentricité moyenne devient qui correspond à : , à savoir la valeur optimale est pas plus. ${\style d'affichage (0,000069,\ 0,001285)\,}$${\displaystyle \omega =\ 87^{\circ }\,}$ ${\displaystyle \omega =\ 90^{\circ }}$

Cet algorithme est implémenté dans le logiciel de contrôle d'orbite utilisé pour les satellites d'observation de la Terre ERS-1, ERS-2 et Envisat

Dérivation des expressions de forme fermée pour la perturbation J ₃

La principale force perturbatrice à contrer pour avoir une orbite gelée est la « force », c'est-à-dire la force gravitationnelle provoquée par une symétrie imparfaite nord/sud de la Terre, et la « théorie classique » est basée sur l'expression de forme fermée pour cette " perturbation". Avec la "théorie moderne", cette expression explicite de forme fermée n'est pas directement utilisée mais cela vaut certainement la peine de la dériver. ${\style d'affichage J_{3}\,}$${\style d'affichage J_{3}\,}$

La dérivation de cette expression peut se faire comme suit :

Le potentiel d'un terme zonal est à symétrie de rotation autour de l'axe polaire de la Terre et la force correspondante est entièrement dans un plan longitudinal avec une composante dans la direction radiale et une composante avec le vecteur unitaire orthogonal à la direction radiale vers le nord. Ces directions et sont illustrés à la figure 1. ${\displaystyle F_{r}\ {\hat {r}}\,}$${\displaystyle F_{\lambda }\ {\hat {\lambda }}\,}$${\displaystyle {\hat {\lambda }}\,}$${\displaystyle {\hat {r}}\,}$${\displaystyle {\hat {\lambda }}\,}$

Dans l'article Modèle géopotentiel, il est montré que ces composantes de force causées par le terme sont ${\style d'affichage J_{3}\,}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&F_{r}=J_{3}\ {\frac {1}{r^{5}}}\ 2\ \sin \lambda \ \left(5\sin ^{2 }\lambda \ -\ 3\right)\\&F_{\lambda }=-J_{3}\ {\frac {1}{r^{5}}}\ {\frac {3}{2}}\ \cos \lambda \ \left(5\ \sin ^{2}\lambda \ -1\right)\end{aligned}}}$

( 11 )

Pour pouvoir appliquer les relations dérivées dans l'article Analyse de perturbation orbitale (engin spatial), la composante de force doit être divisée en deux composantes orthogonales et comme illustré dans la figure 2 ${\displaystyle F_{\lambda }\ {\hat {\lambda }}\,}$${\displaystyle F_{t}\ {\hat {t}}}$${\displaystyle F_{z}\ {\hat {z}}}$

Laisser constituer un système de coordonnées rectangulaire ayant son origine au centre de la Terre (dans le centre de l' ellipsoïde de référence ) de telle sorte que des points dans la direction du nord et de telle sorte que se trouvent dans le plan équatorial de la Terre avec pointant vers le noeud ascendant , à savoir vers le point bleu de la figure 2. ${\displaystyle {\hat {a}},\ {\hat {b}},\ {\hat {n}}\,}$${\displaystyle {\hat {n}}\,}$${\displaystyle {\hat {a}},\ {\hat {b}}\,}$${\displaystyle {\hat {a}}\,}$

Les composantes des vecteurs unitaires

${\displaystyle {\hat {r}},\ {\hat {t}},\ {\hat {z}}\,}$

constituant le repère local (dont sont illustrés figure 2), et exprimant leur relation avec , sont les suivants : ${\displaystyle {\hat {t}},\ {\hat {z}},}$${\displaystyle {\hat {a}},\ {\hat {b}},\ {\hat {n}}\,}$

${\displaystyle r_{a}=\cos u\,}$

${\displaystyle r_{b}=\cos i\ \sin u\,}$

${\displaystyle r_{n}=\sin i\ \sin u\,}$

${\displaystyle t_{a}=-\sin u\,}$

${\displaystyle t_{b}=\cos i\ \cos u\,}$

${\displaystyle t_{n}=\sin i\ \cos u\,}$

${\style d'affichage z_{a}=0\,}$

${\displaystyle z_{b}=-\sin i\,}$

${\displaystyle z_{n}=\cos i\,}$

où est l'argument polaire des vecteurs unitaires orthogonaux relatifs et dans le plan orbital ${\style d'affichage u\,}$${\displaystyle {\hat {r}}\,}$${\displaystyle {\hat {g}}={\hat {a}}\,}$${\displaystyle {\hat {h}}=\cos i\ {\hat {b}}\ +\ \sin i\ {\hat {n}}\,}$

d'abord

${\displaystyle \sin \lambda =\ r_{n}\ =\ \sin i\ \sin u\,}$

où est l'angle entre le plan de l'équateur et (entre les points verts de la figure 2) et d'après l'équation (12) de l'article Modèle géopotentiel on obtient donc ${\style d'affichage \lambda \,}$${\displaystyle {\hat {r}}\,}$

${\displaystyle F_{r}=J_{3}\ {\frac {1}{r^{5}}}\ 2\ \sin i\ \sin u\,\ \left(5\sin ^{2} i\ \sin ^{2}u\ -\ 3\right)}$

( 12 )

Deuxièmement, la projection de la direction nord, , sur le plan parcouru par est ${\displaystyle {\hat {n}}\,}$${\displaystyle {\hat {t}},\ {\hat {z}},}$

${\displaystyle \sin i\ \cos u\ {\hat {t}}\ +\ \cos i\ {\hat {z}}\,}$

et cette projection est

${\displaystyle \cos \lambda \ {\hat {\lambda }}\,}$

où est le vecteur unitaire orthogonal à la direction radiale vers le nord illustrée à la figure 1. ${\displaystyle {\hat {\lambda }}\,}$${\displaystyle {\hat {\lambda }}}$

De l' équation ( 11 ) nous voyons que

${\displaystyle F_{\lambda }\ {\hat {\lambda }}\ =-J_{3}\ {\frac {1}{r^{5}}}\ {\frac {3}{2}} \ \left(5\ \sin ^{2}\lambda \ -1\right)\ \cos \lambda \ {\hat {\lambda }}\ =\ -J_{3}\ {\frac {1}{ r^{5}}}\ {\frac {3}{2}}\ \left(5\ \sin ^{2}\lambda \ -1\right)\ (\sin i\ \cos u\ {\ chapeau {t}}\ +\ \cos i\ {\ chapeau {z}})\,}$

et donc:

${\displaystyle F_{t}=\ -J_{3}\ {\frac {1}{r^{5}}}\ {\frac {3}{2}}\ \left(5\ \sin ^{ 2}i\ \sin ^{2}u\ -1\right)\ \sin i\ \cos u}$

( 13 )

${\displaystyle F_{z}=\ -J_{3}\ {\frac {1}{r^{5}}}\ {\frac {3}{2}}\ \left(5\ \sin ^{ 2}i\ \sin ^{2}u\ -1\right)\ \cos i}$

( 14 )

Dans l'article Analyse de perturbation orbitale (engin spatial), il est en outre montré que la perturbation séculaire du pôle orbital est ${\displaystyle {\hat {z}}\,}$

${\displaystyle \Delta {\hat {z}}\ =\ {\frac {1}{\mu p}}\left[{\hat {g}}\int \limits _{0}^{2\pi }F_{z}r^{3}\cos u\ du+\ {\hat {h}}\int \limits _{0}^{2\pi }F_{z}r^{3}\sin u\ du\right]\quad \times \ {\hat {z}}}$

( 15 )

En introduisant l' expression pour de ( 14 ) dans ( 15 ) on obtient ${\style d'affichage F_{z}\,}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&\Delta {\hat {z}}\ =-{\frac {J_{3}}{\mu \ p^{3}}}\ {\frac {3}{ 2}}\ \cos i\ \cdot \\&\left[{\hat {g}}\int \limits _{0}^{2\pi }{\left({\frac {p}{r} }\right)}^{2}\left(5\ \sin ^{2}i\ \sin ^{2}u\ -1\right)\cos u\ du\ +{\hat {h}}\ int \limits _{0}^{2\pi }{\left({\frac {p}{r}}\right)}^{2}\left(5\ \sin ^{2}i\ \sin ^{2}u\ -1\right)\sin u\ ​​du\right]\quad \times \ {\hat {z}}\end{aligned}}}$

( 16 )

La fraction est ${\style d'affichage {\frac {p}{r}}\,}$

${\displaystyle {\frac {p}{r}}\ =\ 1+e\cdot \cos \theta \ =\ 1+e_{g}\cdot \cos u+e_{h}\cdot \sin u}$

où

${\displaystyle e_{g}=\ e\ \cos \omega }$

${\displaystyle e_{h}=\ e\ \sin \omega }$

sont les composantes du vecteur d'excentricité dans le système de coordonnées. ${\displaystyle {\hat {g}},\ {\hat {h}}\,}$

Comme toutes les intégrales de type

${\displaystyle \int \limits _{0}^{2\pi }\cos ^{m}u\ \sin ^{n}u\ du\,}$

sont nuls sinon les deux et sont pairs, on voit que ${\style d'affichage n\,}$${\style d'affichage m\,}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\int \limits _{0}^{2\pi }{\left({\frac {p}{r}}\right)}^{2}\left(5\ \sin ^{2}i\ \sin ^{2}u\ -1\right)\cos u\ du&=\ 2\ e_{g}\ \left(5\ \sin ^{2}i\ \int \limits _{0}^{2\pi }\sin ^{2}u\cos ^{2}u\ du\ -\int \limits _{0}^{2\pi }\cos ^{2} u\ du\right)\\&=\ 2\pi \ e_{g}\ ({\frac {5}{4}}\sin ^{2}i-1)\end{aligned}}}$

( 17 )

et

${\displaystyle {\begin{aligned}\int \limits _{0}^{2\pi }{\left({\frac {p}{r}}\right)}^{2}\left(5\ \sin ^{2}i\ \sin ^{2}u\ -1\right)\sin u\ ​​du&=\ 2\ e_{h}\ \left(5\ \sin ^{2}i\ \int \limits _{0}^{2\pi }\sin ^{4}u\ du\ -\int \limits _{0}^{2\pi }\sin ^{2}u\ du\right)\ \&=\ 2\pi \ e_{h}\ ({\frac {15}{4}}\sin ^{2}i-1)\end{aligned}}}$

( 18 )

Il s'ensuit que

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta {\hat {z}}\ &=\ 2\pi \ {\frac {J_{3}}{\mu \ p^{3}}}\ {\frac {3}{2}}\ \cos i\ \left[e_{g}\ (1-{\frac {5}{4}}\sin ^{2}i)\ {\hat {g}}+ \ e_{h}\ (1-{\frac {15}{4}}\sin ^{2}i)\ {\hat {h}}\right]\quad \times \ {\hat {z}} \\&=\ 2\pi \ {\frac {J_{3}}{\mu \ p^{3}}}\ {\frac {3}{2}}\ \cos i\ \left[\ e_ {h}\ (1-{\frac {15}{4}}\sin ^{2}i)\ {\hat {g}}\ -e_{g}\ (1-{\frac {5}{ 4}}\sin ^{2}i)\ {\hat {h}}\right]\end{aligned}}}$

( 19 )

où

${\displaystyle {\hat {g}}\,}$et sont les vecteurs de base du système de coordonnées rectangulaires dans le plan de l'orbite de référence de Kepler avec dans le plan équatorial vers le nœud ascendant et est l'argument polaire relatif à ce système de coordonnées équatoriales${\displaystyle {\hat {h}}\,}$${\displaystyle {\hat {g}}\,}$${\style d'affichage u\,}$

${\style d'affichage f_{z}\,}$ est la composante de force (par unité de masse) dans la direction du pôle de l'orbite ${\displaystyle {\hat {z}}\,}$

Dans l'article Analyse de perturbation orbitale (engin spatial), il est montré que la perturbation séculaire du vecteur d'excentricité est

${\displaystyle \Delta {\bar {e}}\ ={\frac {1}{\mu }}\ \int \limits _{0}^{2\pi }\left(-{\hat {t} }\ f_{r}\ +\ \left(2\ {\hat {r}}-{\frac {V_{r}}{V_{t}}}\ {\hat {t}}\right)\ f_{t}\right)\ r^{2}\ du}$

( 20 )

où

• ${\displaystyle {\hat {r}},{\hat {t}}\,}$est le système de coordonnées local habituel avec un vecteur unitaire dirigé loin de la Terre${\displaystyle {\hat {r}}\,}$
• ${\displaystyle V_{r}={\sqrt {\frac {\mu }{p}}}\cdot e\cdot \sin \theta }$ - la composante de vitesse dans la direction ${\displaystyle {\hat {r}}\,}$
• ${\displaystyle V_{t}={\sqrt {\frac {\mu }{p}}}\cdot (1+e\cdot \cos \theta )}$ - la composante de vitesse dans la direction ${\displaystyle {\hat {t}}\,}$

En introduisant l' expression pour de ( 12 ) et ( 13 ) dans ( 20 ) on obtient ${\displaystyle F_{r},\ F_{t}\,}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&\Delta {\bar {e}}\ ={\frac {J_{3}}{\mu \ p^{3}}}\ \sin i\ \cdot \\ &\int \limits _{0}^{2\pi }\left(-{\hat {t}}\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{3}\ 2\ \sin u\,\ \left(5\sin ^{2}i\ \sin ^{2}u\ -\ 3\right)\ -\ \left(2\ {\hat {r}}- {\frac {V_{r}}{V_{t}}}\ {\hat {t}}\right)\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{3} \ {\frac {3}{2}}\ \left(5\ \sin ^{2}i\ \sin ^{2}u\ -1\right)\ \cos u\right)du\end{aligned }}}$

( 21 )

En utilisant ça

${\displaystyle {\frac {V_{r}}{V_{t}}}={\frac {e_{g}\cdot \sin u\ ​​-\ e_{h}\cdot \cos u}{\frac { p}{r}}}}$

l'intégrale ci-dessus peut être divisée en 8 termes :

${\displaystyle {\begin{aligned}&\int \limits _{0}^{2\pi }\left(-{\hat {t}}\ {\left({\frac {p}{r}} \right)}^{3}\ 2\ \sin u\,\ \left(5\sin ^{2}i\ \sin ^{2}u\ -\ 3\right)\ -\ \left(2 \ {\hat {r}}-{\frac {V_{r}}{V_{t}}}\ {\hat {t}}\right)\ {\left({\frac {p}{r} }\right)}^{3}\ {\frac {3}{2}}\ \left(5\ \sin ^{2}i\ \sin ^{2}u\ -1\right)\ \cos u\right)\ du\ =\\&-10\sin ^{2}i\ \int \limits _{0}^{2\pi }{\hat {t}}\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{3}\ \sin ^{3}u\ du\\&+6\ \int \limits _{0}^{2\pi }{\hat {t }}\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{3}\ \sin u\ ​​du\\&-15\ \sin ^{2}i\int \limits _{ 0}^{2\pi }{\hat {r}}\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{3}\ \sin ^{2}u\ \cos u \ du\\&+3\ \int \limits _{0}^{2\pi }{\hat {r}}\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{ 3}\ \cos u\ du\\&+{\frac {15}{2}}\sin ^{2}i\ e_{g}\int \limits _{0}^{2\pi }{\ chapeau {t}}\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{2}\ \ \ \sin ^{3}u\ \cos u\ du\\&-{\ frac {15}{2}}\sin ^{2}i\ e_{h}\ \int \limits _{0}^{2\pi }{\hat {t}}\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{2}\ \ \ \sin ^{2} u\ \cos ^{2}u\ du\\&-{\frac {3}{2}}\ e_{g}\ \int \limits _{0}^{2\pi }\ {\hat { t}}\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{2}\ \ \sin u\ ​​\cos u\ du\\&+{\frac {3}{2} }\ e_{h}\ \int \limits _{0}^{2\pi }{\hat {t}}\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{2 }\ \ \cos ^{2}u\ du\end{aligned}}}$

( 22 )

Étant donné que

${\displaystyle {\hat {r}}=\cos u\ {\hat {g}}\ +\ \sin u\ ​​{\hat {h}}}$

${\displaystyle {\hat {t}}=-\sin u\ ​​{\hat {g}}\ +\ \cos u\ {\hat {h}}}$

on obtient

${\displaystyle {\frac {p}{r}}\ =\ 1+e\cdot \cos \theta \ =\ 1+e_{g}\cdot \cos u+e_{h}\cdot \sin u}$

et que toutes les intégrales de type

${\displaystyle \int \limits _{0}^{2\pi }\cos ^{m}u\ \sin ^{n}u\ du\,}$

sont nuls sinon les deux et sont pairs : ${\style d'affichage n\,}$${\style d'affichage m\,}$

Terme 1

${\displaystyle {\begin{aligned}&\int \limits _{0}^{2\pi }{\hat {t}}\ {\left({\frac {p}{r}}\right)} ^{3}\ \sin ^{3}u\ du\ =-{\hat {g}}\ \int \limits _{0}^{2\pi }\ {\left({\frac {p} {r}}\right)}^{3}\ \sin ^{4}u\ du\ +{\hat {h}}\int \limits _{0}^{2\pi }\ {\left( {\frac {p}{r}}\right)}^{3}\ \sin ^{3}u\ \cos u\ du\ =\\&-{\hat {g}}\ \left(\ int \limits _{0}^{2\pi }\ \sin ^{4}u\ du\ +\ 3\ {e_{g}}^{2}\ \int \limits _{0}^{2 \pi }\ \cos ^{2}u\ \sin ^{4}u\ du\ \ +\ 3\ {e_{h}}^{2}\ \int \limits _{0}^{2\ pi }\ \sin ^{6}u\ du\ \right)\\&+{\hat {h}}\ 6\ e_{g}\ e_{h}\ \int \limits _{0}^{ 2\pi }\ \cos ^{2}u\ \sin ^{4}u\ du=\\&-{\hat {g}}\ \left(2\pi \left({\frac {3} {8}}\ +\ {\frac {3}{16}}\ {e_{g}}^{2}\ +\ {\frac {15}{16}}\ {e_{h}}^{ 2}\right)\right)+{\hat {h}}\ \left(2\pi \left({\frac {3}{8}}\ e_{g}\ e_{h}\right)\ à droite)\end{aligné}}}$

( 23 )

Terme 2

${\displaystyle {\begin{aligned}&\int \limits _{0}^{2\pi }{\hat {t}}\ {\left({\frac {p}{r}}\right)} ^{3}\ \sin u\ ​​du\ =-{\hat {g}}\ \int \limits _{0}^{2\pi }\ {\left({\frac {p}{r}} \right)}^{3}\ \sin ^{2}u\ du\ +{\hat {h}}\int \limits _{0}^{2\pi }\ {\left({\frac { p}{r}}\right)}^{3}\ \sin u\ ​​\cos u\ du\ =\\&-{\hat {g}}\ \left(\int \limits _{0}^ {2\pi }\ \sin ^{2}u\ du\ +\ 3\ {e_{g}}^{2}\ \int \limits _{0}^{2\pi }\ \cos ^{ 2}u\ \sin ^{2}u\ du\ \ +\ 3\ {e_{h}}^{2}\ \int \limits _{0}^{2\pi }\ \sin ^{6 }u\ du\ \right)\\&+{\hat {h}}\ 6\ e_{g}\ e_{h}\ \int \limits _{0}^{2\pi }\ \cos ^ {2}u\ \sin ^{2}u\ du=\\&-{\hat {g}}\ \left(2\pi \left({\frac {1}{2}}\ +\ { \frac {3}{8}}\ {e_{g}}^{2}\ +\ {\frac {9}{8}}\ {e_{h}}^{2}\right)\right) +{\hat {h}}\ \left(2\pi \left({\frac {3}{4}}\ e_{g}\ e_{h}\right)\right)\end{aligned}} }$

( 24 )

Terme 3

${\displaystyle {\begin{aligned}&\int \limits _{0}^{2\pi }{\hat {r}}\ {\left({\frac {p}{r}}\right)} ^{3}\ \sin ^{2}u\ \cos u\ du\ ={\hat {g}}\ \int \limits _{0}^{2\pi }\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{3}\ \sin ^{2}u\cos ^{2}u\ du\ +{\hat {h}}\int \limits _{0}^ {2\pi }\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{3}\ \sin ^{3}u\ \cos u\ du\ =\\&{\hat {g}}\ \left(\int \limits _{0}^{2\pi }\ \sin ^{2}u\cos ^{2}u\ du\ +\ 3\ {e_{g}} ^{2}\ \int \limits _{0}^{2\pi }\ \cos ^{4}u\ \sin ^{2}u\ du\ \ +\ 3\ {e_{h}}^ {2}\ \int \limits _{0}^{2\pi }\ \sin ^{4}u\ \cos ^{2}u\ du\ \right)\\&+{\hat {h} }\ 6\ e_{g}\ e_{h}\ \int \limits _{0}^{2\pi }\ \cos ^{2}u\ \sin ^{4}u\ du=\\& {\hat {g}}\ \left(2\pi \left({\frac {1}{8}}\ +\ {\frac {3}{16}}\ {e_{g}}^{2 }\ +\ {\frac {3}{16}}\ {e_{h}}^{2}\right)\right)+{\hat {h}}\ \left(2\pi \left({ \frac {3}{8}}\ e_{g}\ e_{h}\right)\right)\end{aligned}}}$

( 25 )

Terme 4

${\displaystyle {\begin{aligned}&\int \limits _{0}^{2\pi }{\hat {r}}\ {\left({\frac {p}{r}}\right)} ^{3}\ \cos u\ du\ ={\hat {g}}\ \int \limits _{0}^{2\pi }\ {\left({\frac {p}{r}}\ right)}^{3}\ \cos ^{2}u\ du\ +{\hat {h}}\int \limits _{0}^{2\pi }\ {\left({\frac {p }{r}}\right)}^{3}\ \sin u\ ​​\cos u\ du\ =\\&{\hat {g}}\ \left(\int \limits _{0}^{2 \pi }\cos ^{2}u\ du\ +\ 3\ {e_{g}}^{2}\ \int \limits _{0}^{2\pi }\ \cos ^{4}u \ du\ \ +\ 3\ {e_{h}}^{2}\ \int \limits _{0}^{2\pi }\ \sin ^{2}u\ \cos ^{2}u\ du\ \right)\\&+{\hat {h}}\ 6\ e_{g}\ e_{h}\ \int \limits _{0}^{2\pi }\ \cos ^{2} u\ \sin ^{2}u\ du=\\&{\hat {g}}\ \left(2\pi \left({\frac {1}{2}}\ +\ {\frac {9 }{8}}\ {e_{g}}^{2}\ +\ {\frac {3}{8}}\ {e_{h}}^{2}\right)\right)+{\hat {h}}\ \left(2\pi \left({\frac {3}{4}}\ e_{g}\ e_{h}\right)\right)\end{aligned}}}$

( 26 )

Terme 5

${\displaystyle {\begin{aligned}&\int \limits _{0}^{2\pi }{\hat {t}}\ {\left({\frac {p}{r}}\right)} ^{2}\ \sin ^{3}u\ \cos u\ du\ =-{\hat {g}}\ \int \limits _{0}^{2\pi }\ {\left({\ frac {p}{r}}\right)}^{2}\ \sin ^{4}u\ \cos u\ du\ +{\hat {h}}\int \limits _{0}^{2 \pi }\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{2}\ \sin ^{3}u\ \cos ^{2}u\ du\ =\\&- {\hat {g}}\ 2\ e_{g}\ \int \limits _{0}^{2\pi }\ \sin ^{4}u\ \cos ^{2}u\ du+{\hat {h}}\ 2\ e_{h}\ \int \limits _{0}^{2\pi }\ \sin ^{4}u\ \cos ^{2}u\ du=-{\hat { g}}\ \left(2\pi {\frac {1}{8}}\ e_{g}\right)+{\hat {h}}\ \left(2\pi {\frac {1}{ 8}}\ e_{h}\right)\end{aligned}}}$

( 27 )

Terme 6

${\displaystyle {\begin{aligned}&\int \limits _{0}^{2\pi }{\hat {t}}\ {\left({\frac {p}{r}}\right)} ^{2}\ \sin ^{2}u\ \cos ^{2}u\ du\ =-{\hat {g}}\ \int \limits _{0}^{2\pi }\ {\ left({\frac {p}{r}}\right)}^{2}\ \sin ^{3}u\ \cos ^{2}u\ du\ +{\hat {h}}\int \ limites _{0}^{2\pi }\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{2}\ \sin ^{2}u\ \cos ^{3}u \ du\ =\\&-{\hat {g}}\ 2\ e_{h}\ \int \limits _{0}^{2\pi }\ \sin ^{4}u\ \cos ^{ 2}u\ du+{\hat {h}}\ 2\ e_{g}\ \int \limits _{0}^{2\pi }\ \sin ^{2}u\ \cos ^{4}u \ du=-{\hat {g}}\ \left(2\pi {\frac {1}{8}}\ e_{h}\right)+{\hat {h}}\ \left(2\ pi {\frac {1}{8}}\ e_{g}\right)\end{aligned}}}$

( 28 )

Terme 7

${\displaystyle {\begin{aligned}&\int \limits _{0}^{2\pi }{\hat {t}}\ {\left({\frac {p}{r}}\right)} ^{2}\ \sin u\ ​​\cos u\ du\ =-{\hat {g}}\ \int \limits _{0}^{2\pi }\ {\left({\frac {p} {r}}\right)}^{2}\ \sin ^{2}u\ \cos u\ du\ +{\hat {h}}\int \limits _{0}^{2\pi }\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{2}\ \sin u\ ​​\cos ^{2}u\ du\ =\\&-{\hat {g}}\ 2\ e_{g}\ \int \limits _{0}^{2\pi }\ \sin ^{2}u\ \cos ^{2}u\ du+{\hat {h}}\ 2\ e_ {h}\ \int \limits _{0}^{2\pi }\ \sin ^{2}u\ \cos ^{2}u\ du=-{\hat {g}}\ \left(2 \pi {\frac {1}{4}}\ e_{g}\right)+{\hat {h}}\ \left(2\pi {\frac {1}{4}}\ e_{h} \right)\end{aligned}}}$

( 29 )

Terme 8

${\displaystyle {\begin{aligned}&\int \limits _{0}^{2\pi }{\hat {t}}\ {\left({\frac {p}{r}}\right)} ^{2}\ \cos ^{2}u\ du\ =-{\hat {g}}\ \int \limits _{0}^{2\pi }\ {\left({\frac {p} {r}}\right)}^{2}\ \sin u\ ​​\cos ^{2}u\ du\ +{\hat {h}}\int \limits _{0}^{2\pi }\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{2}\ \cos ^{3}u\ du\ =\\&-{\hat {g}}\ 2\ e_{ h}\ \int \limits _{0}^{2\pi }\ \sin ^{2}u\ \cos ^{2}u\ du+{\hat {h}}\ 2\ e_{g}\ \int \limits _{0}^{2\pi }\ \cos ^{4}u\ du=-{\hat {g}}\ \left(2\pi {\frac {1}{4}} \ e_{h}\right)+{\hat {h}}\ \left(2\pi {\frac {3}{4}}\ e_{g}\right)\end{aligned}}}$

( 30 )

Comme

${\displaystyle {\begin{aligned}&-10\sin ^{2}i\ \left(-{\hat {g}}\ \left({\frac {3}{8}}\ +\ {\ frac {3}{16}}\ {e_{g}}^{2}\ +\ {\frac {15}{16}}\ {e_{h}}^{2}\right)+{\hat {h}}\ \left({\frac {3}{8}}\ e_{g}\ e_{h}\right)\right)\\&+6\ \left(-{\hat {g} }\ \left({\frac {1}{2}}\ +\ {\frac {3}{8}}\ {e_{g}}^{2}\ +\ {\frac {9}{8 }}\ {e_{h}}^{2}\right)+{\hat {h}}\ \left({\frac {3}{4}}\ e_{g}\ e_{h}\right )\right)\\&-15\sin ^{2}i\ \left({\hat {g}}\ \left({\frac {1}{8}}\ +\ {\frac {3} {16}}\ {e_{g}}^{2}\ +\ {\frac {3}{16}}\ {e_{h}}^{2}\right)+{\hat {h}} \ \left({\frac {3}{8}}\ e_{g}\ e_{h}\right)\right)\\&+3\left({\hat {g}}\ \left({ \frac {1}{2}}\ +\ {\frac {9}{8}}\ {e_{g}}^{2}\ +\ {\frac {3}{8}}\ {e_{ h}}^{2}\right)+{\hat {h}}\ \left({\frac {3}{4}}\ e_{g}\ e_{h}\right)\right)\\ &+{\frac {15}{2}}\sin ^{2}i\ e_{g}\ \left(-{\hat {g}}\ \left({\frac {1}{8}} \ e_{g}\right)+{\hat {h}}\ \left({\frac {1}{8}}\ e_{h}\right)\right)\\&-{\frac {15 }{2}}\sin ^{2}i\ e_{h}\ \left(-{\hat {g}}\ \left({\frac {1}{8}}\ e_{h}\right ) +{\hat {h}}\ \left({\frac {1}{8}}\ e_{g}\right)\right)\\&-{\frac {3}{2}}\ e_{ g}\ \left(-{\hat {g}}\ \left({\frac {1}{4}}\ e_{g}\right)+{\hat {h}}\ \left({\ frac {1}{4}}\ e_{h}\right)\right)\\&+{\frac {3}{2}}\ e_{h}\ \left(-{\hat {g}} \ \left({\frac {1}{4}}\ e_{h}\right)+{\hat {h}}\ \left({\frac {3}{4}}\ e_{g}\ right)\right)=\\&{\frac {3}{2}}\ \left({\frac {5}{4}}\ \sin ^{2}i\ -\ 1\right)\left ((1-{e_{g}}^{2}\ +\ 4\ {e_{h}}^{2}){\hat {g}}\ -\ 5\ e_{g}\ e_{h }\ {\hat {h}}\right)\end{aligned}}}$

( 31 )

Il s'ensuit que

${\displaystyle {\begin{aligned}&\Delta {\bar {e}}\ ={\frac {J_{3}}{\mu \ p^{3}}}\ \sin i\ \cdot \\ &\int \limits _{0}^{2\pi }\left(-{\hat {t}}\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{3}\ 2\ \sin u\,\ \left(5\sin ^{2}i\ \sin ^{2}u\ -\ 3\right)\ -\ \left(2\ {\hat {r}}- {\frac {V_{r}}{V_{t}}}\ {\hat {t}}\right)\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{3} \ {\frac {3}{2}}\ \left(5\ \sin ^{2}i\ \sin ^{2}u\ -1\right)\ \cos u\right)du=\\&2 \pi \ {\frac {J_{3}}{\mu \ p^{3}}}\ \sin i\ {\frac {3}{2}}\ \left({\frac {5}{4 }}\ \sin ^{2}i\ -\ 1\right)\left((1-{e_{g}}^{2}\ +\ 4\ {e_{h}}^{2}){ \hat {g}}\ -\ 5\ e_{g}\ e_{h}\ {\hat {h}}\right)\end{aligned}}}$

( 32 )

Les références

Lectures complémentaires

• ÉTUDE DES ÉLÉMENTS ORBITAUX AU QUARTIER D'UNE ORBITE GELÉE. y compris la traînée atmosphérique et les termes J ₅