Frustum - Frustum
Ensemble de troncs pyramidaux | |
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Visages | n trapèzes , 2 n -gons |
Bords | 3 n |
Sommets | 2 n |
Groupe Symétrie | C n v , [1, n ], (* nn ) |
Propriétés | convexe |
En géométrie , un frustum (pluriel : frusta ou frustums ) est la partie d'un solide (normalement un cône ou une pyramide ) qui se situe entre un ou deux plans parallèles le coupant. Un tronc de cône droit est une troncature parallèle d'une pyramide droite ou d'un cône droit.
En infographie , le tronc de vision est la région tridimensionnelle qui est visible à l'écran. Il est formé d'une pyramide taillée ; en particulier, le frustum culling est une méthode de détermination de la surface cachée .
Dans l' industrie aérospatiale , un tronc de cône est le carénage entre deux étages d'une fusée à plusieurs étages (comme la Saturn V ), qui a la forme d'un cône tronqué .
Si toutes les arêtes sont obligées d'être identiques , un tronc de cône devient un prisme uniforme .
L'axe d'un tronc est celui du cône ou de la pyramide d'origine. Un tronc de cône est circulaire s'il a des bases circulaires ; il est droit si l'axe est perpendiculaire aux deux bases, et oblique sinon.
La hauteur d'un tronc de cône est la distance perpendiculaire entre les plans des deux bases.
Les cônes et les pyramides peuvent être considérés comme des cas dégénérés de frusta, où l'un des plans de coupe passe par le sommet (de sorte que la base correspondante se réduit à un point). Les troncs pyramidaux sont une sous-classe des prismatoïdes .
Deux frusta réunis à leur base forment un bifrustum .
Formule
Le volume
La formule de volume d'un tronc de pyramide carrée a été introduite par les mathématiques égyptiennes antiques dans ce qu'on appelle le Papyrus mathématique de Moscou , écrit à la 13e dynastie ( vers 1850 av . J.-C. ) :
où a et b sont les longueurs de la base et du côté supérieur de la pyramide tronquée, et h est la hauteur. Les Égyptiens connaissaient la formule correcte pour obtenir le volume d'une pyramide carrée tronquée, mais aucune preuve de cette équation n'est donnée dans le papyrus de Moscou.
Le volume d'un tronc de cône ou pyramidal est le volume du solide avant de trancher l'apex, moins le volume de l'apex :
où B 1 est l'aire d'une base, B 2 est l'aire de l'autre base, et h 1 , h 2 sont les hauteurs perpendiculaires du sommet aux plans des deux bases.
Étant donné que
- ,
la formule du volume peut être exprimée comme un produit de cette proportionnalité α/3 et d'une différence de cubes de hauteurs h 1 et h 2 uniquement.
En factorisant la différence de deux cubes, a 3 − b 3 = (a − b)(a 2 + ab + b 2 ) , on obtient h 1 − h 2 = h , la hauteur du tronc, et α * ( h 1 2 + h 1 h 2 + h 2 2/3) .
La distribution de α et de son remplacement à partir de sa définition, le moyen Heronian des zones B 1 et B 2 est obtenu. La formule alternative est donc
- .
Héron d'Alexandrie est connu pour avoir dérivé cette formule et rencontré avec elle l' unité imaginaire , la racine carrée de moins un.
En particulier, le volume d'un tronc de cône circulaire est
où r 1 , r 2 sont les rayons des deux bases.
Le volume d'un tronc de pyramide dont les bases sont des polygones réguliers à n côtés est
où a 1 et a 2 sont les côtés des deux bases.
Superficie
Pour un tronc conique circulaire droit
et
où r 1 et r 2 sont respectivement les rayons de base et de sommet, et s la hauteur d'inclinaison du tronc de cône.
La surface d'un tronc de cône droit dont les bases sont des polygones réguliers similaires à n côtés est
où a 1 et a 2 sont les côtés des deux bases.
Exemples
- Au dos (le revers) d'un billet d'un dollar américain , un tronc de pyramide apparaît au revers du Grand Sceau des États-Unis , surmonté de l' Eyeil de la Providence .
- Les ziggourats , les pyramides à degrés et certains anciens monticules amérindiens forment également le tronc d'une ou plusieurs pyramides, avec des fonctionnalités supplémentaires telles que des escaliers ajoutés.
- Pyramides chinoises .
- Le John Hancock Center à Chicago , Illinois est un tronc de cône dont les bases sont des rectangles.
- Le Washington Monument est un tronc pyramidal étroit à base carrée surmonté d'une petite pyramide.
- Le tronc de vision en infographie 3D est un champ de vision utilisable d'une caméra virtuelle ou d'une caméra vidéo modélisé comme un tronc de pyramide.
- Dans la traduction anglaise du recueil de nouvelles de Stanislaw Lem , The Cyberiad , le poème Love and tensor algebra affirme que « chaque frustum aspire à être un cône ».
- Les seaux et les abat - jour typiques sont des exemples quotidiens de troncs coniques.
- Les verres à boire et certaines capsules spatiales sont également quelques exemples.
Voir également
Remarques
Les références
Liens externes
- Dérivation de la formule pour le volume des troncs de pyramide et de cône (Mathalino.com)
- Weisstein, Eric W. "Frustum pyramidal" . MathWorld .
- Weisstein, Eric W. "Frustum conique" . MathWorld .
- Maquettes en papier de frustums (pyramides tronquées)
- Maquette en papier de frustum (cône tronqué)
- Concevoir des modèles en papier de tronc de cône (cônes tronqués)