Frustum - Frustum

Ensemble de troncs pyramidaux
Frustum pentagonal.svgUsech kvadrat piramid.png
Exemples : tronc de cône pentagonal et carré
Visages n trapèzes , 2 n -gons
Bords 3 n
Sommets 2 n
Groupe Symétrie C n v , [1, n ], (* nn )
Propriétés convexe

En géométrie , un frustum (pluriel : frusta ou frustums ) est la partie d'un solide (normalement un cône ou une pyramide ) qui se situe entre un ou deux plans parallèles le coupant. Un tronc de cône droit est une troncature parallèle d'une pyramide droite ou d'un cône droit.

En infographie , le tronc de vision est la région tridimensionnelle qui est visible à l'écran. Il est formé d'une pyramide taillée ; en particulier, le frustum culling est une méthode de détermination de la surface cachée .

Dans l' industrie aérospatiale , un tronc de cône est le carénage entre deux étages d'une fusée à plusieurs étages (comme la Saturn V ), qui a la forme d'un cône tronqué .

Si toutes les arêtes sont obligées d'être identiques , un tronc de cône devient un prisme uniforme .

Éléments, cas particuliers et concepts associés

Broche carrée
Un octaèdre régulier peut être augmenté sur 3 faces pour créer un tronc de cône triangulaire

L'axe d'un tronc est celui du cône ou de la pyramide d'origine. Un tronc de cône est circulaire s'il a des bases circulaires ; il est droit si l'axe est perpendiculaire aux deux bases, et oblique sinon.

La hauteur d'un tronc de cône est la distance perpendiculaire entre les plans des deux bases.

Les cônes et les pyramides peuvent être considérés comme des cas dégénérés de frusta, où l'un des plans de coupe passe par le sommet (de sorte que la base correspondante se réduit à un point). Les troncs pyramidaux sont une sous-classe des prismatoïdes .

Deux frusta réunis à leur base forment un bifrustum .

Formule

Le volume

La formule de volume d'un tronc de pyramide carrée a été introduite par les mathématiques égyptiennes antiques dans ce qu'on appelle le Papyrus mathématique de Moscou , écrit à la 13e dynastie ( vers  1850 av . J.-C. ) :

a et b sont les longueurs de la base et du côté supérieur de la pyramide tronquée, et h est la hauteur. Les Égyptiens connaissaient la formule correcte pour obtenir le volume d'une pyramide carrée tronquée, mais aucune preuve de cette équation n'est donnée dans le papyrus de Moscou.

Le volume d'un tronc de cône ou pyramidal est le volume du solide avant de trancher l'apex, moins le volume de l'apex :

B 1 est l'aire d'une base, B 2 est l'aire de l'autre base, et h 1 , h 2 sont les hauteurs perpendiculaires du sommet aux plans des deux bases.

Étant donné que

,

la formule du volume peut être exprimée comme un produit de cette proportionnalité α/3 et d'une différence de cubes de hauteurs h 1 et h 2 uniquement.

En factorisant la différence de deux cubes, a 3 − b 3 = (a − b)(a 2 + ab + b 2 ) , on obtient h 1h 2 = h , la hauteur du tronc, et α * ( h 1 2 + h 1 h 2 + h 2 2/3) .

La distribution de α et de son remplacement à partir de sa définition, le moyen Heronian des zones B 1 et B 2 est obtenu. La formule alternative est donc

.

Héron d'Alexandrie est connu pour avoir dérivé cette formule et rencontré avec elle l' unité imaginaire , la racine carrée de moins un.

En particulier, le volume d'un tronc de cône circulaire est

r 1 , r 2 sont les rayons des deux bases.

tronc de pyramide

Le volume d'un tronc de pyramide dont les bases sont des polygones réguliers à n côtés est

a 1 et a 2 sont les côtés des deux bases.

Superficie

tronc conique
Modèle 3D d'un tronc de cône.

Pour un tronc conique circulaire droit

et

r 1 et r 2 sont respectivement les rayons de base et de sommet, et s la hauteur d'inclinaison du tronc de cône.

La surface d'un tronc de cône droit dont les bases sont des polygones réguliers similaires à n côtés est

a 1 et a 2 sont les côtés des deux bases.

Exemples

Les chocolats de marque Rolo se rapprochent d'un tronc conique circulaire droit, bien que pas plat sur le dessus.

Voir également

Remarques

Les références

Liens externes