Théorème fondamental de la géométrie riemannienne - Fundamental theorem of Riemannian geometry

Dans la géométrie riemannienne , le théorème fondamental de la géométrie riemannienne déclare que sur toute variété riemannienne (ou variété pseudo-riemannienne ), il existe une connexion métrique unique sans torsion , appelée connexion Levi-Civita de la métrique donnée. Ici, une connexion métrique (ou riemannienne ) est une connexion qui préserve le tenseur métrique . Plus précisément:

Théorème fondamental de la géométrie riemannienne. Soit ( M , g ) une variété riemannienne (ou une variété pseudo-riemannienne ). Ensuite, il y a une connexion unique ∇ qui satisfait les conditions suivantes:

pour tout champ vectoriel X , Y , Z nous avons

${\ displaystyle \ partial _ {X} \ langle Y, Z \ rangle = \ langle \ nabla _ {X} Y, Z \ rangle + \ langle Y, \ nabla _ {X} Z \ rangle,}$

où représente la dérivée de la fonction long champ de vecteurs X . ${\ displaystyle \ partial _ {X} \ langle Y, Z \ rangle}$ ${\ displaystyle \ langle Y, Z \ rangle}$

pour tout champ vectoriel X , Y ,

${\ displaystyle \ nabla _ {X} Y- \ nabla _ {Y} X = [X, Y],}$

où [ X , Y ] désigne le support de Lie pour les champs vecteur X , Y .

La première condition signifie que le tenseur métrique est conservé par transport parallèle , tandis que la seconde condition exprime le fait que la torsion de ∇ est nulle.

Une extension du théorème fondamental stipule que, étant donné une variété pseudo-riemannienne, il existe une connexion unique préservant le tenseur métrique avec toute forme 2 à valeur vectorielle donnée comme sa torsion. La différence entre une connexion arbitraire (avec torsion) et la connexion Levi-Civita correspondante est le tenseur de contorsion .

La preuve technique suivante présente une formule pour les symboles Christoffel de la connexion dans un système de coordonnées local. Pour une métrique donnée, cet ensemble d'équations peut devenir assez compliqué. Il existe des méthodes plus rapides et plus simples pour obtenir les symboles de Christoffel pour une métrique donnée, par exemple en utilisant l' intégrale d' action et les équations d'Euler-Lagrange associées.

Géodésiques définies par une métrique ou une connexion

Une métrique définit les courbes qui sont des géodésiques ; mais une connexion définit également les géodésiques (voir aussi le transport parallèle ). Une connexion est dite égale à une autre de deux manières différentes: ${\ displaystyle {\ bar {\ nabla}}}$ ${\ displaystyle \ nabla}$

évidemment si pour chaque paire de champs de vecteurs ${\ displaystyle {\ bar {\ nabla}} _ {X} Y = \ nabla _ {X} Y}$ ${\ displaystyle X, Y}$
si et définir les mêmes géodésiques et avoir la même torsion ${\ displaystyle \ nabla}$ ${\ displaystyle {\ bar {\ nabla}}}$

Cela signifie que deux connexions différentes peuvent conduire aux mêmes géodésiques tout en donnant des résultats différents pour certains champs de vecteurs.

Parce qu'une métrique définit également les géodésiques d'une variété différentielle, pour certaines métriques, il n'y a pas qu'une seule connexion définissant les mêmes géodésiques (quelques exemples peuvent être trouvés d'une connexion menant aux lignes droites en tant que géodésiques mais ayant une certaine torsion contrairement à la connexion triviale sur , c'est-à-dire la dérivée directionnelle habituelle ) ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$ , et étant donné une métrique, la seule connexion qui définit les mêmes géodésiques (qui laisse la métrique inchangée par transport parallèle ) et qui est sans torsion est la connexion Levi-Civita (qui est obtenue de la métrique par différenciation).

Preuve du théorème

Soit m la dimension de M et, dans certains graphiques locaux, considérons les champs de vecteurs de coordonnées standard

{\ displaystyle {\ partial} _ {i} = {\ frac {\ partial} {\ partial x ^ {i}}}, \ qquad i = 1, \ dots, m.}

Localement, l'entrée g _ij du tenseur métrique est alors donnée par

{\ displaystyle g_ {ij} = \ left \ langle {\ partial} _ {i}, {\ partial} _ {j} \ right \ rangle.}

Pour spécifier la connexion il suffit de spécifier, pour tout i , j et k ,

{\ displaystyle \ left \ langle \ nabla _ {\ partial _ {i}} \ partial _ {j}, \ partial _ {k} \ right \ rangle.}

On rappelle également que, localement, une connexion est donnée par m ³ fonctions lisses

{\ displaystyle \ left \ {\ Gamma ^ {l} {} _ {ij} \ right \},}

où

{\ displaystyle \ nabla _ {\ partial _ {i}} \ partial _ {j} = \ sum _ {l} \ Gamma _ {ij} ^ {l} \ partial _ {l}.}

La propriété sans torsion signifie

{\ displaystyle \ nabla _ {\ partial _ {i}} \ partial _ {j} = \ nabla _ {\ partial _ {j}} \ partial _ {i}.}

D'autre part, la compatibilité avec la métrique riemannienne implique que

{\ displaystyle \ partial _ {k} g_ {ij} = \ left \ langle \ nabla _ {\ partial _ {k}} \ partial _ {i}, \ partial _ {j} \ rangle + \ langle \ partial _ {i}, \ nabla _ {\ partial _ {k}} \ partial _ {j} \ right \ rangle.}

Pour une permutation fixe, i , j et k , la permutation donne 3 équations à 6 inconnues. L'hypothèse sans torsion réduit le nombre de variables à 3. La résolution du système résultant de 3 équations linéaires donne des solutions uniques

{\ displaystyle \ left \ langle \ nabla _ {\ partial _ {i}} \ partial _ {j}, \ partial _ {k} \ right \ rangle = {\ tfrac {1} {2}} \ left (\ partial _ {i} g_ {jk} - \ partial _ {k} g_ {ij} + \ partial _ {j} g_ {ik} \ right).}

C'est la première identité Christoffel .

Puisque

{\ displaystyle \ left \ langle \ nabla _ {\ partial _ {i}} \ partial _ {j}, \ partial _ {k} \ right \ rangle = \ Gamma _ {ij} ^ {l} g_ {lk} ,}

où nous utilisons la convention de sommation d'Einstein. Autrement dit, un index répété en indice et en exposant implique qu'il est additionné sur toutes les valeurs. L'inversion du tenseur métrique donne la seconde identité de Christoffel :

{\ displaystyle \ Gamma _ {ij} ^ {l} = {\ tfrac {1} {2}} \ left (\ partial _ {i} g_ {jk} - \ partial _ {k} g_ {ij} + \ partiel _ {j} g_ {ik} \ right) g ^ {kl}.}

Encore une fois, avec la convention de sommation d'Einstein. La connexion unique qui en résulte est appelée la connexion Levi-Civita .

La formule Koszul

Une preuve alternative du théorème fondamental de la géométrie riemannienne procède en montrant qu'une connexion métrique sans torsion sur une variété riemannienne $M$ est nécessairement donnée par la formule de Koszul :

{\ displaystyle {\ begin {array} {ll} 2g (\ nabla _ {X} Y, Z) & = \, X (g (Y, Z)) + Y (g (X, Z)) - Z ( g (X, Y)) \\ & \ quad + \, g ([X, Y], Z) -g ([X, Z], Y) -g ([Y, Z], X), \ end {déployer}}}

où le champ vectoriel agit naturellement sur les fonctions lisses sur la variété riemannienne (de sorte que ). ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle Xf = \ partial _ {X} f}$

En supposant l'existence d'une connexion symétrique et compatible avec la métrique , la somme peut être simplifiée à l'aide de la propriété de symétrie. Cela aboutit à la formule de Koszul. ${\ displaystyle \ nabla _ {X} Y- \ nabla _ {Y} X = [X, Y]}$ ${\ Displaystyle Xg (Y, Z) = g (\ nabla _ {X} Y, Z) + g (Y, \ nabla _ {X} Z)}$ ${\ Displaystyle Xg (Y, Z) + Yg (X, Z) -Zg (Y, X)}$

L'expression pour détermine donc de manière unique . Inversement, la formule de Koszul peut être utilisée pour définir et il est courant de vérifier qu'il s'agit d'une connexion affine, symétrique et compatible avec la métrique $g$ . (Le côté droit définit un champ vectoriel car il est $C$ $\infty$ $($ $M$ $)$ -linéaire dans la variable .) ${\ displaystyle g (\ nabla _ {X} Y, Z)}$ ${\ displaystyle \ nabla _ {X} Y}$ ${\ displaystyle \ nabla _ {X} Y}$ ${\ displaystyle \ nabla _ {X}}$ ${\ displaystyle Z}$