Théorie de la mesure floue - Fuzzy measure theory

En mathématiques , la théorie de la mesure floue considère des mesures généralisées dans lesquelles la propriété additive est remplacée par la propriété plus faible de monotonie. Le concept central de la théorie de la mesure floue est la mesure floue (également la capacité , voir) qui a été introduite par Choquet en 1953 et définie indépendamment par Sugeno en 1974 dans le contexte des intégrales floues . Il existe un certain nombre de classes différentes de mesures floues, y compris les mesures de plausibilité/croyance ; mesures de possibilité/nécessité ; et les mesures de probabilité qui sont un sous-ensemble des mesures classiques .

Définitions

Soit un univers de discours , soit une classe de sous - ensembles de , et . Une fonction où ${\displaystyle \mathbf {X} }$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle \mathbf {X} }$${\displaystyle E,F\in {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle g:{\mathcal {C}}\to \mathbb {R} }$

1. ${\displaystyle \emptyset \in {\mathcal {C}}\Rightarrow g(\emptyset )=0}$
2. ${\displaystyle E\subseteq F\Rightarrow g(E)\leq g(F)}$

est appelée une mesure floue . Une mesure floue est appelée normalisée ou régulière si . ${\style d'affichage g(\mathbf {X} )=1}$

Propriétés des mesures floues

Une mesure floue est :

• additif si pour tout tel que , nous avons ;${\displaystyle E,F\in {\mathcal {C}}}$${\displaystyle E\cap F=\emptyset }$${\style d'affichage g(E\tasse F)=g(E)+g(F).}$
• supermodulaire s'il en est , nous avons ;${\displaystyle E,F\in {\mathcal {C}}}$${\displaystyle g(E\cup F)+g(E\cap F)\geq g(E)+g(F)}$
• sous - modulaire si pour tout, nous avons;${\displaystyle E,F\in {\mathcal {C}}}$${\displaystyle g(E\cup F)+g(E\cap F)\leq g(E)+g(F)}$
• superadditif si pour tout tel que , nous avons ;${\displaystyle E,F\in {\mathcal {C}}}$${\displaystyle E\cap F=\emptyset }$${\style d'affichage g(E\tasse F)\geq g(E)+g(F)}$
• sous - additif si pour tout tel que , nous avons ;${\displaystyle E,F\in {\mathcal {C}}}$${\displaystyle E\cap F=\emptyset }$${\style d'affichage g(E\tasse F)\leq g(E)+g(F)}$
• symétrique si pour tout , nous avons implique ;${\displaystyle E,F\in {\mathcal {C}}}$${\style d'affichage |E|=|F|}$${\style d'affichage g(E)=g(F)}$
• Booléen si pour tout , nous avons ou .${\displaystyle E\in {\mathcal {C}}}$${\style d'affichage g(E)=0}$${\style d'affichage g(E)=1}$

Comprendre les propriétés des mesures floues est utile dans l'application. Lorsqu'une mesure floue est utilisée pour définir une fonction telle que l' intégrale de Sugeno ou l' intégrale de Choquet , ces propriétés seront cruciales pour comprendre le comportement de la fonction. Par exemple, l'intégrale de Choquet par rapport à une mesure floue additive se réduit à l' intégrale de Lebesgue . Dans les cas discrets, une mesure floue symétrique se traduira par l' opérateur de moyenne pondérée ordonnée (OWA). Les mesures floues sous-modulaires donnent des fonctions convexes, tandis que les mesures floues supermodulaires donnent des fonctions concaves lorsqu'elles sont utilisées pour définir une intégrale de Choquet.

Représentation de Möbius

Soit g une mesure floue, la représentation de Möbius de g est donnée par la fonction ensembliste M , où pour tout , ${\displaystyle E,F\subseteq X}$

${\displaystyle M(E)=\sum _{F\subseteq E}(-1)^{|E\backslash F|}g(F).}$

Les axiomes équivalents dans la représentation de Möbius sont :

1. ${\displaystyle M(\emptyset )=0}$.
2. ${\displaystyle \sum _{F\subseteq E|i\in F}M(F)\geq 0}$, pour tous et toutes${\displaystyle E\subseteq \mathbf {X} }$${\style d'affichage i\dans E}$

Une mesure floue dans la représentation de Möbius M est dite normalisée si${\displaystyle \sum _{E\subseteq \mathbf {X} }M(E)=1.}$

La représentation de Möbius peut être utilisée pour donner une indication des sous-ensembles de X qui interagissent les uns avec les autres. Par exemple, une mesure floue additive a des valeurs de Möbius toutes égales à zéro, à l'exception des singletons. La mesure floue g en représentation standard peut être récupérée à partir de la forme de Möbius en utilisant la transformée Zeta :

${\displaystyle g(E)=\sum _{F\subseteq E}M(F),\forall E\subseteq \mathbf {X} .}$

Hypothèses de simplification pour les mesures floues

Les mesures floues sont définies sur un semi - anneau d'ensembles ou une classe monotone qui peut être aussi granulaire que l' ensemble de puissance de X , et même dans des cas discrets le nombre de variables peut atteindre 2 ^{| X |} . Pour cette raison, dans le contexte de l' analyse décisionnelle multicritères et d'autres disciplines, des hypothèses de simplification sur la mesure floue ont été introduites afin qu'elle soit moins coûteuse en calculs à déterminer et à utiliser. Par exemple, lorsqu'on suppose que la mesure floue est additive , elle le maintiendra et les valeurs de la mesure floue peuvent être évaluées à partir des valeurs sur X . De même, une mesure floue symétrique est définie uniquement par | X | valeurs. Deux mesures floues importantes qui peuvent être utilisées sont la mesure Sugeno-ou -fuzzy et les mesures k -additives, introduites respectivement par Sugeno et Grabisch. ${\displaystyle g(E)=\sum _{i\in E}g(\{i\})}$${\style d'affichage \lambda }$

Sugeno λ -mesure

La mesure de Sugeno est un cas particulier de mesures floues définies de manière itérative. Il a la définition suivante : ${\style d'affichage \lambda }$

Définition

Soit un ensemble fini et soit . Une Sugeno -mesure est une fonction telle que ${\displaystyle \mathbf {X} =\left\lbrace x_{1},\dots ,x_{n}\right\rbrace }$${\displaystyle \lambda \in (-1,+\infty )}$${\style d'affichage \lambda }$${\displaystyle g:2^{X}\to [0,1]}$

1. ${\style d'affichage g(X)=1}$.
2. si (alternativement ) avec alors .${\displaystyle A,B\subseteq \mathbf {X} }$${\displaystyle A,B\in 2^{\mathbf {X} }}$${\displaystyle A\cap B=\emptyset }$${\style d'affichage g(A\tasse B)=g(A)+g(B)+\lambda g(A)g(B)}$

Par convention, la valeur de g à un ensemble de singletons est appelée densité et est notée . De plus, nous avons qui satisfait la propriété ${\displaystyle \left\lbrace x_{i}\right\rbrace }$${\displaystyle g_{i}=g(\left\lbrace x_{i}\right\rbrace )}$${\style d'affichage \lambda }$

${\displaystyle \lambda +1=\prod _{i=1}^{n}(1+\lambda g_{i})}$.

Tahani et Keller ainsi que Wang et Klir ont montré qu'une fois les densités connues, il est possible d'utiliser le polynôme précédent pour obtenir les valeurs de de manière unique. ${\style d'affichage \lambda }$

k -mesure floue additive

La mesure floue k- additive limite l'interaction entre les sous-ensembles à la taille . Cela réduit considérablement le nombre de variables nécessaires pour définir la mesure floue, et comme k peut aller de 1 (auquel cas la mesure floue est additive) à X , cela permet un compromis entre la capacité de modélisation et la simplicité. ${\displaystyle E\subseteq X}$${\style d'affichage |E|=k}$

Définition

Une mesure floue discrète g sur un ensemble X est dite k-additive ( ) si sa représentation de Möbius vérifie , chaque fois que pour tout , et qu'il existe un sous-ensemble F à k éléments tel que . ${\displaystyle 1\leq k\leq |\mathbf {X} |}$${\style d'affichage M(E)=0}$${\style d'affichage |E|>k}$${\displaystyle E\subseteq \mathbf {X} }$${\style d'affichage M(F)\neq 0}$

Indices de Shapley et d'interaction

En théorie des jeux , la valeur de Shapley ou indice de Shapley est utilisé pour indiquer le poids d'un jeu. Les valeurs de Shapley peuvent être calculées pour les mesures floues afin de donner une indication de l'importance de chaque singleton. Dans le cas de mesures floues additives, la valeur de Shapley sera la même que pour chaque singleton.

Pour une mesure floue donnée g , et , l'indice de Shapley pour chaque est : ${\displaystyle |\mathbf {X} |=n}$${\displaystyle i,\dots ,n\in X}$

${\displaystyle \phi (i)=\sum _{E\subseteq \mathbf {X} \backslash \{i\}}{\frac {(n-|E|-1)!|E|!}{n !}}[g(E\cup \{i\})-g(E)].}$

La valeur de Shapley est le vecteur ${\displaystyle \mathbf {\phi } (g)=(\psi (1),\dots ,\psi (n)).}$

Voir également

• Théorie des probabilités
• Théorie des possibilités

Les références

Lectures complémentaires

• Beliakov, Pradera et Calvo, Fonctions d'agrégation : Un guide pour les praticiens , Springer, New York 2007.
• Wang, Zhenyuan et George J. Klir , théorie de la mesure floue , Plenum Press, New York, 1991.

Liens externes

• Théorie de la mesure floue au traitement d'images floues