Groupe Galois - Galois group

En mathématiques , dans le domaine de l'algèbre abstraite connu sous le nom de théorie de Galois , le groupe de Galois d'un certain type d' extension de champ est un groupe spécifique associé à l'extension de champ. L'étude des extensions de champ et de leur relation avec les polynômes qui leur donnent naissance via les groupes de Galois est appelée théorie de Galois , ainsi nommée en l'honneur d' Évariste Galois qui les a découverts le premier.

Pour une discussion plus élémentaire des groupes de Galois en termes de groupes de permutation , voir l'article sur la théorie de Galois .

Définition

Supposons que ce soit une extension du champ (écrit comme et lisez " E sur F  "). Un automorphisme de est défini comme un automorphisme de qui se fixe ponctuellement. En d'autres termes, un automorphisme de est un isomorphisme tel que pour chaque . L' ensemble de tous les automorphismes de forme un groupe avec l'opération de composition de fonction . Ce groupe est parfois désigné par${\style d'affichage E}$ ${\style d'affichage F}$${\style d'affichage E/F}$${\style d'affichage E/F}$${\style d'affichage E}$${\style d'affichage F}$${\style d'affichage E/F}$ ${\displaystyle \alpha :E\to E}$${\style d'affichage \alpha (x)=x}$${\style d'affichage x\dans F}$${\style d'affichage E/F}$${\displaystyle \operatorname {Aut} (E/F).}$

Si est une extension de Galois , alors est appelé le groupe de Galois de , et est généralement noté . ${\style d'affichage E/F}$${\displaystyle \operatorname {Aut} (E/F)}$${\style d'affichage E/F}$${\displaystyle \operatorname {Gal} (E/F)}$

Si n'est pas une extension de Galois, alors le groupe de Galois de est parfois défini comme , où est la fermeture de Galois de . ${\style d'affichage E/F}$${\style d'affichage E/F}$${\displaystyle \operatorname {Aut} (K/F)}$${\style d'affichage K}$${\style d'affichage E}$

Groupe de Galois d'un polynôme

Une autre définition du groupe de Galois vient du groupe de Galois d'un polynôme . S'il existe un champ tel que les facteurs comme un produit de polynômes linéaires ${\style d'affichage f\in F[x]}$${\style d'affichage K/F}$${\style d'affichage f}$

${\displaystyle f(x)=(x-\alpha _{1})\cdots (x-\alpha _{k})\in K[x]}$

sur le champ , alors le groupe de Galois du polynôme est défini comme le groupe de Galois de où est minimal parmi tous ces champs. ${\style d'affichage K}$ ${\style d'affichage f}$${\style d'affichage K/F}$${\style d'affichage K}$

Structure des groupes de Galois

Théorème fondamental de la théorie de Galois

L'un des théorèmes de structure importants de la théorie de Galois vient du théorème fondamental de la théorie de Galois . Ceci indique qu'étant donné une extension de Galois finie , il existe une bijection entre l'ensemble des sous-corps et les sous-groupes Alors, est donnée par l'ensemble des invariants de sous l'action de , donc ${\displaystyle K/k}$${\displaystyle k\sous-ensemble E\sous-ensemble K}$${\displaystyle H\sous-ensemble G.}$${\style d'affichage E}$${\style d'affichage K}$${\style d'affichage H}$

${\displaystyle E=K^{H}=\{a\in K:ga=a{\text{ where }}g\in H\}}$

De plus, si est un sous-groupe normal alors . Et inversement, si est une extension de champ normal, alors le sous-groupe associé dans est un groupe normal. ${\style d'affichage H}$${\displaystyle G/H\cong \operatorname {Gal} (E/k)}$${\style d'affichage E/k}$${\displaystyle \operatorname {Gal} (K/k)}$

La structure en treillis

Supposons des extensions galoisiennes de avec des groupes de Galois Le corps avec un groupe de Galois a une injection qui est un isomorphisme à chaque fois que . ${\style d'affichage K_{1},K_{2}}$${\style d'affichage k}$${\style d'affichage G_{1},G_{2}.}$${\displaystyle K_{1}K_{2}}$${\displaystyle G=\operatorname {Gal} (K_{1}K_{2}/k)}$${\displaystyle G\to G_{1}\times G_{2}}$${\displaystyle K_{1}\cap K_{2}=k}$

Intronisation

En corollaire, cela peut être induit un nombre fini de fois. Étant donné les extensions de Galois où alors il y a un isomorphisme des groupes de Galois correspondants : ${\displaystyle K_{1},\ldots ,K_{n}/k}$${\displaystyle K_{i+1}\cap (K_{1}\cdots K_{i})=k,}$

${\displaystyle \operatorname {Gal} (K_{1}\cdots K_{n}/k)\cong G_{1}\times \cdots \times G_{n}.}$

Exemples

Dans les exemples suivants, est un champ, et sont respectivement les champs des nombres complexes , réels et rationnels . La notation F ( a ) indique l'extension de champ obtenu par attenant à un élément a dans le champ F . ${\style d'affichage F}$${\displaystyle \mathbb {C} ,\mathbb {R} ,\mathbb {Q} }$

Outils de calcul

Cardinalité du groupe de Galois et degré d'extension du champ

L'une des propositions de base requises pour déterminer complètement les groupes de Galois d'une extension de corps fini est la suivante : Étant donné un polynôme , soit son extension de corps de division. Alors l'ordre du groupe de Galois est égal au degré d'extension du champ ; C'est, ${\style d'affichage f(x)\in F[x]}$${\style d'affichage E/F}$

${\displaystyle |\operatorname {Gal} (E/F)|=[E:F]}$

Le critère d'Eisenstein

Un outil utile pour déterminer le groupe de Galois d'un polynôme vient du critère d' Eisenstein . Si un polynôme se décompose en polynômes irréductibles, le groupe de Galois de peut être déterminé en utilisant les groupes de Galois de chacun puisque le groupe de Galois de contient chacun des groupes de Galois du${\style d'affichage f\in F[x]}$${\displaystyle f=f_{1}\cdots f_{k}}$${\style d'affichage f}$${\displaystyle f_{i}}$${\style d'affichage f}$${\displaystyle f_{i}.}$

Groupe trivial

${\displaystyle \operatorname {Gal} (F/F)}$ est le groupe trivial qui a un seul élément, à savoir l'automorphisme d'identité.

Un autre exemple de groupe de Galois qui est trivial est En effet, on peut montrer que tout automorphisme de doit préserver l' ordre des nombres réels et doit donc être l'identité. ${\displaystyle \operatorname {Aut} (\mathbb {R} /\mathbb {Q} ).}$${\displaystyle \mathbb {R} }$

Considérez le champ Le groupe ne contient que l'automorphisme d'identité. C'est parce que ce n'est pas une extension normale , puisque les deux autres racines cubiques de , ${\displaystyle K=\mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}}).}$${\displaystyle \operatorname {Aut} (K/\mathbb {Q} )}$${\style d'affichage K}$${\style d'affichage 2}$

${\displaystyle \exp \left({\tfrac {2\pi i}{3}}\right){\sqrt[{3}]{2}}}$ et ${\displaystyle \exp \left({\tfrac {4\pi i}{3}}\right){\sqrt[{3}]{2}},}$

sont absents de l'extension-à - dire K est pas une zone de fractionnement .

Groupes abéliens finis

Le groupe de Galois a deux éléments, l'automorphisme d'identité et l' automorphisme de conjugaison complexe . ${\displaystyle \operatorname {Gal} (\mathbb {C} /\mathbb {R} )}$

Extensions quadratiques

Le degré deux extension de champ a le groupe de Galois de deux éléments, les automorphismes d'identité et les automorphismes qui échange √ 2 et - √ 2 . Cet exemple généralise pour un nombre premier${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})/\mathbb {Q} }$${\displaystyle \operatorname {Gal} (\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})/\mathbb {Q} ).}$${\style d'affichage \sigma }$${\displaystyle p\in \mathbb {N} .}$

Produit d'extensions quadratiques

En utilisant la structure en treillis des groupes de Galois, pour les nombres premiers non égaux, le groupe de Galois est ${\displaystyle p_{1},\ldots ,p_{k}}$${\displaystyle \mathbb {Q} \left({\sqrt {p_{1}}},\ldots ,{\sqrt {p_{k}}}\right)/\mathbb {Q} }$

${\displaystyle \operatorname {Gal} \left(\mathbb {Q} ({\sqrt {p_{1}}},\ldots ,{\sqrt {p_{k}}})/\mathbb {Q} \right )\cong \operatorname {Gal} \left(\mathbb {Q} ({\sqrt {p_{1}}})/\mathbb {Q} \right)\times \cdots \times \operatorname {Gal} \left (\mathbb {Q} ({\sqrt {p_{k}}})/\mathbb {Q} \right)\cong \mathbb {Z} /2\times \cdots \times \mathbb {Z} /2}$

Extensions cyclotomiques

Une autre classe utile d'exemples provient des champs de division des polynômes cyclotomiques . Ce sont des polynômes définis comme ${\displaystyle \Phi _{n}}$

${\displaystyle \Phi _{n}(x)=\prod _{\begin{matrix}1\leq k\leq n\\\gcd(k,n)=1\end{matrix}}\left(xe ^{\frac {2ik\pi }{n}}\right)}$

dont le degré est , la fonction totient d'Euler à . Ensuite, le champ de fractionnement sur est et a automorphismes d' envoi pour la relativement premier . Le degré du champ étant égal au degré du polynôme, ces automorphismes engendrent le groupe de Galois. Si alors ${\style d'affichage \phi (n)}$${\style d'affichage n}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {Q} (\zeta _{n})}$${\displaystyle \sigma _{a}}$${\displaystyle \zeta _{n}\mapsto \zeta _{n}^{a}}$${\style d'affichage 1\leq a<n}$${\style d'affichage n}$${\displaystyle n=p_{1}^{a_{1}}\cdots p_{k}^{a_{k}},}$

${\displaystyle \operatorname {Gal} (\mathbb {Q} (\zeta _{n})/\mathbb {Q} )\cong \prod _{a_{i}}\operatorname {Gal} \left(\mathbb {Q} (\zeta _{p_{i}^{a_{i}}})/\mathbb {Q} \right)}$

Si est un nombre premier , alors un corollaire de ceci est ${\style d'affichage n}$${\style d'affichage p}$

${\displaystyle \operatorname {Gal} (\mathbb {Q} (\zeta _{p})/\mathbb {Q} )\cong \mathbb {Z} /(p-1)}$

En fait, tout groupe abélien fini peut être trouvé comme le groupe de Galois d'un sous-champ d'une extension de champ cyclotomique par le théorème de Kronecker-Weber .

Champs finis

Une autre classe utile d'exemples de groupes de Galois avec des groupes abéliens finis provient des corps finis. Si q est une puissance première, et si et désignent respectivement les champs galoisiens d'ordre et , alors est cyclique d'ordre n et engendré par l' homomorphisme de Frobenius . ${\displaystyle F=\mathbb {F} _{q}}$${\displaystyle E=\mathbb {F} _{q^{n}}}$${\style d'affichage q}$${\style d'affichage q^{n}}$${\displaystyle \operatorname {Gal} (E/F)}$

Exemples de degré 4

L'extension de champ est un exemple d' extension de champ de diplôme . Cela a deux automorphismes où et Puisque ces deux générateurs définissent un groupe d'ordre , le groupe des quatre de Klein , ils déterminent l'ensemble du groupe de Galois. ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})/\mathbb {Q} }$${\style d'affichage 4}$${\displaystyle \sigma ,\tau }$${\displaystyle \sigma ({\sqrt {2}})=-{\sqrt {2}}}$${\displaystyle \tau ({\sqrt {3}})=-{\sqrt {3}}.}$${\style d'affichage 4}$

Un autre exemple est donné à partir du champ de division du polynôme ${\displaystyle E/\mathbb {Q} }$

${\style d'affichage f(x)=x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1}$

Remarque parce que les racines de sont Il y a des automorphismes ${\style d'affichage (x-1)f(x)=x^{5}-1,}$${\style d'affichage f(x)}$${\displaystyle \exp \left({\tfrac {2k\pi i}{5}}\right).}$

${\displaystyle {\begin{cases}\sigma _{l}:E\to E\\\exp \left({\frac {2\pi i}{5}}\right)\mapsto \left(\exp \left({\frac {2\pi i}{5}}\right)\right)^{l}\end{cases}}}$

génération d'un groupe de commande . Puisque génère ce groupe, le groupe de Galois est isomorphe à . ${\style d'affichage 4}$${\displaystyle \sigma _{1}}$${\displaystyle \mathbb {Z} /4}$

Groupes finis non abéliens

Considérons maintenant où se trouve une racine cubique primitive de l'unité . Le groupe est isomorphe à S ₃ , le groupe dièdre d'ordre 6 , et L est en fait le champ de séparation de plus${\displaystyle L=\mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}},\omega ),}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \operatorname {Gal} (L/\mathbb {Q} )}$${\style d'affichage x^{3}-2}$${\displaystyle \mathbb {Q} .}$

Groupe quaternion

Le groupe Quaternion peut être trouvé comme le groupe de Galois d'une extension de champ de . Par exemple, l'extension de champ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

${\displaystyle \mathbb {Q} \left({\sqrt {2}},{\sqrt {3}},{\sqrt {(2+{\sqrt {2}})(3+{\sqrt {3 }})}}\droite)}$

a le groupe de Galois prescrit.

Groupe symétrique d'ordre premier

Si est un polynôme irréductible de degré premier avec des coefficients rationnels et exactement deux racines non réelles, alors le groupe de Galois de est le groupe symétrique complet${\style d'affichage f}$${\style d'affichage p}$${\style d'affichage f}$ ${\displaystyle S_{p}.}$

Par exemple, est irréductible du critère d'Eisenstein. Tracer le graphique de avec un logiciel graphique ou du papier montre qu'il a trois racines réelles, donc deux racines complexes, montrant que son groupe de Galois est . ${\displaystyle f(x)=x^{5}-4x+2\in \mathbb {Q} [x]}$${\style d'affichage f}$${\style d'affichage S_{5}}$

Comparaison des groupes de Galois d'extensions de champs de champs globaux

Étant donné une extension de champ globale (telle que ) le et une classe d'équivalence de valuations sur (telle que la valuation -adique ), et sur tels que leurs complétions donnent une extension de champ de Galois${\displaystyle K/k}$${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt[{5}]{3}},\zeta _{5})/\mathbb {Q} }$${\style d'affichage w}$${\style d'affichage K}$${\style d'affichage p}$${\style d'affichage v}$${\style d'affichage k}$

${\displaystyle K_{w}/k_{v}}$

des champs locaux . Ensuite, il y a une action induite du groupe de Galois

${\displaystyle G=\operatorname {Gal} (K/k)}$

sur l'ensemble des classes d'équivalence de valorisations telles que les remplissages des champs soient compatibles. Cela signifie que s'il existe alors une isomorphie induite des champs locaux${\displaystyle s\in G}$

${\displaystyle s_{w}:K_{w}\to K_{sw}}$

Puisque nous avons pris l'hypothèse qui se pose (ie il y a une extension de corps de Galois ), le morphisme de corps est en fait un isomorphisme de -algèbres. Si nous prenons le sous-groupe d'isotropie de pour la classe d'évaluation${\style d'affichage w}$${\style d'affichage v}$${\displaystyle K_{w}/k_{v}}$${\displaystyle s_{w}}$${\style d'affichage k_{v}}$${\style d'affichage G}$${\style d'affichage w}$

${\displaystyle G_{w}=\{s\in G:sw=w\}}$

alors il y a une surjection du groupe de Galois global au groupe de Galois local tel qu'il y ait un isomorphisme entre le groupe de Galois local et le sous-groupe d'isotropie. Schématiquement, cela signifie

${\displaystyle {\begin{matrix}\operatorname {Gal} (K/v)&\twoheadrightarrow &\operatorname {Gal} (K_{w}/k_{v})\\\downarrow &&\downarrow \\G&\ twoheadrightarrow &G_{w}\end{matrice}}}$

où les flèches verticales sont des isomorphismes. Cela donne une technique pour construire des groupes de Galois de champs locaux en utilisant des groupes de Galois globaux.

Groupes infinis

Un exemple de base d'une extension de champ avec un groupe infini d'automorphismes est , puisqu'il contient chaque extension de champ algébrique . Par exemple, les extensions de champ pour un élément sans carré ont chacune un automorphisme de degré unique , induisant un automorphisme dans${\displaystyle \operatorname {Aut} (\mathbb {C} /\mathbb {Q} )}$${\displaystyle E/\mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {a}})/\mathbb {Q} }$${\displaystyle a\in \mathbb {Q} }$${\style d'affichage 2}$${\displaystyle \operatorname {Aut} (\mathbb {C} /\mathbb {Q} ).}$

L'une des classes les plus étudiées du groupe de Galois infini est le groupe de Galois absolu , qui est un groupe infini et profini défini comme la limite inverse de toutes les extensions de Galois finies pour un corps fixe. La limite inverse est notée ${\style d'affichage E/F}$

${\displaystyle \operatorname {Gal} ({\overline {F}}/F):=\varprojlim _{E/F{\text{ fini separable}}}{\operatorname {Gal} (E/F)}}$,

où est la fermeture séparable du champ . Notez que ce groupe est un groupe topologique . Quelques exemples de base incluent et ${\displaystyle {\overline {F}}}$${\style d'affichage F}$${\displaystyle \operatorname {Gal} ({\overline {\mathbb {Q} }}/\mathbb {Q} )}$

${\displaystyle \operatorname {Gal} ({\overline {\mathbb {F} }}_{q}/\mathbb {F} _{q})\cong {\hat {\mathbb {Z} }}\cong \prod _{p}\mathbb {Z} _{p}}$.

Un autre exemple facilement calculable vient de l'extension de champ contenant la racine carrée de chaque nombre premier positif. Il a le groupe Galois ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}},{\sqrt {5}},\ldots )/\mathbb {Q} }$

${\displaystyle \operatorname {Gal} (\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}},{\sqrt {5}},\ldots )/\mathbb {Q} )\ cong \prod _{p}\mathbb {Z} /2}$,

que l'on peut déduire de la limite profinie

${\displaystyle \cdots \to \operatorname {Gal} (\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}},{\sqrt {5}})/\mathbb {Q} ) \to \operatorname {Gal} (\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})/\mathbb {Q} )\to \operatorname {Gal} (\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})/\mathbb {Q} )}$

et en utilisant le calcul des groupes de Galois.

Propriétés

L'importance d'une extension étant galoisienne est qu'elle obéit au théorème fondamental de la théorie galoisienne : les sous- groupes fermés (par rapport à la topologie de Krull ) du groupe de Galois correspondent aux champs intermédiaires de l'extension de champ.

Si est une extension de Galois, alors peut recevoir une topologie , appelée la topologie de Krull , qui en fait un groupe profini . ${\style d'affichage E/F}$${\displaystyle \operatorname {Gal} (E/F)}$

Voir également

• Théorème fondamental de la théorie de Galois
• Groupe Absolu Galois
• Représentation galoisienne
• Groupe Demuschkine
• Groupe résoluble

Remarques

Les références

• Jacobson, Nathan (2009) [1985]. Algèbre de base I (2e éd.). Publications de Douvres. ISBN 978-0-486-47189-1.
• Lang, Serge (2002), Algebra , Graduate Texts in Mathematics , 211 (Troisième édition révisée), New York : Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR  1878556

Liens externes

• "Groupe de Galois" , Encyclopédie des Mathématiques , EMS Press , 2001 [1994]
• Groupe de Galois et groupe Quaternion
• "Groupes de Galois" . MathPages.com .
• Comparaison des groupes de galois global et local d'une extension de corps de nombres
• Représentations Galois - Richard Taylor