Processus de Gauss-Markov - Gauss–Markov process

Les processus stochastiques de Gauss-Markov (du nom de Carl Friedrich Gauss et Andrey Markov ) sont des processus stochastiques qui satisfont aux exigences des processus gaussiens et de Markov . Un processus de Gauss-Markov stationnaire est unique jusqu'au redimensionnement ; un tel processus est également connu sous le nom de processus Ornstein-Uhlenbeck .

Propriétés de base

Tout processus de Gauss-Markov X ( t ) possède les trois propriétés suivantes :

  1. Si h ( t ) est une fonction scalaire non nulle de t , alors Z ( t ) = h ( t ) X ( t ) est aussi un processus de Gauss-Markov
  2. Si f ( t ) est une fonction scalaire non décroissante de t , alors Z ( t ) = X ( f ( t )) est également un processus de Gauss-Markov
  3. Si le processus est non dégénéré et continu quadratique moyen, alors il existe une fonction scalaire non nulle h ( t ) et une fonction scalaire strictement croissante f ( t ) telles que X ( t ) = h ( t ) W ( f ( t )), où W ( t ) est le processus de Wiener standard .

La propriété (3) signifie que tout processus de Gauss-Markov continu quadratique moyen non dégénéré peut être synthétisé à partir du processus de Wiener standard (SWP).

Autres propriétés

Un processus de Gauss-Markov stationnaire avec variance et constante de temps a les propriétés suivantes.

  • Exponentielle autocorrelation :
  • Une fonction de densité spectrale de puissance (PSD) qui a la même forme que la distribution de Cauchy :
    (Notez que la distribution de Cauchy et ce spectre diffèrent par des facteurs d'échelle.)
  • Ce qui précède donne la factorisation spectrale suivante :
    ce qui est important dans le filtrage de Wiener et dans d'autres domaines.

Il existe également des exceptions triviales à tout ce qui précède.

Les références