Plan de Gauss - Gauss map

La carte de Gauss fournit une cartographie de chaque point sur une courbe ou une surface à un point correspondant sur une sphère unitaire

En géométrie différentielle , la carte de Gauss (du nom de Carl F. Gauss ) mappe une surface dans l' espace euclidien R ³ à la sphère unitaire S ² . A savoir, étant donné une surface X située dans R ³ , l'application de Gauss est une application continue N : X → S ² telle que N ( p ) est un vecteur unitaire orthogonal à X en p , à savoir le vecteur normal à X en p .

La carte de Gauss peut être définie (globalement) si et seulement si la surface est orientable , auquel cas son degré est la moitié de la caractéristique d'Euler . La carte de Gauss peut toujours être définie localement (c'est-à-dire sur un petit morceau de surface). Le déterminant jacobien de la carte de Gauss est égal à la courbure de Gauss , et le différentiel de la carte de Gauss est appelé l' opérateur de forme .

Gauss a d'abord rédigé un projet sur le sujet en 1825 et publié en 1827.

Il existe également une carte de Gauss pour un lien , qui calcule le nombre de liens .

Généralisations

La carte de Gauss peut être définie pour les hypersurfaces dans R ⁿ comme une carte d'une hypersurface à la sphère unitaire S ^{n - 1}  ⊆  R ⁿ .

Pour une k - sous - variété générale orientée de R ^n, la carte de Gauss peut également être définie, et son espace cible est le Grassmannien orienté , c'est-à-dire l'ensemble de tous les k- plans orientés dans R ⁿ . Dans ce cas, un point de la sous-variété est mappé à son sous-espace tangent orienté. On peut également mapper à son sous- espace normal orienté ; ceux-ci sont équivalents comme via le complément orthogonal. Dans l' espace 3 euclidien , cela signifie qu'un plan 2 orienté est caractérisé par une ligne 1 orientée, de manière équivalente un vecteur normal unitaire (as ), ce qui est donc cohérent avec la définition ci-dessus. ${\ displaystyle {\ tilde {G}} _ {k, n}}$${\ displaystyle {\ tilde {G}} _ {k, n} \ cong {\ tilde {G}} _ {nk, n}}$${\ displaystyle {\ tilde {G}} _ {1, n} \ cong S ^ {n-1}}$

Enfin, la notion d'application de Gauss peut être généralisée à une sous-variété orientée X de dimension k dans une variété riemannienne ambiante orientée M de dimension n . Dans ce cas, l'application de Gauss passe alors de X à l'ensemble des k- plans tangents dans le fibré tangent TM . L'espace cible de la carte de Gauss N est un bundle Grassmann construit sur le bundle tangent TM . Dans le cas où , le fibré tangent est banalisé (donc le fibré de Grassmann devient une application au Grassmannien), et on retrouve la définition précédente. ${\ displaystyle M = \ mathbf {R} ^ {n}}$

Courbure totale

La zone de l'image de la carte de Gauss est appelée la courbure totale et équivaut à l' intégrale de surface de la courbure de Gauss . C'est l'interprétation originale donnée par Gauss. Le théorème de Gauss – Bonnet relie la courbure totale d'une surface à ses propriétés topologiques .

${\ displaystyle \ iint _ {R} \ pm | N_ {u} \ times N_ {v} | \ du \, dv = \ iint _ {R} K | X_ {u} \ times X_ {v} | \ du \, dv = \ iint _ {S} K \ dA}$

Carte des cuspides de Gauss

Une surface avec une ligne parabolique et sa carte de Gauss. Une crête traverse la ligne parabolique donnant lieu à une cuspide sur la carte de Gauss.

La carte de Gauss reflète de nombreuses propriétés de la surface: lorsque la surface a une courbure gaussienne nulle (c'est-à-dire le long d'une ligne parabolique ), la carte de Gauss aura une catastrophe de pli . Ce pli peut contenir des cuspides et ces cuspides ont été étudiées en profondeur par Thomas Banchoff , Terence Gaffney et Clint McCrory . Les lignes paraboliques et les cuspides sont des phénomènes stables et resteront sous de légères déformations de la surface. Les cuspides surviennent lorsque:

1. La surface a un plan bi-tangent
2. Une crête traverse une ligne parabolique
3. à la fermeture de l'ensemble des points d'inflexion des courbes asymptotiques de la surface.

Il existe deux types de cuspides: les cuspides elliptiques et les cuspides hyperboliques .

Références

• Gauss, KF, Disquisitiones generales circa superficies curvas (1827)
• Gauss, KF, Enquêtes générales sur les surfaces courbes , traduction en anglais. Hewlett, New York: Raven Press (1965).
• Banchoff, T., Gaffney T., McCrory C., Cusps of Gauss Mappings , (1982) Research Notes in Mathematics 55, Pitman, Londres. version en ligne
• Koenderink, JJ, Solid Shape , MIT Press (1990)

Liens externes

• Weisstein, Eric W. "Carte de Gauss" . MathWorld .
• Thomas Banchoff; Terence Gaffney; Clint McCrory; Daniel Dreibelbis (1982). Cusps of Gauss Mappings . Notes de recherche en mathématiques. 55 . Londres: Pitman Publisher Ltd. ISBN   0-273-08536-0 . Récupéré le 4 mars 2016 .