Période gaussienne - Gaussian period

En mathématiques , dans le domaine de la théorie des nombres , une période gaussienne est un certain type de somme de racines de l'unité . Les périodes permettent des calculs explicites dans les champs cyclotomiques liés à la théorie de Galois et à l'analyse harmonique ( transformée de Fourier discrète ). Ils sont fondamentaux dans la théorie classique appelée cyclotomie . La somme de Gauss est étroitement liée , un type de somme exponentielle qui est une combinaison linéaire de périodes.

L'histoire

Comme son nom l'indique, les périodes ont été introduites par Gauss et ont servi de base à sa théorie de la construction de la boussole et de la règle . Par exemple, la construction de l' heptadécagone (une formule qui a fait sa réputation) dépendait de l'algèbre de ces périodes, dont

${\ displaystyle 2 \ cos \ left ({\ frac {2 \ pi} {17}} \ right) = \ zeta + \ zeta ^ {16} \,}$

est un exemple impliquant la dix-septième racine de l'unité

${\ displaystyle \ zeta = \ exp \ left ({\ frac {2 \ pi i} {17}} \ right).}$

Définition générale

Étant donné un entier n > 1, soit H n'importe quel sous - groupe du groupe multiplicatif

${\ displaystyle G = (\ mathbb {Z} / n \ mathbb {Z}) ^ {\ times}}$

de résidus invertibles modulo n , et soit

${\ displaystyle \ zeta = \ exp \ left ({\ frac {2 \ pi i} {n}} \ right).}$

Une période gaussienne P est une somme des racines primitives n-ièmes de l' unité , où les passages dans tous les éléments dans un fixe co - ensemble de H dans G . ${\ displaystyle \ zeta ^ {a}}$${\ displaystyle a}$

La définition de P peut également être énoncée en termes de trace de champ . On a

${\ displaystyle P = \ operatorname {Tr} _ {\ mathbb {Q} (\ zeta) / L} (\ zeta ^ {j})}$

pour un sous-champ L de Q (ζ) et un certain j coprime à n . Cela correspond à la définition précédente en identifiant G et H avec les groupes de Galois de Q (ζ) / Q et Q (ζ) / L , respectivement. Le choix de j détermine le choix du coset de H dans G dans la définition précédente.

Exemple

La situation est la plus simple lorsque n est un nombre premier p > 2. Dans ce cas G est cyclique d'ordre p - 1, et a un sous-groupe H d'ordre d pour tout facteur d de p - 1. Par exemple, on peut prendre H de l' indice deux. Dans ce cas, H est constitué des résidus quadratiques modulo p . Correspondant à ce H nous avons la période gaussienne

${\ displaystyle P = \ zeta + \ zeta ^ {4} + \ zeta ^ {9} + \ cdots}$

additionné sur ( p - 1) / 2 résidus quadratiques, et l'autre période P * additionné sur les ( p - 1) / 2 non-résidus quadratiques. Il est facile de voir que

${\ displaystyle P + P ^ {*} = - 1}$

depuis le côté gauche ajoute toutes les primitives p racines -ème de 1. Nous savons aussi, de la définition de trace, que P se trouve dans une extension quadratique de Q . Par conséquent, comme Gauss le savait, P satisfait une équation quadratique à coefficients entiers. L'évaluation du carré de la somme P est liée au problème de compter combien de résidus quadratiques entre 1 et p - 1 succèdent des résidus quadratiques. La solution est élémentaire (comme on dirait maintenant, elle calcule une fonction zêta locale , pour une courbe qui est une conique ). On a

( P - P *) ² = p ou - p , pour p = 4 m + 1 ou 4 m + 3 respectivement.

Cela nous donne donc des informations précises sur le champ quadratique de Q (ζ). (Cela pourrait également être dérivé par des arguments de ramification dans la théorie algébrique des nombres ; voir champ quadratique .)

Comme Gauss l'a finalement montré, pour évaluer P - P *, la racine carrée correcte à prendre est la racine positive (resp. I fois le réel positif), dans les deux cas. Ainsi la valeur explicite de la période P est donnée par

${\ displaystyle P = {\ begin {cases} {\ frac {-1 + {\ sqrt {p}}} {2}}, & {\ text {if}} p = 4m + 1, \\ [6pt] {\ frac {-1 + i {\ sqrt {p}}} {2}}, & {\ text {if}} p = 4m + 3. \ end {cases}}}$

Sommes de Gauss

Comme on le verra plus en détail ci-dessous, les périodes gaussiennes sont étroitement liées à une autre classe de sommes de racines d'unité, maintenant généralement appelées sommes de Gauss (parfois sommes gaussiennes ). La quantité P - P * présentée ci-dessus est une somme de Gauss quadratique mod p , l'exemple le plus simple et non trivial d'une somme de Gauss. On observe que P - P * peut aussi s'écrire

${\ Displaystyle \ sum \ chi (a) \ zeta ^ {a}}$

où ici représente le symbole de Legendre ( a / p ), et la somme est prise sur les classes de résidus modulo p . Plus généralement, étant donné un caractère de Dirichlet χ mod n , la somme de Gauss mod n associée à χ est ${\ displaystyle \ chi (a)}$

${\ displaystyle G (k, \ chi) = \ sum _ {m = 1} ^ {n} \ chi (m) \ exp \ left ({\ frac {2 \ pi imk} {n}} \ right). }$

Pour le cas particulier de l' personnage principal Dirichlet , la somme Gauss réduit à la somme Ramanujan : ${\ displaystyle \ chi = \ chi _ {1}}$

${\ displaystyle G (k, \ chi _ {1}) = c_ {n} (k) = \ sum _ {m = 1; (m, n) = 1} ^ {n} \ exp \ left ({\ frac {2 \ pi imk} {n}} \ right) = \ sum _ {d | (n, k)} d \ mu \ left ({\ frac {n} {d}} \ right)}$

où μ est la fonction de Möbius .

Les sommes de Gauss sont omniprésentes dans la théorie des nombres; par exemple , ils se produisent de manière significative dans les équations fonctionnelles de fonctions L . (Les sommes de Gauss sont en un sens les analogues de champ fini de la fonction gamma .) ${\ displaystyle G (k, \ chi)}$

Relation des périodes gaussiennes et des sommes de Gauss

Les périodes gaussiennes sont liées aux sommes de Gauss dont le χ de caractères est trivial sur H . Ces χ prennent la même valeur à tous les éléments un à un co - ensemble fixe de H dans G . Par exemple, le caractère quadratique mod p décrit ci-dessus prend la valeur 1 à chaque résidu quadratique, et prend la valeur -1 à chaque non-résidu quadratique. La somme de Gauss peut ainsi s'écrire comme une combinaison linéaire de périodes gaussiennes (avec des coefficients χ ( a )); l'inverse est également vrai, comme conséquence des relations d'orthogonalité pour le groupe ( Z / n Z ) ^× . En d'autres termes, les périodes gaussiennes et les sommes de Gauss sont des transformées de Fourier l'une de l'autre . Les périodes gaussiennes se situent généralement dans des champs plus petits, car par exemple lorsque n est un p premier , les valeurs χ ( a ) sont ( p - 1) -èmes racines de l'unité. En revanche, les sommes de Gauss ont des propriétés algébriques plus agréables. ${\ displaystyle G (1, \ chi)}$${\ displaystyle G (1, \ chi)}$

Références

• H. Davenport, HL Montgomery (2000). Théorie multiplicative des nombres . Springer. p. 18. ISBN   0-387-95097-4 .